中国石油大学（华东）：《理论力学 Theoretical Mechanics》课程教学课件（讲稿）第三章 刚体力学 3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动

§3.6刚体的平动与绕固定轴的转动 导读 ·刚体平动方程 ·定轴转动角动量定理和机械能守恒律 ·定轴转动的轴上附加力 超卓谋程

导读 • 定轴转动角动量定理和机械能守恒律 • 定轴转动的轴上附加力 §3.6 刚体的平动与绕固定轴的转动 • 刚体平动方程

1平动 平动时刚体内所有点都有 相同的速度和加速度.通常用 质心的运动来代表刚体整体 的运动. dt 若有约束（非自由刚体），加辅助方程： 相对质心的力矩平衡方程 ∑4=0 超卓课程

1 平动 平动时刚体内所有点都有 相同的速度和加速度. 通常用 质心的运动来代表刚体整体 的运动. 若有约束（非自由刚体），加辅助方程： 相对质心的力矩平衡方程    0 i Mi  x  y  z  y  x  z  x y z x y z

Z W 2定轴转动 刚体绕固定轴z轴转动时，刚体中任何一点P,都在垂 直于轴的平面内，即xy平面内，作圆周运动，而且到定 轴的距离相等的点的运动完全一样.因此研究刚体的定 轴转动，只要研究与转轴垂直的任意平面内的运动即可」 运动学 独立变量：1 角量表示： 角位移 角速度 角加速度 a 设一质点的位矢是r,它和z轴距离为R,如果在某一时刻， 质点P,的线速度为则下，=可×T Y;=OR 超卓谋程

设一质点的位矢是ri , 它和z轴距离为Ri , 如果在某一时刻, 质点Pi的线速度为vi , 则 2 定轴转动 刚体绕固定轴z轴转动时, 刚体中任何一点Pi , 都在垂 直于z轴的平面内, 即xy平面内，作圆周运动，而且到定 轴的距离相等的点的运动完全一样. 因此研究刚体的定 轴转动, 只要研究与转轴垂直的任意平面内的运动即可. i i v r       i Ri v   运动学 独立变量：1 角量表示: 角位移 角加速度 角速度     ri v R i i mi y x z ω

定轴转动，方向不变，则 an==Ro=Ra a是角加速度.在定轴转动中，它的指向与 角速度相同或相反，并且也是沿着同一条 转动轴线 超卓课程

定轴转动, 方向不变, 则            i i i i in i i i i R v R v a a v R R      2 2   是角加速度. 在定轴转动中, 它的指向与 角速度相同或相反, 并且也是沿着同一条 转动轴线.  vi Ri mi y x z

直角坐标系分解 ,=0×1=000=-0y,i+0xj x y Z 4,-出@×i)-x好+0xg ax=求，=-y,0-02x ay=jy,=x,0-02》 0。=艺，=0 超卓谋程

直角坐标系分解 y i x j x y z i j k v r i i i i i i i z            0 0                   0 2 2 iz i iy i i i ix i i i a z a y x y a x y x          i x  i y 

定轴转动 动量矩定理」 -=10=1 转动动能 外力为保守力时，机械能守恒 }1.o2+V=E 超卓课程

动量矩定理 外力为保守力时，机械能守恒 转动动能 定轴转动

例题1 复摆：m 绕过O点的水平轴作微小振动， 试求： 运动方程、振动周期。 解：确定正方向 1 0=-mgl sin0 I。=mlG=ml+ml mg 方程可化为(G+1乃)0+gl0=0 令。= 解出0=Asim( gl 4+t+) 周期x= 22π P+P =2π gl mgl 超卓谋程

例题1 复摆：m 绕过O点的水平轴作微小振动， 试求：运动方程、振动周期。 解：确定正方向 方程可化为 令 解出 x x  C y y  mg O O l   周期

2+2 周期 x= 2π =2π =2π 讨论：等价单摆周期 t=2 '= 1,-mll =mm f-1- mg 以O悬点 ,=m+m-少=m 2 +2 =(r'-D gl 测g的原理 超卓课程

周期 讨论：等价单摆周期 以O'悬点 测 g 的原理 x x  C y y  mg O O l  

3定轴转动时轴上的附加压力 刚体绕定轴转动可以看作 等价于空间两点A和B保持不 动时刚体的运动. 显然是刚体受到了约束，可 以用动量定理和角动量定理 X 来确定作用在A、B两点上的 约束反力. 超卓谋程

3 定轴转动时轴上的附加压力 刚体绕定轴转动可以看作 等价于空间两点 A 和 B保持不 动时刚体的运动. 显然是刚体受到了约束, 可 以用动量定理和角动量定理 来确定作用在 A 、 B两点上的 约束反力 .  B A y x zO NBx NBy NAx NAy NAz Fn F1F2 F3 

动量定理 dt 2m=N+N+2r 对A点的动量矩定理 -5+空以 d 容-西，+空 m(3-y). dt 超卓课程

                    n i Az iz n i i i n i Ay By iy n i i i n i Ax Bx ix n i i i m z N F t m y N N F t m x N N F t 1 1 1 1 1 1 d d d d d d                           n i iz n i i i i i i n i Bx iy n i i i i i i n i By ix n i i i i i i m x y y x M t m z x z x AB N M t m y z z y AB N M t 1 1 1 1 1 1 ( ) d d ( ) d d ( ) d d       动量定理 对A点的动量矩定理 A B O F3 Fn F1 F2 x y z   Ri NBx NBy NAx NAy NAz