同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 分析力学 5.7 哈密顿原理

第五章 分析力学

第五章 分析力学

§5.7哈密顿原理 导读 ·泛函，变分的概念 ·欧拉方程泛函导数 ·哈密顿原理

导读 • 泛函,变分的概念 • 欧拉方程 泛函导数 • 哈密顿原理 §5.7 哈密顿原理

1变分法初步 (1)泛函 质点沿着光滑轨道y=Jyc)从A自由下滑 到B所需时间 J 显然轨道不同J也不同.一般地说，一个 变量J,其值取决于函数=Jyx),就叫做 函数yc)泛函，记做J几yc)】·

1 变分法初步 质点沿着光滑轨道y＝y(x)从A自由下滑 到B所需时间 x gy s y J t B A d 2 1 ' v d d 2    + = = = x y A B y=y(x) 显然轨道不同J也不同. 一般地说,一个 变量J, 其值取决于函数y＝y(x), 就叫做 函数y(x)泛函,记做 J[y(x) ] . (1) 泛函

(2)变分 选取光滑轨道y=yc),使质点从A自由下 y 滑到B所需时间最短，即求泛函的极值， 就称为变分. 先研究较简单的情况.泛函J只依赖于单个自变量 x,单个函数yx)及其导数y,即 -jFxyy

(2) 变分 x y A B 选取光滑轨道 y=y(x) y＝y(x),使质点从A自由下 滑到B所需时间最短, 即求泛函的极值, 就称为变分. 先研究较简单的情况. 泛函J只依赖于单个自变量 x, 单个函数y(x)及其导数y’, 即 J y x  F x y y x b a ( ) ( , , ')d  =

设想函数关系yx)稍有变动，从y变为y+6,这里⑧y称 为函数yx)的变分.泛函的值也随之而变，其增量 y+ov]-]=[[F(x.y+ov.y+o)-F(x.y.y) 影+小 上式右边叫泛函的变分，记做δJy以. a-g+器

设想函数关系y(x) 稍有变动, 从y变为y+y, 这里y称 为函数y(x)的变分. 泛函的值也随之而变, 其增量                 +    + − = + + − b a b a y x y F y y F J y y J y F x y y y y F x y y x ' d ' ( , , ' ') ( , , ') d      上式右边叫泛函的变分, 记做J[y].            +   = b a y x y F y y F J y ' d '   

泛函的极值条件是变分δJy=0

泛函的极值条件是变分J[y]=0.   ' d 0 ' =         +   =  b a y x y F y y F J y   ( )              −         =   =   b a b a b a b a y x y F x y y F x x y y F y x y F d d ' d ' d d d ' 'd '        =                −   +          b a b a y x y F y x F y y F d 0 d ' d '  

一般来说，两端点总是不变的，变分等于零， 0 可ydx=0 dx 这就是泛函取极值的必要条件，叫做这个变分问题 的欧拉方程

一般来说, 两端点总是不变的,变分等于零,   =                −    b a y x y F y x F d 0 d ' d  这就是泛函取极值的必要条件, 叫做这个变分问题 的欧拉方程

(3)泛函导数 y+Ev 设函数yc)的变分只在x=xo 附近不为零.我们把曲线x) 与曲线yc)+)之间所夹的 面积记作6c.我们把δσ→0时 泛函Jcyy的变分6J与6a 之比的极限，定义为泛函在 点x=x的泛函导数， &J

(3) 泛函导数 设函数y(x)的变分y只在x=x0 附近不为零. 我们把曲线y(x) 与曲线y(x)+y(x) 之间所夹的 面积记作. 我们把 →0时 泛函J(x,y,y‘) 的变分 J与 之比的极限, 定义为泛函J在 点x=x0的泛函导数,        J J x lim 0 0 → = y+y  y(x) c x0 d

显然 -i 00->0 器 回g of 这样，欧拉方程也可说是泛函J在任一点的泛函导数 等于零 思考：比较欧拉方程和保守力系的拉格朗日方程

显然 0 0 0 d ' d d 1 d ' d d d ' 1 d lim lim 0 0 x d x c d x c y F y x F y x y F y x F y x y F y x J F                 −   =                         −   =                         −   =   → →            这样, 欧拉方程也可说是泛函J在任一点的泛函导数 等于零. 思考: 比较欧拉方程和保守力系的拉格朗日方程

(④)变分运算法则 (a)6(A+B)=6A+B (b)δ(AB)=B6A+A6B B6A-A6B B2 (d) 5(dq)=d(ga) 但是 ddga）dq.δd d(ga)dqd(d） dt dt dt2 =0,变分和求导可以互换（等时变分），不然不行 (全变分)：

(4) 变分运算法则 (a )  ( A + B) = A + B (b)  ( A B) = BA + AB 2 (c) ( ) B B A A B B A    − = (d) (d ) d( )    q = q 但是 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 d d d d d d d d d d d d t q t t q t q t t q t q            = − = −      t=0, 变分和求导可以互换(等时变分), 不然不行 (全变分)