目答网上学生间愿 师范部冯素 近来学生通过电子郎件进行答疑，我们作了回答，发去了E一11，现将何题以及答案， 放在料上，供同学们参考， 月题1：第1次作业的 3(即教材习愿1：第7题) 若集合一一1,0，，是A×4→B的映射，且满足 0 高无2>0 0(书，：)■ - x3≤0 求I■(d,并求出从A到1血(m共有多少不同的映射 解答：0是A仪A+B的映射。因为仁{一1,0,1}，故AXA的所有可能组合为（一1： -10,(-1,0,(-1,10,(0,-1),0,0),0.1),1,-1),(1,0,1,10共9 种.有的定义， 0 2>0 0%,:)= %-x3 x3≤0 ,6同号且为正时。G(m,6)=0,即a一1，一1)=a(1,1)=0,其众7种组合均满足 s0,于是，有 a(-1,00=-1.c(-1,1)=-2,a0,-10=1, g(0,0》-0,g(0,1)=-1,g(1,-1)-2,a(1,00-1 总之1m(c)=《-2,-1,0,1,2 由装材6定理1,2.从4到I(的不同映射有4=mc“个，此处4=3， |1n(a-5,有5-125. 何题2：第2次作业的第6,8题，即教材习题2：第8,10题. 6(数材习题2：8)若五z为半负实数，且满足9+12y+59,求函数fP36+5z 的极大值， 解根据柯西不等式 f8r6*64nx3x+6（2+5x(5: 2
回答网上学生问题 师范部 冯泰 近来学生通过电子邮件进行答疑，我们作了回答，发去了 E－mail．现将问题以及答案， 放在网上，供同学们参考． 问题 1：第 1 次作业的 3. (即教材习题 1：第 7 题) 若集合 A＝{－1，0，1}，是 A×A→B 的映射，且满足 − = 0 0 0 ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x 求 Im()，并求出从 A 到 Im()共有多少不同的映射． 解答：是 A×A→B 的映射，因为 A＝{－1，0，1}，故 A×A 的所有可能组合为(－1， －1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)共 9 种．有的定义， − = 0 0 0 ( , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x x1,x2 同号且为正时，(x1,x2)=0，即(－1，－1)＝(1，1)＝0．其余 7 种组合均满足 x1x20，于是，有 (－1，0)=－1， (－1，1)＝－2， (0，－1)＝1， (0，0)＝0， (0，1)＝－1， (1，－1)＝2， (1，0)＝1 总之 Im()={－2，－1，0，1，2} 由教材 P6 定理 1.2，从 A 到 Im()的不同映射有B A= A Im() 个，此处A=3， Im()=5，有 5 3＝125． 问题 2：第 2 次作业的第 6，8 题，即教材习题 2：第 8，10 题． 6. (教材习题 2：8)若 x, y, z 为非负实数，且满足 9x 2 +12y 2 +5z 2 =9，求函数 f=3x+6y+5z 的极大值. 解 根据柯西不等式 f 2 =(3x+6y+5z) 2 = 2 ( 12 ) 5 ( 5 )] 12 6 [1(3x) + y + z
s0+(是+5or2+12y2+5 =99x2+12y2+5:2) 因为9x2+12y2+5:2=9,所以9×9. 其中等号当且仅当3无反y=6k-张.5：-5张 2 且9r+2y2+5红2=9字+5+5-9成立，解得k-1仅能取正号. 所以当x1 1时， 取最大植，其值为 fa=6x+6y+59 =1+3+5=9 8(教材习题2：10)已知画，，…，点是B个正数，且满足备出成=1，求证 2+m)2+」…(2+0≥3” 证明将不等式左边展开 2+m)2+)…(2+ =2"+2∑a+22∑a,%,+2∑a04+ +2∑a,ay-4++2aa.a, 由均值不等式，得到 之a,2aa立=n=c a0,2ga4片高c ∑aa,画之m-》-k+Da4ary-i=C 于是得到 2+m)2+…(2*a22"+C2+C2-2++C24+.+Ct2
) ( 5) )(9 12 5 ) 12 6 (1 ( 2 2 2 2 2 + + x + y + z 9(9 12 5 ) 2 2 2 = x + y + z 因为 2 2 2 9x +12y + 5z ＝9,所以 f9×9. 其中等号当且仅当 3x=k, y k 3k, 5z 5k 12 6 12 = = = 且 2 2 2 2 2 2 ) ( 3 ) ( 5 ) 3 9 12 5 9 ( k k k x + y + z = + + ＝9 成立，解得 k = 1 (只能取正号). 所以当 , 1 2 1 , 3 1 x = y = z = 时， f 取最大值，其值为 (3 6 5 ) 1 3 5 9 ,1) 2 1 , 3 1 ( f最大 = x + y + z = + + = 8.(教材习题 2：10) 已知 a1,a2,…,an是 n 个正数，且满足 a1a2…an=1，求证 (2+a1)(2+a2)…(2+an)3 n ． 证明 将不等式左边展开 (2+a1)(2+a2)…(2+an) ＝ 2 2 2 2 ... 1 3 1 2 1 1 = − = − = − + + + + i j k i j k n i j i j n n i i n n a a a a a a n n n i j s k i j s n k 2 a a ...a ... 2 a1a2 ...a ... 1 − = − + + + 由均值不等式，得到 1 1 2 1 ... n n n n i ai n a a a = n = C = ( 1) 2 2 2 1 2 1 (( ... ) ) 2 ( 1) n n n n i j i j a a a C n n a a = − − = k n n n n k k k n i j s k i j s a a a C k n n n k a a a = − − + − − + ( 1)...( 1) ! 1 2 ... (( ... ) ) ! ( 1)...( 1) ... ……… 于是得到 (2+a1)(2+a2)…(2+an) n n n n k n k n n n n n n C C C C − − − − 2 + 2 + 2 + ...+ 2 + ...+ 2 1 1 3 2
=(2+1)3 何题3：第3次作业的 L.(教村习题3：1)求证：整环R中的两个元素a和b相伴的充分必要条件是(=()， 注：a和b相作的定义请参考教材P165定义3.6.整环界的理想N是由元素a生成的， 记作(，(d=回r∈得，见教材P165. 证明必要性.若品，b相佛，则有可逆元素eR使得严r,b加r品 所以be(a,e(.于是(c(,()c(.所以(=（卧. 充分性.若(d-(团，由它们的定义，e(,c(,则存在，5s品，使得产， b-n,所以rnna 若0，则一0：若0，由清去律，得到nl,万可逆，故a和b相件. 月题4：第3次作业的 &(教材第3章习题3：D找出高斯环刀=【+b4,e2升中的一切可逆元素， 注：可逆元素的定义见教材P165定义3.4， 解设不叶h是A小的可道元素，则存在备e工月，使得=1.推出 =1,有H=a2+b2=1,得到0，则b=士1或0，则a=±1.所以 :■±1±1.反之±L±1.是2]的可逆元素.因此±1，±1是（的全部可逆元素。 月题5：第4次作业的 7.(即教材第5章习题519》)求证 ∑4产C=+2 证明因为 1+-c 再边关于x求导一次，得到 +“-2c 上式两边乘以，再对x求导，阁 0++n-1+产]-22C 令l,整理可得∑k2C=mm+122 0
＝(2+1)n =3n 问题 3：第 3 次作业的 1. (教材习题 3：1)求证：整环 R 中的两个元素 a 和 b 相伴的充分必要条件是(a)=(b)． 注：a 和 b 相伴的定义请参考教材 P165 定义 3.6．整环 R 的理想 N 是由元素 a 生成的， 记作(a)，(a)= {ra r R} ，见教材 P165． 证明 必要性．若 a，b 相伴，则有可逆元素 rR，使得 a=br,b=r －1 a． 所以 b(a)，a(b)．于是(a)(b)，(b)(a)．所以(a)=(b)． 充分性．若(a)=(b)，由它们的定义，a(b)，b(a)，则存在 r1，r2R，使得 a=r1b， b=r2a，所以 a=r1r2a 若 a=0，则 b=0；若 a0，由消去律，得到 r1r2=1，r1 可逆，故 a 和 b 相伴． 问题 4：第 3 次作业的 5. (教材第 3 章习题 3：7)找出高斯环 Z[i]＝{a+iba,bZ}中的一切可逆元素． 注：可逆元素的定义见教材 P165 定义 3.4． 解 设 z=a+ib 是 Z[i]的可逆元素，则存在 z1Z[i]，使得 zz1=1．推出 1 2 1 2 z z = ，有 1 2 2 2 z = a + b = ，得到 a=0，则 b = 1 或 b=0，则 a = 1 ．所以 z = 1, i ．反之 1, i ．是 Z[i]的可逆元素．因此 1, i 是 Z[i]的全部可逆元素． 问题 5：第 4 次作业的 7.(即教材第 5 章习题 5：9) 求证 2 1 2 ( 1)2 − = = + n n k k k Cn n n 证明 因为 = + = n k k k n n x C x 0 (1 ) 两边关于 x 求导一次，得到 = − − + = n k k k n n n x C k x 0 1 1 (1 ) 上式两边乘以 x，再对 x 求导，得 = − − − + + − + = n k k k n n n n x n x x k C x 1 1 2 2 1 [(1 ) ( 1) (1 ) ] 令 x=1,整理可得 2 1 2 ( 1)2 − = = + n n k k k Cn n n