目答网上学生闻愿 师范部冯素 1,教材第238页“自测题（一）单现这择题”的21多项式八被3+2除，所得的余式 是() A)12☒ B八-2 (C) 容案： 解答：根据整系数多项式相除的原理，若八是次多项式P(,被（≤次多项式 &(功除，商式是n一次多项式￡-功，而余式是不超过一1的多顾式()（一1），即 P(=-(G(+d 本例中，除数多项式是一次多项式32，因此，余式必定是零次多项式，即常数，记 为c.有 凡0=3+2)S%d+C 取一子代入上试得到 个。 故选择)正确， 2教材第101页，练习2.2：2：设x%言为正整数，++16，求2+3叶z的极大 值 解用柯西不等式：(a,h+a,+…a.b,广s(c+aG++aX6+b++b) 因为2r34=(2x+3y+1y ≤(22+32+1Mx2+y2+:2)=14×16 所以， 2x3m25114x16=414 且贝有当登背-月，上式取等号。即2法特我代入已如条样等式 有 4x2+9k2+k2=16 得k=士4 石，因为k只取正号，有太三在·即当是·y卫
回答网上学生问题 师范部 冯泰 1. 教材第 238 页“自测题(一)单项选择题”的 2：多项式 f(x)被 3x+2 除，所得的余式 是( ) (A) f(2) (B) f(－2) (C) ) 3 2 f ( (D) ) 3 2 f (− 答案：(D)． 解答：根据整系数多项式相除的原理，若 f(x)是 n 次多项式 Pn(x)，被 k(n)次多项式 Qk(x)除，商式是 n－k 次多项式 Sn－k(x)，而余式是不超过 k－1 的多项式 Yt(x)(tk－1)．即 Pn(x)=Sn=k(x)Qk(x)+Yt(x) 本例中，除数多项式是一次多项式 3x+2，因此，余式必定是零次多项式，即常数，记 为 c．有 f(x)=(3x+2)S(x)+c 取 x= 3 2 − ，代入上式，得到 f − ) = c 3 2 ( ． 故选择(D)正确． 2. 教材第 104 页，练习 2.2：2：设 x,y,z 为正整数，x 2 +y 2 +z 2 =16，求 2x+3y+z 的极大 值． 解 用柯西不等式： ( ... ) ( ... )( ... ) 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 a1b1 + a2b2 + anbn a + a + + an b + b + + bn 因为(2x+3y+z) 2 2 = (2 x +3 y +1z) (2 3 1 )( ) 14 16 2 2 2 2 2 2 + + x + y + z = 所以， 2x+3y+z 1416 = 4 14 ． 且只有当 k x y z = = = 2 3 1 ，上式取等号．即 x=2k,y=3k,z=k，将其代入已知条件等式， 有 4 9 16 2 2 2 x + k + k = 得 14 4 k = ，因为 k 只取正号，有 14 4 k = ．即当 14 8 x = ． 14 12 y = ． 14 4 z =
时，2+3+z取极大值，其值为 2+3y+a品 16+36+4=4W4 14 及教材第110真，练习2.3：2：已知2+5，求g的极大值 解用均值不等式：+0++8≥a,4a 设=不=常=通=，代入上式，得到 =s++y+栏.2x+y+:.3 4 44 腿)多且职有百时聚等号用 2+什5，x= 所以，X=y=:=三时，取得极大值。其值是 4 4教材第115页第8愿：段玉z为正整数，且满是9+12+59，求函数 f八xx动36+52的极大值. 解根据柯西不等式 f=(36+5z动=0×(3x)+ 62y)+W5x(W5 s0+0P+5Xor+r+5 =9到9x2+12y2+5:2) 因为9x2+12y2+5知2=9，所以9×9 其中等号当且仅当3=k,2y=6k=5跳5：=5乐 2 且9x+12y2+52=9.(宁+(5+(5-9成立，解得太=(0俱能取正号1. f大=(3红+6y+51=1+3+5=9
时，2x+3y+z 取极大值，其值为 14 16 36 4 (2 3 ) ) 14 4 , 14 12 , 14 8 ( + + x + y + z = ＝ 4 14 ． 3. 教材第 110 页，练习 2.3：2：已知 2x+y+z=5，求 x 2 yz 的极大值． 解 用均值不等式： n n n a a a n a a a ... ... 1 2 1 2 + + + 设 a1=x，a2=x，a3=y，a4=z，代入上式，得到 4 5 4 2 4 4 4 2 = + + = + + + = x x y z x y z x yz xxyz 所以 4 4 2 4 5 4 5 = x yz ，且只有当 x=y=z 时取等号．即 2x+x+x=5， 4 5 x = ． 所以， 4 5 x = y = z = 时， x yz 2 取得极大值，其值是 4 4 4 5 ． 4. 教材第 115 页第 8 题：设 x,y,z 为正整数，且满足 9x 2 +12y 2 +5z 2 =9，求函数 f(x,y,z)=3x+6y+5z 的极大值． 解 根据柯西不等式 f 2 =(3x+6y+5z) 2 = 2 ( 12 ) 5 ( 5 )] 12 6 [1(3x) + y + z ) ( 5) )(9 12 5 ) 12 6 (1 ( 2 2 2 2 2 + + x + y + z 9(9 12 5 ) 2 2 2 = x + y + z 因为 2 2 2 9x +12y + 5z ＝9,所以 f9×9. 其中等号当且仅当 3x=k, y k 3k, 5z 5k 12 6 12 = = = 且 2 2 2 2 2 2 ) ( 3 ) ( 5 ) 3 9 12 5 9 ( k k k x + y + z = + + ＝9 成立，解得 k = 1 (只能取正号). 所以当 , 1 2 1 , 3 1 x = y = z = 时，f 取最大值，其值为 (3 6 5 ) 1 3 5 9 ,1) 2 1 , 3 1 ( f最大 = x + y + z = + + =
5求三次方程+3+2r一6-0的根. 解方法1，用卡丹公式.按教材第191页至19叫页上的公式。为套用教材上的公式， 和书上符号相同，记方程为 +3+2-6-0 那么F3,之c-6, 令一号.代入上方起得 -1)43(x-1)+2(-1)-6=2-x-6-0 (10 其中严一1，一6（对儒教材A91的方程(5一1）) 设和是方程(1)的根，即 62-属-6-0 (20 现在讨论方程 r-w-号=0.甲 1 2-+写0. 这是一元二次代数方程，设它的两个根为，压，由韦达定理，则有 a+B=x 按属教材12的关于，B的计算公式，并将F一1，F一6代入，有 7=2+27=3-27 242 242 + .1.818496581 a满足aA--P. 33到 A=018350319
5. 求三次方程 x 3 +3x 2 +2x－6=0 的根． 解 方法 1，用卡丹公式．按教材第 191 页至 194 页上的公式．为套用教材上的公式， 和书上符号相同，记方程为 y 3 +3y 2 +2y－6=0 那么 a=3,b=2,c=－6． 令 y=x－ 3 a =x－1，代入上方程，得 (x－1)3 +3(x－1)2 +2(x－1)－6=x 3―x―6=0 (1) 其中 p=―1，q=―6(对照教材 P191 的方程(5－1))． 设 x0 是方程(1)的根，即 x0 3―x0―6=0 (2) 现在讨论方程 0 3 0 2 − − = p u x u ，即 0 3 1 0 2 u − x u + = ． 这是一元二次代数方程，设它的两个根为，，由韦达定理，则有 = − = + = 3 1 3 0 p x 按照教材 P192 的关于，的计算公式，并将 p=―1，q=―6 代入，有 3 3 2 3 3 2 3 27 242 3 27 ( 1) 4 ( 6) 2 6 2 4 27 = + − + − + − = − + + = − q q p 3 3 2 3 3 2 3 27 242 3 27 ( 1) 4 ( 6) 2 6 2 4 27 = − − + − − − = − − + = − q q p 得到 x0=+= 3 27 242 3+ + 3 27 242 3− =2 设1， 3 3 2 3 1 27 242 3 2 4 27 = − + + = + q q p 1.816496581 1 满足 3 1 3 1 1 = − = p ,得到 10.183503419
因为本避中上实+巴0，按照教村A93上的)情况。 427 片=么+民=2是方程(1)的一个根。它的另外两个根分别为 为=-+B+W54二A=-1+1.414213563=-1+5 2 2 为=-+B-54-B=-1-5 2 2 单方程的解为 1-1 即三个根分别为 %-为，-1=1 为=72-1=-2+1W2 另=片3-1=-2-1W2 不难验证它们是+3+2一60的三个根. 注：为了套用教材上的公式，尽量和教材符号一致，才将方程+3+2一=0改记作 +3+2一6=0的.自己殿愿。大可不必. 方法2，初等数学方法， 将方程左边进行因式分解。方程的最高次x的系数是1，而常数项是6.6的因子为 1,2,3,6 首先用一次因式（一1），(x一2)，(x一3)，（一6）去除方程左边，搬转相除 =13+2-60}+4r+6 - 4+2r-6 42=4红 6x-6 8-6 0 所以，+3+2x-6-(x-1》(+4x+6)-0 (1》一1=0，得新=1
因为本题中 D= 4 27 2 3 q p + >0，按照教材 P193 上的(1)情况， 1 =1 + 1 = 2 是方程(1)的一个根．它的另外两个根分别为 1 2 2 3 2 1 1.414213563 1 2 2 3 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 i i i i i = − − − − + = − = − + = − + − + + = − 原方程的解为 y=－1 即三个根分别为： y1＝ 1 −1=1 1 2 2 1 2 2 3 3 2 2 y i y i = − = − − = − = − + 不难验证它们是 y 3 +3y 2 +2y－6=0 的三个根． 注：为了套用教材上的公式，尽量和教材符号一致，才将方程 x 3 +3x 2 +2x－6=0 改记作 y 3 +3y 2 +2y－6=0 的．自己做题，大可不必． 方法 2，初等数学方法． 将方程左边进行因式分解．方程的最高次 x 3 的系数是 1，而常数项是 6．6 的因子为 1,2,3,6 首先用一次因式(x－1)，(x－2)，(x－3)，(x－6)去除方程左边，辗转相除 x－1 x 3 +3x 2 +2x－6=0 x 2 +4x +6 x 3－x 2 4x 2 +2x－6 4x 2－4x 6x－6 6x－6 0 所以，x 3 +3x 2 +2x－6=(x－1)(x 2 +4x+6)=0 (1) x－1=0，得 x1=1
244r8=0.得两个复根：无2=-2+W2,=-2-1W2 6第3章3,2.2小节的重点是什么？ 我们认为本小节的重点有：本原多项式的定义，整除的概之，还有定理3.7和38，尤 其是是定理38. 答复满意吗？欢迎多提问题，欢迎多联系
(2) x 2 +4x+6=0，得两个复根： x2 = −2+i 2, x3 = −2−i 2 6. 第 3 章 3.2.2 小节的重点是什么？ 我们认为本小节的重点有：本原多项式的定义，整除的概念，还有定理 3.7 和 3.8，尤 其是是定理 3.8． 答复满意吗？欢迎多提问题，欢迎多联系．