2解直角二角形
知诀顾 1.解直角三角形 在直角三角形中除直角外,由已知两元素(必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形 2解直角三角形的依据 B (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间的关系: b a aA C sinA= cosa= b c tanA=
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1.解直角三角形 (1)三边之间的关系: a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； 2.解直角三角形的依据 (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系: Ａ Ｃ Ｂ a b c tanA＝ a b sinA＝ a c cosA＝ b c (必有一边)
温故而知新 如图,Rt△ABC中,∠C=90°, (1)若∠A=30°,BC=3,则AC=33 (2)若∠B=60°,AC=3,则BC=√3 (3)若∠A=°,AC=3,则BC=3tana (4)若∠A=a°,BC=m,则AC= tan a B
温故而知新 A B C ┌ 如图，Rt△ABC中，∠C=90° ， （1）若∠A=30° ，BC=3，则AC= （2）若∠B=60° ，AC=3，则BC= （3）若∠A=α ° ，AC=3，则BC= （4）若∠A=α ° ，BC=m，则AC= 3 33 3tan tan m
测量中的最远点问题 例3:2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变 轨后,就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时,从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置? 这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6400m,结果精确到 0.1km) 分析:从飞船上能最远直接 看到的地球上的点,应是视 线与地球相切时的切点 Q 如图,⊙O表示地球,点F是飞船的位置 FQ是⊙O的切线,切点Q是从飞船观测 地球时的最远点.PQ的长就是地面 上P、Q两点间的距离,为计算PQ的 长需先求出∠POQ(即a)
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km） 分析：从飞船上能最远直接 看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点． ·O Q F P 如图，⊙O表示地球，点F是飞船的位置， α FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测 地球时的最远点．PQ 的长就是地面 上P、Q两点间的距离，为计算PQ 的 长需先求出∠POQ（即a）
解:在图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形 OQ 6400 coS a= ≈0.948 OF6400+350 ∴a≈18° PQ的长为 18丌 ×6400≈3.14×640=20096 180 当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 20096km
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形． a 18 ∴ PQ的长为 6400 3.14 640 2009.6 180 18 = 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km ·O Q F P α ∵ COS a = = OQ OF 6400 6400+350 ≈ 0.948
仰角与俯角 例4:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距 离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m) 分析:我们知道,在视线与水平线所 仰角 水平线 成的角中视线在水平线上方的是仰角, 视线在水平线下方的是俯角,因此, 在图中,a=30°,=60° R△ABC中,a=30 1D=120 图 四的 所以利用解直角三角形的知识求出 日用 俯角 BD类似地可以求出CD选而求出BC
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30° ,β=60° Rt△ABC中，a =30° ，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C α D β 仰角 水平线 俯角
解:如图,a=30°,阝=60°,AD=120 BD CD ∵tana tan B AD AD BD=AD. tan a=120x tan 30 =120×=40√3 D回自 日世册田 CD= AD tan B=120×tan60 20×√3=120√3 mm的m BC=BD+CD=40√3+1203 =1603≈2771 答:这栋楼高约为271m
解：如图，a = 30° ,β= 60° ， AD＝120． AD CD AD BD tan a = , tan = BD = ADtan a =120 tan 30 40 3 3 3 =120 = CD = ADtan =120tan 60 =120 3 =120 3 BC = BD +CD = 40 3 +120 3 =160 3 277.1 答：这栋楼高约为277.1m A B C α D β
练习 建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°,观察底部B的 仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m) 解:在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 54945 tan∠ADC、AC D 40m DC ∴AC=DC×tan∠ADC =tan54°×40≈1.38×40=552 所以AB=AC-BC=552-40=152 答:棋杆的高度为152m
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D 处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的 仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m） A B D 40m C 54°45° A B D 40m C 54°45° 解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90° BC=DC=40m 在Rt△ACD中 tan AC ADC DC = = = tan 54 40 1.38 40 55.2 所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：棋杆的高度为15.2m. 练习 ∴AC=DC×tan∠ADC ∵
2.如图,沿AC方向开山修路.为了加快施工进度,要在小山的另一边同 时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=520m,∠D=50°,那 么开挖点E离D多远正好能使A,C,E成一直线(精确到01m) 解:要使A、C、E在同一直线上,AB E 则∠ABD是△BDE的一个外角 140 ∠BED=∠ABD-∠D90° ∴△BDE是RT△ DE 50° cos∠BDE BD D ∴DE=COS∠BDE×BD cos50°×520≈0.64×520=332.8 答:开挖点E离点D3328m正好能使A,C,E成一直线
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140° ，BD = 520m，∠D=50°，那 么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m） 50° 140° A B C E D ∴∠BED=∠ABD－∠D=90° ∴△BDE 是RT△ cos DE BDE BD = = = cos 50 520 0.64 520 332.8 答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线. 解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角 ∴ DE=COS∠BDE×BD ∵
思想与方法 寻昌息与尚小 1、数形结合思想 2、方程思想 3.转化(化归)思想 方法:把数学问题转化成解直角三角形问题, 如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅 助线,构造出直角三角形
1．数形结合思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形. 思想与方法 2．方程思想. 3．转化（化归）思想