专题三相似三角形基本模型
专题三 相似三角形基本模型
类型之一:“A字型 1·如图,在△ABC中,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EDBC交 AB于点D (1)求证:AEBC=BDAC (2)如果S△ADE=3S△BDE=2,DE=6求BC的长 E
类型之一：“A”字型 1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交 AB于点D. (1)求证：AE·BC＝BD·AC； (2)如果S△ADE ＝3，S△BDE ＝2，DE＝6，求BC的长．
解:(1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠CBE,又∴ED∥BC AE DE △ADE∽△ABC,∠DEB=∠CBE…∴ A C BC,BD=DE,AE.BC BD·AC(2)∵S△ADE=3,S△BDE=2’∴ ABDE BD2 ADA0 △ ADE AD3 D+ BD AD 3 DE AD 3 AB=5∵△ADE∽△ABC’·BC=AB-5 ,∵DE=6,∴BC=10
解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC，∴∠DBE＝∠CBE，又∵ED∥BC， ∴△ADE∽△ABC，∠DEB＝∠CBE，∴ AE AC＝ DE BC，∵BD＝DE，∴AE·BC ＝BD·AC (2)∵S△ADE＝3，S△BDE＝2，∴ S△ADE S△BDE ＝ AD BD＝ 3 2 ，即 AD AD＋BD＝ AD AB＝ 3 5 ，∵△ADE∽△ABC，∴ DE BC＝ AD AB＝ 3 5 ，∵DE＝6，∴BC＝10
2·如图,在R△ACB中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,点P由B 出发沿BA方向向点4匀速运动,速度为1cms;点Q由A点出发沿AC方 向向点C匀速运动,速度为2cm连结PQ,若设运动的时间为s)(0<t <2),当t为何值时,以4,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似? B A→-Q
2．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90° ，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s；点Q由A点出发沿AC方 向向点C匀速运动，速度为2 cm/s.连结PQ，若设运动的时间为t(s)(0＜t ＜2)，当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？
解:在Rt△ABC中,AB=BC2+AC2=5,由题意知:AP=5 AQ AP 2t t,AQ=2t⑦若△APQ∽△ABC,则 AC 5 7 ②若△APQ∽△ACB,则 AQ AP 2t 5-t 5 AB=AC'∴5=4t=13综上所述 10 5 当t=7S式t=13时,以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似
解：在 Rt△ABC 中，AB＝ BC2＋AC2＝5，由题意知：AP＝5 －t，AQ＝2t.①若△APQ∽△ABC，则 AQ AC＝ AP AB，∴ 2t 4 ＝ 5－t 5 ，∴t＝ 10 7 ， ②若△APQ∽△ACB，则 AQ AB＝ AP AC，∴ 2t 5 ＝ 5－t 4 ，∴t＝ 25 13，综上所述， 当 t＝ 10 7 s 或 t＝ 25 13s 时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．
类型之二:“X”字型 3·如图,在平行四边形ABCD中,E是AD上的一点.求证: AE OE CB OB E D 解:证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AE∥BC,∴△AOE AE OE ∽△COB,∴ BC OB
类型之二：“X”字型 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点．求证：AE CB＝ OE OB. 解：证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AE∥BC，∴△AOE ∽△COB，∴ AE BC＝ OE OB
4·如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是边CB,DC延长线上的点, 且BE=CF,连结AE,FB,FB的延长线交AE于点M求证 (1)△BEM△BFC D (2 )CF2=FB. ME E B F 解:证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠ BCD=90∵∠ABE=∠BCF又∵BE=CF∴△ABE≌△BCF(SAS ∴∠E=∠F.又∵∴∠EBM=∠FBC,∴△BEM△BFC. O2)△BEM∽△BFC,,BEME FB=CF.:BE=CF,∴CF2=FB·ME
4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边CB，DC延长线上的点， 且BE＝CF，连结AE，FB，FB的延长线交AE于点M.求证： (1)△BEM∽△BFC； (2)CF2＝FB·ME. 解：证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠ BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF(SAS)， ∴∠E＝∠F.又∵∠EBM＝∠FBC，∴△BEM∽△BFC. (2)∵△BEM∽△BFC，∴ BE FB＝ ME CF.∵BE＝CF，∴CF2＝FB·ME
类型之三:旋转型 5·如图,在△ABC和△AED中,ABAD=ACAE,∠CAE=∠BAD △ADE 4S △ABC 求证:DE=2BC B 解:证明:∵∠CAE=∠BAD,∴∠CAE+∠CAD=∠BAD+∠ AB AC CAD,即∠BAC=∠DAE,又∴AB·AD=AC·AE,即 AEAD2…△ △ ABC BO BC 1 ABC∽△AED, 2,∵S△ADE=4S △ABC △ADE DE DE=2即DE 2BC
类型之三：旋转型 5．如图，在△ABC和△AED中，AB·AD＝AC·AE，∠CAE＝∠BAD， S△ADE ＝4S△ABC. 求证：DE＝2BC. 解：证明：∵ ∠CAE＝∠BAD，∴ ∠CAE＋∠CAD＝∠BAD＋∠ CAD，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB·AD＝AC·AE，即 AB AE＝ AC AD，∴△ ABC∽△AED，∴ S△ABC S△ADE ＝( BC DE) 2，∵S△ADE＝4S△ABC，∴ BC DE＝ 1 2 ，即 DE ＝2BC
类型之四:垂直型 6·如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若AD=1 cm,DB=2cm,求AC的长 A B C 解:∵∠ACB=90°CD⊥AB,∴∠A+∠B=90°,∠A+∠ACD AC 90 ∠B=∠ACD,又∵∠A=∠A,∴△ACD∽△ABC,∴ AB AD ACAC=AB AD, AD=l.DB=2 cm ,'. AC=(AD+BD)AD 3,∴AC=13cm
类型之四：垂直型 6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90° ，CD⊥AB，垂足为D，若AD＝1 cm，DB＝2 cm，求AC的长． 解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD ＝90°，∴∠B＝∠ACD，又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴ AC AB ＝ AD AC，AC2＝AB·AD，∵AD＝1 cm，DB＝2 cm，∴AC2＝(AD＋BD)·AD ＝3，∴AC＝ 3 cm
7·如图,已知矩形ABCD中,E为AD上一点,BE⊥CE (1)求证:△EAB△CDE; (2)若AB=3,AD=8,求AE的长 E D 解:(1)∵证明:∵BE⊥CE,∴∠AEB+∠DEC=90°,又∵∠ABE+ ∠AEB=90°,∴∠ABE=∠DEC,∵∠A=∠D=90°,∴△EAB∽△CDE AE AB AE 3 (2)∵△EAB∽△CDE’∴ CDDE’∵AB=3,AD=8,∴ 38-AE∴ AE=4+√7或4-y7
7．如图，已知矩形ABCD中，E为AD上一点，BE⊥CE. (1)求证：△EAB∽△CDE； (2)若AB＝3，AD＝8，求AE的长． 解：(1)∵证明：∵BE⊥CE，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，又∵∠ABE＋ ∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠A＝∠D＝90°，∴△EAB∽△CDE (2)∵△EAB∽△CDE，∴ AE CD＝ AB DE，∵AB＝3，AD＝8，∴ AE 3 ＝ 3 8－AE，∴ AE＝4＋ 7或 4－ 7