免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 角平分线的性质 教学目标 1.1.掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用 理解原命题和逆命题的概念和关系,会找一个简单命题的逆命题 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点 教学过程设计 、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1,复习引入课题. (1)提问关于直角三角形全等的判定定理 (2)让学生用量角器画出图3-86中的∠AOB的角 平分线0 2.画图探索角平分线的性质并证明之 (1)在图3-86中,让学生在角平分线0C上任取 点P,并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段 PD, PE (2)这两个距离的大小之间有什么关系?为什么?学生度量后得出猜想,并用直角三 角形全等的知识进行证明,得出定理 (3)引导学生叙述角平分线的性质定理(定理1),分析定理的条件、结论,并根据相 应图形写出表达式 B 图3-86 3.逆向思维探求角平分线的判定定理 (1)让学生将定理1的条件、结论进行交换,并思考所得命题是否成立?如何证明? 请一位同学叙述证明过程,得出定理2——角平分线的判定定理 (2)教师随后强调定理1与定理2的区别:已知角平分线用性质为定理1,由所给条 件判定出角平分线是定理2 (3)教师指出:直接使用两个定理不用再证全等,可简化解题过程 4.理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合 (1)角平分线上任意一点(运动显示)到角的两边的距离都相等(渗透集合的纯粹性). 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 角平分线的性质 教学目标 1． 1． 掌握角的平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明及应用． 2． 2． 理解原命题和逆命题的概念和关系，会找一个简单命题的逆命题． 3． 3． 渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想。 教学重点和难点 角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点． 性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点． 教学过程设计 一、角平分钱的性质定理与判定定理的探求与证明 1，复习引入课题． （1）提问关于直角三角形全等的判定定理． （2）让学生用量角器画出图 3－86 中的∠AOB 的角 平分线 OC． 2．画图探索角平分线的性质并证明之． （1）在图 3－86 中，让学生在角平分线 OC 上任取一 点 P，并分别作出表示Ｐ点到∠AOB 两边的距离的线段 PD，PE． （2）这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？学生度量后得出猜想，并用直角三 角形全等的知识进行证明，得出定理． （3）引导学生叙述角平分线的性质定理（定理 1），分析定理的条件、结论，并根据相 应图形写出表达式． 3．逆向思维探求角平分线的判定定理． （1）让学生将定理 1 的条件、结论进行交换，并思考所得命题是否成立？如何证明？ 请一位同学叙述证明过程，得出定理 2——角平分线的判定定理． （2）教师随后强调定理 1 与定理 2 的区别：已知角平分线用性质为定理 1，由所给条 件判定出角平分线是定理 2． （3）教师指出：直接使用两个定理不用再证全等，可简化解题过程． 4．理解角平分线是到角的两边距离都相等的点的集合． （1）角平分线上任意一点（运动显示）到角的两边的距离都相等（渗透集合的纯粹性）．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ (2)在角的内部,到角的两边距离相等的点(运动显示)都在这个角的平分线上(而 不在其它位置,渗透集合的完备性) 由此得出结论:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 二、应用举例、变式练习 练习1填空:如图3-86(1)∵0C平分∠AOB,点P在射线OC上,PD⊥OA于D ⊥OB于E.∴ (角平分线的性质定理) (2)∵PD⊥OA,PE⊥OB, OP平分∠AOB( 例1已知:如图3-87(a),ABC的角平分线BD和CE交于F (1)求证:F到AB,BC和AC边的距离相等 (2)求证:AF平分∠BAC; D (b) E (3)求证:三角形中三条内角的平分线交于一点,而且这点到三角形三边的距离相等 (4)怎样找△ABC内到三边距离相等的点? (5)若将“两内角平分线BD,CE交于F”改为“△ABC的两个外角平分线BD,CE交于F, 如图3-87(b),那么(1)~(3)题的结论是否会改变?怎样找△ABC外到三边所在直线 距离相等的点?共有多少个? 说明: (1)通过此题达到巩固角平分线的性质定理(第(1)题)和判定定理(第(2)题) 的目的 (2)此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法:先确定两条直线交于某一点,再 证明这点在第三条直线上 (3)引导学生对题目的条件进行类比联想(第(5)题),观察结论如何变化,培养发 散思维能力. 练习2已知△ABC,在△ABC内求作一点P,使它到△ABC三边的距离相等 练习3已知:如图3-88,在四边形ABCD中,AB=AD BC,AD⊥DC.求证: 点C在∠DAB的平分线上 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （2）在角的内部，到角的两边距离相等的点（运动显示）都在这个角的平分线上（而 不在其它位置，渗透集合的完备性）． 由此得出结论：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合． 二、应用举例、变式练习 练习 1 填空：如图 3－86（1）∵OC 平分∠AOB，点 P 在射线 OC 上，PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E．∴---------（角平分线的性质定理）． （2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP 平分∠AOB（-------------） 例 1 已知：如图 3－87（a），ABC 的角平分线 BD 和 CE 交于 F． （l）求证：F 到 AB，BC 和 AC 边的距离相等； （2）求证：AF 平分∠BAC； （3）求证：三角形中三条内角的平分线交于一点，而且这点到三角形三边的距离相等； （4）怎样找△ABC 内到三边距离相等的点？ （5）若将“两内角平分线 BD，CE 交于 F”改为“△ABC 的两个外角平分线 BD，CE 交于 F， 如图 3-87（b），那么（1）～（3）题的结论是否会改变？怎样找△ABC 外到三边所在直线 距离相等的点？共有多少个？ 说明： （1）通过此题达到巩固角平分线的性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题） 的目的． （2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两条直线交于某一点，再 证明这点在第三条直线上。 （3）引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发 散思维能力． 练习 2 已知△ABC，在△ABC 内求作一点 P，使它到△ABC 三边的距离相等． 练习 3 已知：如图 3－88，在四边形 ABCD 中， AB＝AD， AB⊥BC，AD⊥DC．求证： 点 C 在∠DAB 的平分线上．
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ B D 图3-88 A E 图3-89 例2已知:如图3-89,OE平分∠AOB,EC⊥OA于C,ED⊥OB于D.求证:(1) OC=0D;(2)OE垂直平分Cl 分析:证明第(1)题时,利用“等角的余角相等”可得到∠OEC=∠OED,再利用角平 分线的性质定理得到OC=0D.这样处理,可避免证明两个三角形全等 练习4课本第50页的练习 说明:训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力. 三、互逆命题,互逆定理的定义及应用 1.互逆命题、互逆定理的定义 教师引导学生分析角平分线的性质,判定定理的题设、结论,使学生看到这两个命题 的题设和结论正好相反,得出互逆命题、互逆定理的定义,并举出学过的互逆命题、互逆定 理的例子.教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系,其中任何一个做为原命题,那么 另一个就是它的逆命题 2.会找一个命题的逆命题,并判定它是真、假命题 例3写出下列命题的逆命题,并判断(1)~(5)中原命题和它的逆命题是真命题还是 假命题 (1)两直线平行,同位角相等 (2)直角三角形的两锐角互余 (3)对顶角相等; (4)全等三角形的对应角相等 (5)如果|x|=|y|,那么x=y: (6)等腰三角形的两个底角相等; (7)直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 2 已知：如图 3－ 89，OE 平分∠AOB，EC⊥OA 于 C，ED⊥OB 于 D．求证：（1） OC＝OD；（2）OE 垂直平分 CD． 分析：证明第（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平 分线的性质定理得到 OC＝OD．这样处理，可避免证明两个三角形全等． 练习 4 课本第 50 页的练习. 说明：训练学生将生活语言翻译成数学语言的能力． 三、互逆命题，互逆定理的定义及应用 1．互逆命题、互逆定理的定义． 教师引 导学生分析角平分线的性质，判定定理的题设、结论，使学生看到这两个命题 的题设和结论正好相反，得出互逆命题、互逆定理的定义，并举出学过的互逆命题、互逆定 理的例子．教师强调“互逆命题”是两个命题之间的关系，其中任何一个做为原命题，那么 另一个就是它的逆命题． 2．会找一个命题的逆命题，并判定它是真、假命题． 例 3 写出下列命题的逆命题，并判断（1）～（5）中原命题和它的逆命题是真命题还是 假命题： （1）两直线平行，同位角相等； （2）直角三角形的两锐角互余； （3）对顶角相等； （4）全等三角形的对应角相等； （5）如果|x|＝|y|，那么 x＝y； （6）等腰三角形的两个底角相等； （7）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
免费下载网址http://jiaoxue5u.ys168.com/ 说明:注意逆命题语言的准确描述,例如第(6)题的—逆命题不能说成是“两底角相等 的三角形是等腰三角形 3.理解互逆命题、互逆定理的有关结论 例4判断下列命题是否正确: (1)错误的命题没有逆命 (2)每个命题都有逆命题 (3)一个真命题的逆命题一定是正确的; (4)一个假命题的逆命题一定是错误的; (5)每一个定理都一定有逆定理 通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义 四、师生共同小结 1.角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么? 2.三角形的角平分线有什么性质?怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点? 3.怎样找一个命题的逆命题?原命题与逆命题是否同真、同假? 五、作业 课本第51页第3,5,6,7题 课堂教学设计说明 本教学设计需2课时完成 角平分线是符合某种条件的动点的集合,因此,利用教具,投影或计算机演示动点运动 的过程和规律,更能展示知识的形成过程,有利于学生自己观察,探索新知识,从中提高兴 趣,以充分培养能力,发挥学生学习的主动性 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 说明：注意逆命题语言的准确描述，例如第（6）题的 逆命题不能说成是“两底角相等 的三角形是等腰三角形”． 3．理解互逆命题、互逆定理的有关结论． 例 4 判断下列命题是否正确： （1）错误的命题没有逆命题； （2）每个命题都有逆命题； （3）一个真命题的逆命题一定是正确的； （4）一个假命题的逆命题一定是错误的； （5）每一个定理都一定有逆定理． 通过此题使学生理解互逆命题的真假性关系及互逆定理的定义． 四、师生共同小结 1．角平分线的性质定理与判定定理的条件内容分别是什么？ 2．三角形的角平分线有什么性质？怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？ 3．怎样找一个命题的逆命题？原命题与逆命题是否同真、同假？ 五、作业 课本第 51 页第 3，5，6，7 题． 课堂教学设计说明 本教学设计需 2 课时完成． 角平分线是符合某种条件的动点的集合，因此，利用教具，投影或计算机演示动点运动 的过程和规律，更能展示知识的形成过程，有利于学生自己观察，探索新知识，从中提高兴 趣，以充分培养能力，发挥学生学习的主动性．