16.1.1二次根式 教案序号:1时间:2014年2月15日 教学内容 次根式的概念及其运 教学目标 理解二次根式的概念,并利用√a(a≥0)的意义解答具体题目 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题 教学重难点关键 1.重点:形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式的概念 2.难点与关键:利用“√a(a≥0)”解决具体问题 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题: 二、探索新知 很明显√、√0、,都是一些正数的算术平方根,像这样一些正数的算术平方根 的式子,我们就把它称二次根式.因此,一般地,我们把形如√a(a≥0)·的式子叫做二次 根式,“√”称为二次根号 (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 0,a有意义吗? 老师点评:(略) 例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:、、1、(x0 +y(x≥0,y·≥0) 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“√”:第二,被开方数是正数或 解:二次根式有:、√x(x0)、V、V、x+y(x≥0,y≥0):不是二次 根式的有 x+1 例2.当x是多少时,√3x-1在实数范围内有意义?
16．1.1 二次根式 教案序号：1 时间：2014 年 2 月 15 日 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 理解二次根式的概念，并利用 a （a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1．重点：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“ a （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本 P2 的三个思考题： 二、探索新知 很明显 3 、 10 、 4 6 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根 的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如 a （a≥0）• 的式子叫做二次 根式，“ ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1 有算术平方根吗？ 2．0 的算术平方根是多少？ 3．当 a0）、 0 、 4 2 、- 2 、 1 x y + 、 x y + （x≥0，y• ≥0）． 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0． 解：二次根式有： 2 、 x （x>0）、 0 、- 2 、 x y + （x≥0，y≥0）；不是二次 根式的有： 3 3 、 1 x 、 4 2 、 1 x y + ． 例 2．当 x 是多少时， 3 1 x − 在实数范围内有意义？
分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x1≥0,·3x-1 才能有意义 解:由3x-1≥0,得:x≥ 当x≥时 在实数范围内有意义 三、巩固练习 教材P5练习1、2、3 四、应用拓展 例3.当x是多少时,√2x+3+在实数范围内有意义? x+1 分析:要使2x+3+1在实数范围内有意义,必须同时满足√2x+3中的≥0和1 x+1 中的x+1≠0 2x+3≥0 解:依题意,得 x+1≠0 由①得:x≥ 由②得:x≠-1 当x≥-且x≠-1时,√2x+3+在实数范围内有意义 x+1 例41)已知y=√2-x+√x-2+5,求x的值.(答案2) (2)若a+1+√b-1=0,求a0+b0的值.(答案:2) 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握: 形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式,“√”称为二次根号 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数 六、布置作业 1.教材P51,2,3,4 2.选用课时作业设计 第一课时作业设计 选择题 1.下列式子中,是二次根式的是() A 7 2.下列式子中,不是二次根式的是()
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于 0，所以 3x-1≥0，• 3 1 x − 才能有意义． 解：由 3x-1≥0，得：x≥ 1 3 当 x≥ 1 3 时， 3 1 x − 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材 P5 练习 1、2、3． 四、应用拓展 例 3．当 x 是多少时， 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义？ 分析：要使 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义，必须同时满足 2 3 x + 中的≥0 和 1 x +1 中的 x+1≠0． 解：依题意，得 2 3 0 1 0 x x + + 由①得：x≥- 3 2 由②得：x≠-1 当 x≥- 3 2 且 x≠-1 时， 2 3 x + + 1 x +1 在实数范围内有意义． 例 4(1)已知 y= 2 − x + x − 2 +5，求 x y 的值．(答案:2) (2)若 a +1 + b −1 =0，求 a 2004+b2004 的值．(答案: 2 5 ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材 P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题 1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A．- 7 B． 3 7 C． x D．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
√8 3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是() A.5 D.以上皆不对 二、填空题 1.形如 的式子叫做二次根式 2.面积为a的正方形的边长为 3.负数 平方根 三、综合提高题 某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒,其高为02m,按设计需要,·底面应做 成正方形,试问底面边长应是多少? 2.当x是多少时,√2x+3+x在实数范围内有意义? 3.若√3-x+√x-3有意义,则√x2 4使式子√(x-5)2有意义的未知数x有()个 D.无数 5已知a、b为实数,且√a-5+2√0-2a=b+4,求a、b的值 第一课时作业设计答案 1.A2.D3.B 3.没有 三、1.设底面边长为x,则02x2=1,解答:x=√ 2x+3≥0|x≥ 2.依题意得 x≠0 x≠0 当x>-且x≠0时, x2在实数范围内没有意义 16.1.2二次根式(2) 教案序号:2时间:2014年2月16日星期一
A． 4 B． 16 C． 8 D． 1 x 3．已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（ ） A．5 B． 5 C． 1 5 D．以上皆不对 二、填空题 1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为 a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题 1．某工厂要制作一批体积为 1m3 的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要，• 底面应做 成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当 x 是多少时， 2 3 x x + +x2 在实数范围内有意义？ 3．若 3− x + x −3 有意义，则 2 x − =_______． 4.使式子 2 − − ( 5) x 有意义的未知数 x 有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数 5.已知 a、b 为实数，且 a −5 +2 10 2 − a =b+4，求 a、b 的值． 第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B 二、1． a （a≥0） 2． a 3．没有 三、1．设底面边长为 x，则 0.2x2=1，解答：x= 5 ． 2．依题意得： 2 3 0 0 x x + ， 3 2 0 x x − ∴当 x>- 3 2 且 x≠0 时， 2 3 x x + ＋x 2 在实数范围内没有意义． 3. 1 3 4．B 5．a=5，b=-4 16.1.2 二次根式(2) 教案序号：2 时间：2014 年 2 月 16 日 星期一
教学内容 1.√a(a≥0)是一个非负数 2.(√a)2=a(a≥0) 教学目标 理解√a(a≥0)是一个非负数和(√a)2=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简 通过复习二次根式的概念,用逻辑推理的方法推出√(a≥0)是一个非负数,用具体数 据结合算术平方根的意义导出(a)2=a(a≥0);最后运用结论严谨解题 教学重难点关键 1.重点:√a(a≥0)是一个非负数:(√a)2=a(a≥0)及其运用 2.难点、关键:用分类思想的方法导出√a(a≥0)是一个非负数:·用探究的方法导 出(√G)2=a(a≥0) 教学过程 复习引入 (学生活动)口答 什么叫二次根式? 2.当a≥0时,√叫什么?当a<0时,√G有意义吗? 老师点评(略) 、探究新知 议一议:(学生分组讨论,提问解答) √a (a≥0)是一个什么数呢? 老师点评:根据学生讨论和上面的练习,我们可以得出 a(a≥0)是一个非负数 做一做:根据算术平方根的意义填空: √2 l一 (√0)2= 老师点评:√是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,4是一个平方等于4的非 负数,因此有(√4)2=4
教学内容 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）． 教学目标 理解 a （a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个非负数，用具体数 据结合算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键 1．重点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ）2=a（a≥0）及其运用． 2．难点、关键：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；• 用探究的方法导 出（ a ）2=a（a≥0）． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当 a≥0 时， a 叫什么？当 a<0 时， a 有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a （a≥0）是一个什么数呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 a （a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空： （ 4 ）2=_______；（ 2 ）2=_______；（ 9 ）2=______；（ 3 ）2=_______； （ 1 3 ）2=______；（ 7 2 ）2=_______；（ 0 ）2=_______． 老师点评： 4 是 4 的算术平方根，根据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非 负数，因此有（ 4 ）2=4．
同理可得:(√2)2=2,(√)2=9,(3)2=3,(,)2 √0) 3 0,所以 √G)2a(a≥0 例1计算 分析:我们可以直接利用(√G)2=a(a≥0)的结论解题 解 √5)2=32·(√5 5√7、2(7)2_7 三、巩固练习 计算下列各式的值: 2 √0 5)2-(5√3)2 四、应用拓展 例2计算 1.(√x+1)2(x≥0)2.(√)23.(a2+2a+1)2 4.(√4x2-12x+9)2 分析:(1)因为x≥0,所以x+1>0:(2)a2≥0;(3)a2+2a+1=(a+1)≥0; (4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0 所以上面的4题都可以运用(a)2=a(a≥0)的重要结论解题 解:(1)因为x≥0,所以x+1>0 1)2=x+1 (2):a2≥0,∴(√a2)2=a2 (3)∵a2+2a+1=(a+1)2 又∵(a+1)2≥0,:a3+2a+1≥0,∴a2+2a+1=a2+2a+1 (4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2
同理可得：（ 2 ）2=2，（ 9 ）2=9，（ 3 ）2=3，（ 1 3 ）2= 1 3 ，（ 7 2 ）2= 7 2 ，（ 0 ） 2=0，所以 （ a ）2=a（a≥0） 例 1 计算 1．（ 3 2 ）2 2．（3 5 ）2 3．（ 5 6 ）2 4．（ 7 2 ）2 分析：我们可以直接利用（ a ）2=a（a≥0）的结论解题． 解：（ 3 2 ）2 = 3 2 ，（3 5 ）2 =32·（ 5 ）2=32·5=45， （ 5 6 ）2= 5 6 ，（ 7 2 ）2= 2 2 ( 7) 7 2 4 = ． 三、巩固练习 计算下列各式的值： （ 18 ）2 （ 2 3 ）2 （ 9 4 ）2 （ 0 ）2 （4 7 8 ）2 2 2 (3 5) (5 3) − 四、应用拓展 例 2 计算 1．（ x +1 ）2（x≥0） 2．（ 2 a ）2 3．（ 2 a a + + 2 1 ）2 4．（ 2 4 12 9 x x − + ）2 分析：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2 -12x+9=（2x）2 -2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的 4 题都可以运用（ a ）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为 x≥0，所以 x+1>0 （ x +1 ）2=x+1 （2）∵a 2≥0，∴（ 2 a ）2=a2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2 又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴ 2 a a + + 2 1 =a2+2a+1 （4）∵4x2 -12x+9=（2x）2 -2·2x·3+32=（2x-3）2
又∵(2x-3)2≥0 ∴4x2-12x+9≥0,∴(√4x2-12x+9)2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式 (1)x2-3(2)x4-4 (3)2x2-3 分析:(略) 五、归纳小结 本节课应掌握 √a(a≥0)是一个非负数 2.(√a)2=a(a≥0);反之:a=(√a)2(a≥0) 六、布置作业 1.教材P55,6,7,8 2.选用课时作业设计 第二课时作业设计 、选择题 1.下列各式中√、3、√b2-1、、a+b2、√m2+20、√-144,二次根式的 个数是() 2.数a没有算术平方根,则a的取值范围是() aa> B D.a=0 、填空题 2.已知√x+1有意义,那么是一个数 三、综合提高题 (1)(√5)2(2)-(√3 (3)( √6 (4)(-3,-) (5)(23+3√2)√-32) 2.把下列非负数写成一个数的平方的形式 (1)5 (2)34(3) (4)x(x≥0) 3.已知√x-y+1+√x-3=0,求x的值 4.在实数范围内分解下列因式 (1)x22(2)x4-9 3x2-5 第二课时作业设计答案:
又∵（2x-3）2≥0 ∴4x2 -12x+9≥0，∴（ 2 4 12 9 x x − + ）2=4x2 -12x+9 例 3 在实数范围内分解下列因式: （1）x 2 -3 （2）x 4 -4 (3) 2x2 -3 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 1． a （a≥0）是一个非负数； 2．（ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（ a ）2（a≥0）． 六、布置作业 1．教材 P5 5，6，7，8 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计 一、选择题 1．下列各式中 15 、 3a 、 2 b −1、 2 2 a b + 、 2 m + 20 、 −144 ，二次根式的 个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 2．数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0 二、填空题 1．（- 3 ）2=________． 2．已知 x +1 有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算 （1）（ 9 ）2 （2）-（ 3 ）2 （3）（ 1 2 6 ）2 （4）（-3 2 3 ）2 (5) (2 3 3 2)(2 3 3 2) + − 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3） 1 6 （4）x（x≥0） 3．已知 x y − +1 + x −3 =0，求 x y 的值． 4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2 -2 （2）x 4 -9 3x2 -5 第二课时作业设计答案:
32.非负数 、1.(1)(√5)2=9(2).()2=3(3)(√ (4)(-3,-)2=9× (1)5=(√5)2(2)34=(√34)2 (3)=(,)2(4)x=(√x)2(x≥0) 6 x-y+1=0(x=3 =81 x-3=0y=4 (2)x2-9=(x+3)(x2-3)=(x2+3)(x+√3)(x-√3) 3)略 21.1二次根式(3) 教案总序号:3时间:2014年2月17日 教学内容 a2=a(a≥0) 教学目标 理解√a2=a(a≥0)并利用它进行计算和化简 通过具体数据的解答,探究√2=a(a≥0),并利用这个结论解决具体问题 教学重难点关键 重点: √a2 a(a≥0) 2.难点:探究结论 3.关键:讲清a≥0时,√a2=a才成立 教学过程 、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容; 1.形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式;
一、1．B 2．C 二、1．3 2．非负数 三、1．（1）（ 9 ）2=9 （2）-（ 3 ）2=-3 （3）（ 1 2 6 ）2= 1 4 ×6= 3 2 （4）（-3 2 3 ）2=9× 2 3 =6 (5)-6 2．（1）5=（ 5 ）2 （2）3.4=（ 3.4 ）2 （3） 1 6 =（ 1 6 ）2 （4）x=（ x ）2（x≥0） 3． 1 0 3 3 0 4 x y x x y − + = = − = = x y=34=81 4.（1）x 2 -2=（x+ 2 ）（x- 2 ） （2）x 4 -9=（x 2+3）（x 2 -3）=（x 2+3）（x+ 3 ）（x- 3 ） (3)略 21.1 二次根式(3) 教案总序号：3 时间：2014 年 2 月 17 日 教学内容 2 a ＝a（a≥0） 教学目标 理解 2 a =a（a≥0）并利用它进行计算和化简． 通过具体数据的解答，探究 2 a =a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1．重点： 2 a ＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清 a≥0 时， 2 a ＝a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式；
2.√a(a≥0)是一个非负数: 3.(√G)2=a(a≥0) 那么,我们猜想当a≥0时,a=是否也成立呢?下面我们就来探究这个问题 二、探究新知 (学生活动)填空 .0l 2=: (老师点评):根据算术平方根的意义,我们可以得到 因此,一般地:a2=a(a≥0) 例1化简 (1)√(2)√-4)2(3)√25(4)V-3 分析:因为(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52, (4)(-3)2=3,所以都可运用√a2=a(a≥0)·去化简 解:(1) (3) 5(4) 三、巩固练习 教材P练习2. 四、应用拓展 例2填空:当a≥0时,a2 当aa,则a可以是什么数? 分析:∵园a=a(a≥0),:要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应
2． a （a≥0）是一个非负数； 3．( a ) 2＝a（a≥0）． 那么，我们猜想当 a≥0 时， 2 a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： 2 2 =_______； 2 0.01 =_______； 1 2 ( ) 10 =______； 2 2 ( ) 3 =________； 2 0 =________； 3 2 ( ) 7 =_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 2 2 =2； 2 0.01 =0.01； 1 2 ( ) 10 = 1 10 ； 2 2 ( ) 3 = 2 3 ； 2 0 =0； 3 2 ( ) 7 = 3 7 ． 因此，一般地： 2 a =a（a≥0） 例 1 化简 （1） 9 （2） 2 ( 4) − （3） 25 （4） 2 ( 3) − 分析：因为（1）9=-3 2，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32，所以都可运用 2 a =a（a≥0）• 去化简． 解：（1） 9 = 2 3 =3 （2） 2 ( 4) − = 2 4 =4 （3） 25 = 2 5 =5 （4） 2 ( 3) − = 2 3 =3 三、巩固练习 教材 P7 练习 2． 四、应用拓展 例 2 填空：当 a≥0 时， 2 a =_____；当 aa，则 a 可以是什么数？ 分析：∵ 2 a =a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应
变形,使“()2”中的数是正数,因为,当a≤0时, -a)2,那么a≥0 (1)根据结论求条件:(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2) 可知√a2=|a|,而|a|要大于a,只有什么时候才能保证呢?a-0 解:(1)因为√a2=a,所以a≥0 (2)因为 √a2 =a,所以a≤0; (3)因为当a≥0时a2=a,要使√a2>a,即使a>a所以a不存在:当a0时,√a2=a, 要使√a2>a,即使a>a,a0综上,a0 例3当x2,化简√(x-2)2-√1-2x)2 分析:(略) 五、归纳小结 本节课应掌握:a=a(a≥0)及其运用,同时理解当a0时,a=-a的应用拓展 六、布置作业 1.教材Ps习题16.13、4、6、8 2.选作课时作业设计 第三课时作业设计 、选择题 1.、(2)2+1(-2)2的值是() 2 A.0B. D.以上都不对 2.a≥0时,√a2、 比较它们的结果,下面四个选项中正确的是() A.a=√-a)2≥-a2B.Ga2>√-axVa √a2 二、填空题 0004 2.若√20m是一个正整数,则正整数m的最小值是 综合提高题 1.先化简再求值:当a=9时,求a+√h-2a+a的值,甲乙两人的解答如下 甲的解答为:原式=a+√1-a)2=a+(1-a)=1
变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当 a≤0 时， 2 a = 2 ( ) −a ，那么-a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2） 可知 2 a =│a│，而│a│要大于 a，只有什么时候才能保证呢？aa，即使 a>a 所以 a 不存在；当 aa，即使-a>a，a2，化简 2 ( 2) x − - 2 (1 2 ) − x ． 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： 2 a =a（a≥0）及其运用，同时理解当 a 2 ( ) −a >- 2 a C． 2 a 2 a = 2 ( ) −a 二、填空题 1．- 0.0004 =________． 2．若 20m 是一个正整数，则正整数 m 的最小值是________． 三、综合提高题 1．先化简再求值：当 a=9 时，求 a+ 2 1 2 − +a a 的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+ 2 (1 ) − a =a+（1-a）=1；
乙的解答为:原式=a+ a+(a-1)=2a-1=17 两种解答中, 解答是错误的,错误的原因是 2.若|199a+√a-2000=a,求a-1995的值 (提示:先由a-2000≥0,判断1995-a·的值是正数还是负数,去掉绝对值) 3.若-3≤x≤2时,试化简|x2|+√x+3)2+√Vx2-10x+25 谷案 、1.甲甲没有先判定1-a是正数还是负数 2.由已知得a-·2000·≥0,·a·≥2000 所以a199+a-20003,a-2000=199,1-200-1995 所以a-19952=2000 21.2二次根式的乘除 教案总序号:4时间:2014年2月18日
乙的解答为：原式=a+ 2 (1 ) − a =a+（a-1）=2a-1=17． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│+ a − 2000 =a，求 a-19952 的值． （提示：先由 a-2000≥0，判断 1995-a• 的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x≤2 时，试化简│x-2│+ 2 ( 3) x + + 2 x x − + 10 25 。 答案: 一、1．C 2．A 二、1．-0．02 2．5 三、1．甲 甲没有先判定 1-a 是正数还是负数 2．由已知得 a-• 2000• ≥0，• a• ≥2000 所以 a-1995+ a − 2000 =a， a − 2000 =1995，a-2000=19952， 所以 a-19952=2000． 3. 10-x 21．2 二次根式的乘除 教案总序号：4 时间：2014 年 2 月 18 日