28.1锐角三角函数(1
28.1 锐角三角函数(1)
学习目标: 1、理解正弦函数的意义,掌握正弦函数的表示方法。 2、能根据正弦函数的定义计算直角三角形中一个锐角的 正弦函数值。 3、通过经历正弦函数概念的形成过程,培养学生从特殊 到一般及数形结合的思想方法。 重点: 对正弦函数定义的理解及根据定义计算锐角的正弦函 数值。 难点 正弦函数概念的形成
学习目标： 1、理解正弦函数的意义，掌握正弦函数的表示方法。 2、能根据正弦函数的定义计算直角三角形中一个锐角的 正弦函数值。 3、通过经历正弦函数概念的形成过程，培养学生从特殊 到一般及数形结合的思想方法。 重点： 对正弦函数定义的理解及根据定义计算锐角的正弦函 数值。 难点 正弦函数概念的形成
情问题为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿 境着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿 探/地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°, 为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管? 究 B 分析:这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”, 即 无法显示该图片 可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长的水管
问题:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿 着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿 地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30° ， 为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90° ， ∠A＝30° ，BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”， 即 可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管． A B C 分析： 情 境 探 究
思考 在上面的问题中,如果使出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的水管? B 35m 00050U3 ∠A的对边BC 斜边AB2AB”=2B'C=2×50=1000 结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么不管 角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比值都等于
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？ 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管 三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 2 1 A B C 50m 35m , 2 1 ' ' ' = = AB A B C 斜边 的对边 B ' C ' AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100(m)
以思考 如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C 90°,∠A=45°,计算∠4的对边与斜 边的比B 你能得出什么结论? AB B 在Rt△ABC中,∠C=90°,由于∠A=45°,所以 Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得: o AB2=AC2+BC2=2BC2 AB=√2BC 因此BCBC AB√2BC 即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角 形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于√2 2
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以 Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得: 2 2 2 2 AB = AC + BC = 2BC AB = 2BC 2 2 2 1 2 = = = BC BC AB 因此 BC 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角 形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 2 2 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝ 90° ，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜 边的比 ，你能得出什么结论？ AB BC A C B
结论 综上可知,在一个R△ABC中,∠C=90°,当∠A=30°时,∠A的 对边与斜边的比都等于1,是一个固定值;当∠A=45°时,∠A的 对边与斜边的比都等于2,也是一个固定值 般地,当∠A取其他一定度数的锐角时,它的对 边与斜边的比是否也是一个固定值?
2 1 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的 对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的 对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值. 2 2 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对 边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究 任意画R△ABC和R△ABC,使得∠C=∠C"=90°,∠A=∠A"=, 那么B BO 与 有什么关系.你能解释一下吗? AB A B B B 在图中,由于∠C=∠C=90°,∠A=∠A=a,所以 Rt△ABC∽Rt△ABC BC AB BC B'C BC AB AB AB 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角 形的大小如何,∠A的对边与斜边的比也是一个固定值.并且直角 角形中一个锐角的度数越大,它的对边与斜边的比值越大
在图中，由于∠C＝∠C'＝90° ，∠A＝∠A'＝α，所以 Rt△ABC∽Rt△A'B'C' ' ' A'B' AB B C BC = ' ' ' ' A B B C AB BC = 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角 形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角 三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大 任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90° ，∠A＝∠A'＝α， 那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ AB BC ' ' ' ' A B B C 探究 A B C A' B' C
正弦函数 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边 与斜边的比值叫做∠A的正弦(sine),记作:sinA即 B smA=∠4的对边=4 斜边 斜边 C 对边 b 例如,当∠A=30°时,我们有 sin a= sin 30 在图中 当∠A=45°时,我们有 ∠A的对边记作a SnA=Sim45°=V2 ∠B对边记作b ∠C的对边记作c
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边 与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA 即 c A a A = = 斜边 的对边 sin 例如，当∠A＝30°时，我们有 2 1 sin = sin 30 = A 当∠A＝45°时，我们有 2 2 sin = sin 45 = A A B C c a b 对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 正 弦 函 数
例题示范 例1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值 解:(1)在Rt△ABC中, B AB=√AC2+BC2=√4+32 BC 3 求sin4就因此snA ab 5 是要确定∠A 的对边与斜 边的比;求 Sin AC 4 Ab 5 sinB就是要 (2)在R△ABC中, 确定∠B的对 边与斜边的 sin 4- BCY B 比 AB 13 13 AC=√AB2-BC2=√132-52=12 因此sinB=aC_12 Ab 13
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中， 4 3 5 2 2 2 2 AB = AC + BC = + = 因此 5 3 sin = = AB BC A 5 4 sin = = AB AC B （2）在Rt△ABC中， 13 5 sin = = AB BC A 13 5 12 2 2 2 2 AC = AB − BC = − = 因此 13 12 sin = = AB AC B A B C A B C 3 4 13 求sinA就 是要确定∠A 的对边与斜 边的比；求 sinB就是要 确定∠B的对 边与斜边的 比 例 题 示 范 5
练一练 1判断对错 1)如图(iA=C (√) AB B BC 10m (2)sin B AB(×) 6m 3)inA=06m(X)4 C sinA是一个比值(注意比的顺序),无单位; (4)SinB=0.8() 2)如图, sinA- bC (X) aB 0
练一练 1.判断对错: A 10m 6m B C 1) 如图 (1) sinA= （ ） (2)sinB= （ ） (3)sinA=0.6m （ ） (4)SinB=0.8 （ ） AB BC BC AB √ √ × × sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位； 2)如图，sinA= （ ） BC AB ×