免费下载网址ht: jiaoxue5uys168com/ 18.2.3正方形 、教学目的 1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算. 2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、 矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力 、重点、难点 1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 3.难点的突破方法: 本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法.重点是正方形定义 正方形学生在小学阶段已有初步了解,生活中应用很广,其时正方形不仅是特殊的平行 四边形,而且是特殊的矩形,和特殊的菱形,学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的 性质和判定 学生在小学学过了正方形,他们知道正方形的四个角都是直角,四条边相等,正方形的 面积等于它的边长的平方,本节课的教学是加深学生的理论认识,拓宽学生的知识面,如何 使学生理解为什么正方形的四个角都是直角,四条边相等,拓宽了正方形对角线性质的知 识.在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形,培养学生实践能力.另外 通过对正方形定义和性质的讲解,培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法 (1)掌握正方形定义是学好本节的关键.正方形是在平行四边形的前提下定义的,它 包含两层意思: ①有一组邻边相等的平行四边形(菱形) 正方形 ②有一个角是直角的平行四边形(矩形) 正方形不仅是特殊的平行四边形,并且是特殊的矩形,又是特殊的菱形.教学时要结合 教科书中P110中的图18.2-14,具体说明正方形与矩形、菱形的关系.这些关系是教学的 一个难点,也是教学内容的重点和关键,要结合图形或者教具,或用简单的集合关系图,使 学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚.这些概念重叠交错,不易搞清楚, 在教学这些内容时进度可稍放慢些 (2)因为正方形是平行四边形、矩形,又是菱形,所以它的性质是它们性质的综合, 不仅有平行四边形的所有性质,也有矩形和菱形的特殊性质,所以讲正方形性质的关键是在 复习矩形、菱形的基础上进行总结.可以将正方形的性质总结如下: 边:对边平行,四边相等 角:四个角都是直角 对角线:对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 还要让学生注意到:正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形, 对角线与边的夹角是45°:正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形,这 是正方形的特殊性质.要使学生熟悉这些最基本的内容 (3)对于怎样判定一个四边形是正方形,因为层次比较多,不必分析的太具体,只要 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 l taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 18.2.3 正方形 一、教学目的 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、 矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力． 二、重点、难点 1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 3．难点的突破方法： 本节的主要内容是正方形概念、性质和判定方法．重点是正方形定义． 正方形学生在小学阶段已有初步了解，生活中应用很广，其时正方形不仅是特殊的平行 四边形，而且是特殊的矩形，和特殊的菱形，学好正方形有助于巩固矩形、菱形各自特有的 性质和判定． 学生在小学学过了正方形，他们知道正方形的四个角都是直角，四条边相等，正方形的 面积等于它的边长的平方，本节课的教学是加深学生的理论认识，拓宽学生的知识面，如何 使学生理解为什么正方形的四个角都是直角，四条边相等，拓宽了正方形对角线性质的知 识．在教学中可以让学生动手从一张矩形纸中折出一个正方形，培养学生实践能力．另外， 通过对正方形定义和性质的讲解，培养学生类比思想、归纳思想、转化思想和隔离方法． （1）掌握正方形定义是学好本节的关键．正方形是在平行四边形的前提下定义的，它 包含两层意思： ①有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ②有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．教学时要结合 教科书中 P110 中的图 18.2－14，具体说明正方形与矩形、菱形的关系．这些关系是教学的 一个难点，也是教学内容的重点和关键，要结合图形或者教具，或用简单的集合关系图，使 学生把正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系搞清楚．这些概念重叠交错，不易搞清楚， 在教学这些内容时进度可稍放慢些． （2）因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合， 不仅有平行四边形的所有性质，也有矩形和菱形的特殊性质，所以讲正方形性质的关键是在 复习矩形、菱形的基础上进行总结．可以将正方形的性质总结如下： 边：对边平行，四边相等； 角：四个角都是直角； 对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 还要让学生注意到：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形， 对角线与边的夹角是 45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这 是正方形的特殊性质．要使学生熟悉这些最基本的内容． （3）对于怎样判定一个四边形是正方形，因为层次比较多，不必分析的太具体，只要
免费下载网址ht: jiaoxue5uys168com/ 强调能判定一个四边形是矩形,又能判定这个矩形也是菱形,或者先判定四边形是菱形,再 判定这个菱形也是矩形,就可以判定这个四边形是正方形,实际上就是根据正方形定义来判 (4)正方形的性质和判定是本大节讲的平行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综 合.可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容.还可以通过本节的教学,澄清学生存 在的一些模糊概念 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题,例1是教材P58的例5,例2与例3都是补充的题目.其中例 1与例2是正方形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正 方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边 形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习1),为了活跃学生 的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考: ①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么? ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么? ③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件? ④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么? ⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗? 四、课堂引入 1.做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形 学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的 关系.问题:什么样的四边形是正方形? 正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫做正方形. 指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意: (1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形) 正方形 (2)有一个角是直角的平行四边形(矩形) 2.【问题】正方形有什么性质? 由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角 的菱形 矩}形 正方形 萋形、是直角 正方形 所以,正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质 五、例习题分析 例1(教材P11的例4)求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直 角三角形 已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点0(如图) 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九扌 宝网址: JIaoxue5 l taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 强调能判定一个四边形是矩形，又能判定这个矩形也是菱形，或者先判定四边形是菱形，再 判定这个菱形也是矩形，就可以判定这个四边形是正方形，实际上就是根据正方形定义来判 定． （4）正方形的性质和判定 是本大节讲的平行四边形、菱形、矩形的性质与判定的综 合．可以通过本节的教学总结、归纳前面所学的内容．还可以通过本节的教学，澄清学生存 在的一些模糊概念． 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题，例 1 是教材 P58 的例 5，例 2 与例 3 都是补充的题目．其中例 1 与例 2 是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例 3 是正 方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边 形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习 1），为了活跃学生 的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考： ①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ ③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ ④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ ⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？ 四、课堂引入 1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的 关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等 ．．．．．．并且有一个角是直角 ．．．．．．．的平行四边形 ．．．．． 叫做正方形． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 2．【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既 是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角 的菱形． 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 五、例习题分析 例 1（教材 P111 的例 4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直 角三角形． 已知：四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC、BD 相交于点 O（如图）．
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com 求证:△AB0、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AC=BD,AC⊥BD, A0=CO=BO=D0(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分 ∴△ABO、△BCO、△CD0、△DAO都是等腰直角三角形, 并且△AB0≌△BC≌△CD≌△DAO 例2(补充)已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为0 E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F 求证:OE=OF 分析:要证明0E=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的 对角线垂直平分且相等,可以得到∠A0E=∠D=90,A0=0,再B 由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得 到这两个三角形全等,故结论可得 证明 四边形ABCD是正方形 ∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=D0(正方形的对角线垂直平分且相等) 又DG⊥AE, ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90 ∠EAO=∠FDO △AEO≌△DFO 例3(补充)已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作1∥l,作BM ⊥l于M,DN⊥l于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点 求证:四边形PQN是正方形 分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN, 证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结 证明:∵PN⊥1,QM⊥l ∴PN∥QM,∠PNM=90° ∵PQ∥NM, 四边形PQN是矩形 四边形ABCD是正方形 ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角) ∴∠1+∠2=90° 又∠3+∠2= △ABM≌△DAN. ∴AM=DN.同理AN=DP ∴ AM+AN=DN+DP 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 l taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO 是全等的等腰直角三角形． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO 都是等腰直角三角形， 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 例 2 （补充）已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 O， E 是 OB 上的一点，DG⊥AE 于 G，DG 交 OA 于 F． 求证：OE=OF． 分析：要证明 OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的 对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再 由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据 ASA 可以得 到这两个三角形全等，故结论可得． 证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）． 又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO． ∴ △AEO ≌△DFO． ∴ OE=OF． 例 3 （补充）已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A、C 两点作 l1∥l2，作 BM ⊥l1 于 M，DN⊥l1 于 N，直线 MB、DN 分别交 l2于 Q、P 点． 求证：四边形 PQMN 是正方形． 分析：由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形，再证△ABM≌△DAN， 证出 AM=DN，用同样的方法证 AN=DP．即可证出 MN=NP．从而得出结 论． 证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1， ∴ PN∥QM，∠PNM=90°． ∵ PQ∥NM， ∴ 四边形 PQMN 是矩形． ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）． ∴ ∠1+∠2=90°． 又 ∠3+∠2=90°， ∴ ∠1=∠3． ∴ △ABM≌△DAN． ∴ AM=DN． 同理 AN=DP． ∴ AM+AN=DN+DP 即 MN=PN．
免费下载网址htr:/ jiaoxue5uys168com/ ∴四边形PQN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 六、随堂练习 1.正方形的四条边 四个角 _,两条对角线 2.下列说法是否正确,并说明理由 ①对角线相等的菱形是正方形;() ②对角线互相垂直的矩形是正方形;() ③对角线垂直且相等的四边形是正方形;( ④四条边都相等的四边形是正方形:() ⑤四个角相等的四边形是正方形.() 1.已知:如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别 B 为CD、CB延长线上的点,且DE=BF 求证:∠AFE=∠AEF 4.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EC是等边三角形,C 求∠EAD与∠ECD的度数 七、课后练习 1.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延 长线上一点,且DE 求证 2.已知:如图,△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC于 E,DF⊥AC于F.求证:四边形CFDE是正方形 政 3.已知:如图,正方形ABCD中,E为BC上一点,AF平分∠DAE交 CD于F,求证:AE=BE+DF A 课后反思 解压密码联系qq1119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 l taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴ 四边形 PQMN 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 六、随堂练习 1．正方形的四条边____ __，四个角___ ___ _，两条对角线____ ____． 2．下列说法是否正确，并说明理由． ①对角线相等的菱形是正方形；（ ） ②对 角线互相垂直的矩形是正方形；（ ） ③对角线垂直且相等的四边形是正方形；（ ） ④四条边都相等的四边形是正方形；（ ） ⑤四个角相等的四边形是正方形．（ ） 1． 已知：如图，四边形 ABCD 为正方形，E、F 分别 为 CD、CB 延长线上的点，且 DE＝BF． 求证：∠AFE＝∠AEF． 4．如图，E 为正方形 ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形， 求∠EAD 与∠ECD 的度数． 七、课后练习 1．已知：如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 上一点，点 F 是 CB 的延 长线上一点，且 DE=BF． 求证：EA⊥AF． 2．已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于 E，DF⊥AC 于 F．求证：四边形 CFDE 是正方形． 3．已知：如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 上一点，AF 平分∠DAE 交 CD 于 F，求证：AE=BE+DF． 课后反思： B A C D E F