10远程教育网 人教新课标版初中八上 13.3角的平分线的性质教案 教学目标 知识技能 1.掌握作已知角的平分线的方法 2.掌握角平分线的性质 3.能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理 4.通过例题使学生进一步理解和巩固证明的方法和要求。 过程与方法 1.通过学习活动,进一步提高学生推理证明能力和推理证明的意识,培养抽象概括能力 2.通过学生交流合作、独立思考等活动,使学生进一步提高分析问题,解决问题的技巧。 情感态度与价值观 1.在参与数学学习的活动中,培养合作交流的良好习惯。 2.通过积极参与获取新知,从中渗透从特殊到一般的思想 解决问题 1.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力 2.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用 情感态度 在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣,增强 解决问题的信心,获得解决问题的成功体验,逐步培养学生的理性精神。 教学重点 角的平分线的性质的证明及运用 教学难点 角的平分线的性质的探究 教具准备: 多媒体课件、直尺、圆规、铅笔 创设情景、引发探究 如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等,离公路与铁路交叉处 00米,这个集贸市场应建在何处?(比例尺为1:20000
1 Www.chinaedu.com 人教新课标版初中八上 13.3 角的平分线的性质教案 教学目标 知识技能 1.掌握作已知角的平分线的方法 2.掌握角平分线的性质 3.能够理解和证明三角形三条角平分线位置关系定理。 4.通过例题使学生进一步理解和巩固证明的方法和要求。 过程与方法 1.通过学习活动，进一步提高学生推理证明能力和推理证明的意识，培养抽象概括能力。 2.通过学生交流合作、独立思考等活动，使学生进一步提高分析问题，解决问题的技巧。 情感态度与价值观 1.在参与数学学习的活动中，培养合作交流的良好习惯。 2.通过积极参与获取新知，从中渗透从特殊到一般的思想。 解决问题 1.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力. 2.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用. 情感态度 在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强 解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。 教学重点 角的平分线的性质的证明及运用 教学难点 角的平分线的性质的探究 教具准备： 多媒体课件、直尺、圆规、铅笔 创设情景、引发探究 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000）
10远程教育网 如何将一个角平分是一个有趣的实验课题,有一个简易平分角的仪器(如图),其中 AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点,AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线,为 什么? B E 证明:在△ADC和△ABC中 (已知 (公共边相等) DC=BC(已知) △ADC≌△ABC(SSS ∠DAC=∠BAC(全等三角形对应角相等) AE平分∠BAD(角平分线定义 问题 (1)从上面的探究中,可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么?求作什么? (2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画? (3)简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画 (4)0C与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗? (5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗? (6)归纳角平分线的作法
2 Www.chinaedu.com 如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器（如图），其中 AB=AD,BC=DC,将 A 点放角的顶点，AB 和 AD 沿 AC 画一条射线 AE,AE 就是∠BAD 的平分线，为 什么？ 证明：在△ADC 和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等） DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（全等三角形对应角相等） ∴ AE 平分∠BAD（角平分线定义） 问题 (1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？ (2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画? (3) 简易平分角的仪器 BC=DC,从几何角度如何画 (4)OC 与简易平分角的仪器中,AE 是同一条射线吗? (5)你能说明 OC 是∠AOB 的平分线吗? (6)归纳角平分线的作法 s
10远程教育网 已知 X 如何用尺规作角的平分线? 画法: 以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OBN于 2.分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于c 3.作射线0C 则射线0c即为所求 E 探究角平分线的性质 (1)实验:将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展 开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论? 观察折纸思考问题:
3 Www.chinaedu.com 如何用尺规作角的平分线？ 画法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1 2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB 的内部交于Ｃ． ３．作射线 OC． 则射线ＯＣ即为所求 探究角平分线的性质 (1)实验：将∠AOB 对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展 开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？ 观察折纸思考问题：
10远程教育网 1、折痕PE和PD与角的两 边OA、OB有什么关系 PD和PE相等吗? 2、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗? 3、由此你能得出关于角平分线的结论吗?并证明你的结论。 角平分线性质 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 已知:(如图)OC平分∠AOB,P是0C上一点,PD⊥OA,PE⊥OB 求证:PD=PE 证明:∵OC平分∠AOB,P是0C上一点(已知) ∴∠DOP=∠BOP(角平分线定义) ∴PD⊥OA,PE⊥OB(已知 ∴∠ODP=∠OEP=90°(垂直的定义) 在△OPD和△OPE中 ∠DOP=∠BOP(已证) ∠ODP=∠OEP(已证) OP=OP (已知) ∴△ADC≌△ABC(AAS) ∴PD=PE(全等三角形对应边相等) 几何语言: ∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等) 解决问题:作夹角的角平分线OC 截取OD=2.5cm D即为所求 S D 思考:反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢? 已知:如图,QD⊥0A,QE⊥OB, 点D、E为垂足,QD=Q 求证:点Q在∠AOB的平分线上
4 Www.chinaedu.com 1、折痕 PE 和 PD 与角的两 边 OA、OB 有什么关系？ PD 和 PE 相等吗？ 2、两次折叠形成的两个直角三角形全等吗？ 3、由此你能得出关于角平分线的结论吗？并证明你的结论。 角平分线性质: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 已知:(如图)Ｏ C 平分∠ＡＯＢ, P 是 OC 上一点, PD⊥OA,PE⊥OB 求证:PD=PE 证明:∵ Ｏ C 平分∠ＡＯＢ, P 是 OC 上一点（已知） ∴∠D Ｏ P=∠B Ｏ P（角平分线定义） ∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知） ∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） 在△OPD 和△OPE 中 ∠DOP=∠BOP （已证） ∠ODP=∠OEP （已证） OP=OP （已知） ∴ △ADC≌△ABC (ＡＡ S) ∴ＰＤ＝ＰＥ（全等三角形对应边相等） 几何语言: ∵OC 是∠AOB 的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 解决问题： 作夹角的角平分线 OC， 截取 OD=2.5cm , D 即为所求 思考：反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点 D、E 为垂足，QD＝QE． 求证：点 Q 在∠AOB 的平分线上 D C s
10远程教育网 D A 证明:∵QD⊥OA,E⊥OB(已知) ∠DO=∠4EO=90°(垂直的定义) 在Rt△DO和Rt△QEO中 00=60(公共边) QD=QE ∴Rt△QDRt△QEO(HL) ∴∠QOD=∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上 得到结论:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何语言表示:∵QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE ∴点Q在∠AOB的平分线上 例1已知:如图,△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证:点P到三边AB、BC、CA 的距离相等 证明:过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA,垂足为D、E、F BM是△ABC的角平分线,点P在BM上(已知) ∵PD=PE (在角平分线上的点到角的两边的距离相等) 同理PE=PF 即点P到边 CA的距离相等
5 Www.chinaedu.com 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在 Rt△QDO 和 Rt△QEO 中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点 Q 在∠AOB 的平分线上 得到结论：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何语言表示：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点 Q 在∠AOB 的平分线上 例 1 已知：如图，△ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P.求证：点 P 到三边 AB、BC、CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD 、PE、PF 分别垂直于 AB、BC、CA，垂足为 D、E、F ∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上（已知） ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点 P 到边 AB、BC、CA 的距离相等
10远程教育网 练习:如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证:点F在∠DAE的 平分线上 过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上 FG⊥AE,FM⊥BC ∴FG=FM 又∵点F在∠CBD的平分线上 FH⊥AD,FM⊥BC FM≡FH FG=FH ∴点F在∠DAE的平分线上 练一练 1、如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村 要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
6 Www.chinaedu.com 练习：如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F，求证：点 F 在∠DAE 的 平分线上． 过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M ∵点 F 在∠BCE 的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点 F 在∠DAE 的平分线上 练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村. 要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建? E A B C P N M
10远程教育网 小结 1.本节课你学到了哪些角平分线的知识? 2.角平分线有多种画法(借助量角器、折纸、角尺、平分角的仪器等),但尺规画图最佳, 这些画法的道理可以通过三角形全等的证明来获得。 3.角平分线的判定定理 到一个角的两边的距离相等的点,在这个角平 分线上 4.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径. 作业:教科书第22页练习,习题11.3第2、3题
7 Www.chinaedu.com 小结 1． 本节课你学到了哪些角平分线的知识？ 2． 角平分线有多种画法（借助量角器、折纸、角尺、平分角的仪器等），但尺规画图最佳， 这些画法的道理可以通过三角形全等的证明来获得。 3.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上 4.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径. 作业：教科书第 22 页练习，习题 11.3 第 2、3 题