第十二章轴对称 121轴对称 122作轴对称图形 知识点 1、轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另外一个 图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,两个图形关于直 线对称也称轴对称。 2、关于某条直线对称的两个图形是全等形。 3、如果两个图形关于某一条直线对称,那么对称轴是任何一对对应 点所连线段的垂直平分线 4、两个图形关于某一直线对称,如果它们的对应线段(或延长线) 相交,那么交点在对称轴上。 5、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个 图形关于这条直线对称 (1)轴对称包含两层含义:一是有两个图形,能够完全重合,即形 状、大小完全相同。二是对重合的方式有限制,也就是它们的位置关 系必段满足一个条件,把它们沿某一条下线对折能够重合。 (2)全等的图形不一定是轴对称的。两轴对称的图形一定是全等的 (3)轴对称逆定理的作用是判定两个图形是否关于某一直线对称, 它是作对称图形的主要依据。 6、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分 能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这直线线是它的对称
第十二章 轴对称 12.1 轴对称 12.2 作轴对称图形 一、知识点 1、轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另外一个 图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形关于直 线对称也称轴对称。 2、关于某条直线对称的两个图形是全等形。 3、如果两个图形关于某一条直线对称，那么对称轴是任何一对对应 点所连线段的垂直平分线。 4、两个图形关于某一直线对称，如果它们的对应线段（或延长线） 相交，那么交点在对称轴上。 5、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个 图形关于这条直线对称。 （1）轴对称包含两层含义：一是有两个图形，能够完全重合，即形 状、大小完全相同。二是对重合的方式有限制，也就是它们的位置关 系必段满足一个条件，把它们沿某一条下线对折能够重合。 （2）全等的图形不一定是轴对称的。两轴对称的图形一定是全等的。 （3）轴对称逆定理的作用是判定两个图形是否关于某一直线对称， 它是作对称图形的主要依据。 6、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分 能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这直线线是它的对称
轴 7、轴对称的定义: (1)、有两个图形,能够完全重合,即形都状大小都相同 (2)、对重合的方式有限制,也就是它们的位置关系必须满足一个条 件:把它们沿某一直线对折后,能够重合,全等的图形不一定是轴对 称的,而轴对称的图形一定是全等的。 8、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个 图形关于这条直线对称,它是作对称图形的主要依据 9、轴对称和对称轴图形的区别和联系: 区别:(1)轴对称是说两个图形的位置关系,轴对称图形是说一个特 殊形状的图形 (2)、轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形说的。 联系:(1)定义中都有一条直线,都要沿这条直线折叠重合。 (2)如果把轴对称图形沿着对称轴分成两部分,那么这两个图形就 是关于这条直线成轴对称,那么它就是一个轴对称图形,经常遇到的 轴对称图形有:等腰三角形、线段、角、正方形、等腰梯形等
轴。 7、轴对称的定义： （1）、有两个图形，能够完全重合，即形都状大小都相同。 （2）、对重合的方式有限制，也就是它们的位置关系必须满足一个条 件：把它们沿某一直线对折后，能够重合，全等的图形不一定是轴对 称的，而轴对称的图形一定是全等的。 8、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个 图形关于这条直线对称，它是作对称图形的主要依据。 9、轴对称和对称轴图形的区别和联系： 区别：（1）轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个特 殊形状的图形。 （2）、轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形说的。 联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合。 （2）如果把轴对称图形沿着对称轴分成两部分，那么这两个图形就 是关于这条直线成轴对称，那么它就是一个轴对称图形，经常遇到的 轴对称图形有：等腰三角形、线段、角、正方形、等腰梯形等
121轴对称练习 1、如图所示:AB>AC,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D, 自点D作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:BE=CF 2、如图:在四边形ABCD中,AC、BD交于O,且AB=ADBC=DC,试 问:AC、BD有何关系?为什么? 解:AC垂直平分BD C 3、粮食部门要修建一个储运仓库,如图所示,按照设计要求:储运 仓库到两城市A、B的距离必须相等,且到两条高速公路a和b的距 离相等,储运仓库卩应修在什么位置?在图上标出它的位置
12.1 轴对称练习： 1、如图所示：AB＞AC,∠BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线交于点 D， 自点 D 作 DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F,求证：BE=CF A E G C B F D 2、如图：在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 O，且 AB=AD,BC=DC，试 问：AC、BD 有何关系？为什么? A 解：AC 垂直平分 BD。 B O D C 3、粮食部门要修建一个储运仓库，如图所示，按照设计要求：储运 仓库到两城市 A、B 的距离必须相等，且到两条高速公路 a 和 b 的距 离相等，储运仓库 P 应修在什么位置？在图上标出它的位置。 a o ·B ·A b
122作轴对称图形 1、作轴对称图形概述 给出一个图形和一条直线,即可作出这个图形关于这条直线的轴 对称图形,由所给出的直线(对称轴)位置的不同,得到的轴对称图 形的位置也不同,在作图时,始终要注意:任一对对应点的连线段被 对称轴垂直平分。 2、作一个图形关于某一直线的对称图形的方法 由于几何图形都可以看成由若干个点组成的,所以只要做出这些点 关于对称轴的对称点,再连接这些对称点,就可以得到原图形的轴对 称图形,因为两点确定一条直线,所以对于直线形(如三角形、四边 形等),只要作出图形中的一个特殊点(一般情况下取顶点或线段的 端点)的对称点,就可以得到原图形的轴对称图形 3、平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标的物征 在平面直角坐标系中,点P(xy)与它关于X轴对称点的坐标,其 横坐标不变,纵坐标为相反数。点P(xy与它关于Y轴对称点的坐标, 其纵坐标不变,横坐标为相反数。 作轴对称图形的练习 1、如图所示:已知在△ABC中,AB=AC==10DE垂直平分AB,垂足为 E,DE交AC于D,若△DBC的周长为16,求BC的长及△ABC的周长 分析:DB=AD所以DB+AD=AC所以
12.2 作轴对称图形 1、作轴对称图形概述 给出一个图形和一条直线，即可作出这个图形关于这条直线的轴 对称图形，由所给出的直线（对称轴）位置的不同，得到的轴对称图 形的位置也不同，在作图时，始终要注意：任一对对应点的连线段被 对称轴垂直平分。 2、 作一个图形关于某一直线的对称图形的方法。 由于几何图形都可以看成由若干个点组成的，所以只要做出这些点 关于对称轴的对称点，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对 称图形，因为两点确定一条直线，所以对于直线形（如三角形、四边 形等），只要作出图形中的一个特殊点（一般情况下取顶点或线段的 端点）的对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 3、平面直角坐标系中关于坐标轴对称的点的坐标的物征 在平面直角坐标系中，点 P(x,y)与它关于 X 轴对称点的坐标，其 横坐标不变，纵坐标为相反数。点 P(x,y)与它关于 Y 轴对称点的坐标， 其纵坐标不变，横坐标为相反数。 作轴对称图形的练习 1、如图所示：已知在∆ABC 中，AB=AC==10,DE 垂直平分 AB，垂足为 E，DE 交 AC 于 D，若∆DBC 的周长为 16，求 BC 的长及∆ABC 的周长。 分析：DB=AD,所以 DB+AD=AC,所以 A E D B C
2、下列图形中不是对称图形的是(D) A、线段 B、相交直线 C、有公共端点 D、有公共端点的两条不相等线段 3、全等和对称的关系是(B) A、全等必对称B、对称必全等C、全等一定不对称D、对称不 定全等 、不重合两点的对称轴是( 5、如图:某同学打台球时想通过击黑球A,使其撞击桌边MN后反 弹,来击中白球B,请在图中标明,黑球撞在MN上哪一点才达到目 的?(以球心A、B来代表两球) N 分析:作点A关于MN的对称点A,连接BA与MN交于P,连接PA 则点P就是要求的点。则经AP撞击MN,必沿PB反弹击中白球B。 变:如图:在∠AOB的内部有一点p,如何在OA和OB上各取一点 Q、R,使ΔPRQ的周长最小 p A 分析:作点P关于OA的对称点,P,作点P关于OB的对称点P连 接PP’交OA于点R,交OB于点Q,PR、PQ,则△PRQ的周长最小
2、下列图形中不是对称图形的是（ D ） A、线段 B、相交直线 C、有公共端点 D、有公共端点的两条不相等线段 3、全等和对称的关系是(B ) A、全等必对称 B、对称必全等 C、全等一定不对称 D、对称不 定全等。 4、不重合两点的对称轴是（ ）。 5、如图：某同学打台球时想通过击黑球 A，使其撞击桌边 MN 后反 弹，来击中白球 B，请在图中标明，黑球撞在 MN 上哪一点才达到目 的？（以球心 A、B 来代表两球） ·A B· M N 分析:作点 A 关于 MN 的对称点 A’，连接 BA’与 MN 交于 P，连接 PA， 则点 P 就是要求的点。则经 AP 撞击 MN，必沿 PB 反弹击中白球 B。 一变：如图：在∠AOB 的内部有一点 p，如何在 OA 和 OB 上各取一点 Q、R，使∆PRQ 的周长最小。 B ·p O A 分析：作点 P 关于 OA 的对称点，P’，作点 P 关于 OB 的对称点 P’’,连 接 P’P’’,交 OA 于点 R，交 OB 于点 Q，PR、PQ，则∆PRQ 的周长最小
变:某班举行文艺晚会,桌子摆成两直列,如图中的AO、BO,AO桌 面上摆满了糖果,B桌面上摆满了桔子,坐在C处的学生小亮先拿 糖果再拿桔子,然后回到坐位上,请你帮他设计一条行走路线,使其 所走的总路程最短? 分析:因为这两列桌子的交角没有明确,所以应分两种情况:一种是 交角小于90度时,如图 A P/B 以OA为轴作点P的对称点P,以BC为轴作P点的对称点p"点,连 接pp"'点,交OA、OB于,M、N,连接PMN所以由P-M-NP最 短 如果OA、OB交于直角,则直接到O取完再回到P点就可以了 变三:再一条大河流中,有一形如三角形的小岛,如图所示,岸与小 岛有一桥相连,现在准备在小岛的各设立一个水质取样点,水利部门 在岸边设立一个观测站,每天有专人从观测站步行去三个取样点取样 然后带回去化验,请问:三个取样点分别设在什么位置,才能使得每 天取样所用的时间最短?
二变：某班举行文艺晚会，桌子摆成两直列，如图中的 AO、BO,AO 桌 面上摆满了糖果，BO 桌面上摆满了桔子，坐在 C 处的学生小亮先拿 糖果再拿桔子，然后回到坐位上，请你帮他设计一条行走路线，使其 所走的总路程最短？ A O · B 分析：因为这两列桌子的交角没有明确，所以应分两种情况：一种是 交角小于 90 度时，如图: O A ·P B 以 OA 为轴作点 P 的对称点 P’，以 BC 为轴作 P 点的对称点 p’’点，连 接 p’p’’点，交 OA、OB 于，M、N，连接 PMN 所以由 P—M—N—P 最 短。 如果 OA、OB 交于直角，则直接到 O 取完再回到 P 点就可以了。 变三：再一条大河流中，有一形如三角形的小岛，如图所示，岸与小 岛有一桥相连，现在准备在小岛的各设立一个水质取样点，水利部门 在岸边设立一个观测站，每天有专人从观测站步行去三个取样点取样， 然后带回去化验，请问：三个取样点分别设在什么位置，才能使得每 天取样所用的时间最短？
小岛 观测站E 分析:设观测点为E桥与小岛相连点为D,小岛的三边分别为:AB AC、BC,作D关于AB的对称点D’,作D关于AC的对称点C’连接CC”, 与AB、AC交于M、N,则:D、M、N为所求。 123等腰三角形 1、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,其中相等的两条边叫 做腰,另一条边叫做底,两腰所夹的角叫顶角,底边与腰的夹角叫底 角 2、三角形的角平分线、中线、和高 3、三形全等的判定和性质 4、三角形内角和及三边关系定理 5、等腰三角形性质定理 等腰三角形的两底角相等 6、等腰三角形的性质定理: 推论一:等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于义边。 即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 推论二:等边三角形三个内角都相等,并且每个角都等于60度
A 小岛 B D C 观测站 E 分析：设观测点为 E,桥与小岛相连点为 D，小岛的三边分别为：AB、 AC、BC，作D 关于AB的对称点D’，作D 关于AC的对称点C’’,连接C’C’’， 与 AB、AC 交于 M、N，则：D、M、N 为所求。 12.3 等腰三角形 1、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫 做腰，另一条边叫做底，两腰所夹的角叫顶角，底边与腰的夹角叫底 角。 2、三角形的角平分线、中线、和高 3、三形全等的判定和性质 4、三角形内角和及三边关系定理 5、等腰三角形性质定理 等腰三角形的两底角相等。 6、等腰三角形的性质定理： 推论一：等腰三角形的顶角平分线平分底边并且垂直于义边。 即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 推论二：等边三角形三个内角都相等，并且每个角都等于 60 度
推论的作用:可证明角相等、线段相等或垂直 7、等腰三角形三线合一:等腰三角形顶角平分线,底边上的中线、 底边上的高相等相互重合。只要知道其中一个结论,就可以得出其他 两个结论。 8、等腰直角三角形的两个底角相等且都等于45度。 9、等腰三角形的底角只能为锐角,不能为钝角,或直角,但顶角可 为钝角或直角 10、等腰三角形三边之间的关系:设腰长为a度长为b,则<a 11、等腰三角形三角之间的关系:设顶角为∠A,底角为∠B 则 ∠A=180-2∠B 12、等腰三角形的判定定理:如果一个三角形两个底角相等,那么它 所对的边也相等。(简写成等角对等边) A、该定理的作用:是证明两条线段相等的重要定理,是将三角形中 的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。 B、注意:该定理不能叙述为:如果一个三角形有两个底角相等,那 么它的两腰也相等,因为在没有判定出它是等腰三角形之前,不能用 底角、和腰的名词。只有等腰三角形才有底角、腰的概念。 13、等腰三角形判定定理的推论 推论一:三个角都相等的三角形是等边三角形 推论二:有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。 推论三:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30度,那么它所对 的直角边等于斜边的一半
推论的作用：可证明角相等、线段相等或垂直。 7、等腰三角形三线合一：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高相等相互重合。只要知道其中一个结论，就可以得出其他 两个结论。 8、等腰直角三角形的两个底角相等且都等于 45 度。 9、等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角，或直角，但顶角可 为钝角或直角。 10、等腰三角形三边之间的关系：设腰长为 a 度长为 b，则b 2 < 𝑎, 11、等腰三角形三角之间的关系:设顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则 ∠A=180-2∠B 12、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形两个底角相等，那么它 所对的边也相等。（简写成等角对等边） A、该定理的作用：是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中 的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据。 B、注意：该定理不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那 么它的两腰也相等，因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用 底角、和腰的名词。只有等腰三角形才有底角、腰的概念。 13、等腰三角形判定定理的推论： 推论一：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论二：有一个角等于 60 度的等腰三角形是等边三角形。 推论三：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30 度，那么它所对 的直角边等于斜边的一半
14、等边三角形的判定方法 A、运用定义:三条边相等 B、三个角相等 C、有一个角是60度的等腰三角形 等腰三角形练习:(解读) 1、如图所示:在△ABC中,AB=ACD在BC上,且,AD=BD,AC=CD 求∠B 设:∠B为X度。5X=180,所以∠B=36 2、等腰三角形的周长是30,一边长是12,求另两边长 分两种情况讨论 3、如图,AB=AC,BD=CD,AD的延长线交BC于点E,求证:AE⊥BC B C 4、如图所示,O为等边三角形ABC内的一点,∠OCB=∠OBC,求 ∠BOC的度数。 B
14、等边三角形的判定方法 A、运用定义：三条边相等 B、三个角相等 C、有一个角是 60 度的等腰三角形。 等腰三角形练习：（解读） 1、 如图所示：在∆ABC 中，AB=AC,D 在 BC 上，且，AD=BD，AC=CD 求∠B A B D C 设：∠B 为 X 度。5X=180，所以∠B=36 2、 等腰三角形的周长是 30，一边长是 12，求另两边长。 分两种情况讨论 3、如图，AB=AC，BD=CD,AD 的延长线交 BC 于点 E，求证：AE⊥BC。 A D B E C 4、如图所示，O 为等边三角形 ABC 内的一点，∠OCB=∠OBC,求 ∠BOC 的度数。 A B C D O
、探究题 在三角形ABC中,AD为BC的中线,E为AC上的一点,BE与AD交 于F,若AE=EF,求证:AC=BF D 分析:证AC=BF,可利用三角形全等,而它们所在的三角形,不 全等,故想到可将它们移到一个三角形中,利用等角对对边来求证。 延长AD至M,使DM=AD,连接BM,就可以证出。 6、辩析题: D是等腰三角形ABC底边上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为 DE和DF,如图:当D在什么位置时,DE=DF?并说明理由。 C 分析:要使DE=DF需使三角形BFD和三角形DFC全等。所以应 在BC的中点即可 7、难题: 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80度,P为△ABC内的一点,若∠PBC=10 度,∠PCB=30度,求∠PAB的度数
5、探究题 在三角形 ABC 中，AD 为 BC 的中线，E 为 AC 上的一点，BE 与 AD 交 于 F，若 AE=EF，求证：AC=BF A B D C 分析：证 AC=BF，可利用三角形全等，而它们所在的三角形，不 全等，故想到可将它们移到一个三角形中，利用等角对对边来求证。 延长 AD 至 M，使 DM=AD，连接 BM，就可以证出。 6、辩析题： D 是等腰三角形 ABC 底边上的一点，它到两腰 AB、AC 的距离分别为 DE 和 DF，如图：当 D 在什么位置时，DE=DF？并说明理由。 A E F B C 分析：要使 DE=DF 需使三角形 BFD 和三角形 DFC 全等。所以应 在 BC 的中点即可。 7、难题: 在∆ABC 中，AB=AC，∠BAC=80 度，P 为∆ABC 内的一点，若∠PBC=10 度，∠PCB=30 度，求∠PAB 的度数。 F D