星火敦育 导教育专家 1对1个性化辅导 正多边形与圆 、目标认知 学习目标:了解正多边形和圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中 心角之间的关系,会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形 重点:正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系 难点与关键:正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系 二、知识要点透析 知识点一、正多边形的概念 各边相等,各角也相等的多边形是正多边形 要点诠释:判断一个多边形是否是正多边形,必须满足两个条件:(1)各边相等:(2)各 角相等:缺一不可如菱形的各边都相等,矩形的各角都相等,但它们都不是正多边形(正方 形) 知识点二、正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆 内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆 2.正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距 3.正多边形的有关计算 (n-2)180° (1)正n边形每一个内角的度数是 (2)正n边形每个中心角的度数是 360° (3)正n边形每个外角的度数是 360 n 知识点三、正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆,圆有无数个内接正多边形 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 3.正多边形都是轴对称图形,对称轴的条数与它的边数相同,每条对称轴都通过正n 边形的中心;当边数是偶数时,它也是中心对称图形,它的中心就是对称中心 知识点四、正多边形的画法 1.用量角器等分圆:由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等,因此作相等的圆心角可以 等分圆 2.用尺规等分圆:对于一些特殊的正n边形,可以用圆规和直尺作图 All Rights Reserved Guo Peng 1/4
1对1个性化辅导 All Rights Reserved Guo Peng 1 / 4 正多边形与圆 一、目标认知 学习目标：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中 心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形． 重点：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系． 难点与关键：正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系 二、知识要点透析 知识点一、正多边形的概念 各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各 角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方 形). 知识点二、正多边形的重要元素 1. 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的 内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2. 正多边形的有关概念 (1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． (2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． (3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． (4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3. 正多边形的有关计算 (1)正 n 边形每一个内角的度数是 n 2 180 n ； (2)正 n 边形每个中心角的度数是 360 n ； (3)正 n 边形每个外角的度数是 360 n . 知识点三、正多边形的性质 1. 正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 2. 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n个全等的直角三角形. 3. 正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正 n 边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识点四、正多边形的画法 1. 用量角器等分圆：由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以 等分圆. 2. 用尺规等分圆：对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图
星火敦育 导教育专家 1对1个性化辅导 题型分类精讲 题型一正多边形与圆 【例1】(1)判断 ①正多边形的中心角等于它的每一个外角() ②若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形() ③各角相等的圆外切多边形是正多边形() (2)判断下列各种图形是否一定是正多边形(是打“V”,不是打“x”)。 (1)等边三角形() (2)矩形() (3)菱形() (4)正方形() (5)各角相等的圆内接多边形() (6)各边相等的圆内接多边形()(7)顺次连接正多边形各边中点所得的多边形() (8)既有内切圆又有外接圆,并且这两个圆是同心圆的多边形() 【例2】以下有四种说法:①顺次连结对角线相等的四边形各边中点,则所得的 四边形是菱形;②等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形;③顶点在圆 周上的角是圆周角;④边数相同的正多边形都全等,其中正确的有( A.1个 B.2个 C.3个 D4个 题型二正多边形的计算 1、已知正多边形的边心距与边长的比是1:2,则此正多边形是 A.正三角形 B正方形 C.正六边形 D正十二边形 2、正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定 3、若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为 A.36° B、18 D.54 4、正六边形螺帽的边长为a,那么扳手的开口b最小应是( A√3 D 5、已知,正方形的边长为a,它的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则rRa等于( B.1:2:√2 2:1 6、正六边形的两条平行边之间的距离为1,则它的边长为 23 B 7、若正三角形、正方形、正六边形的周长相等,它们的面积分别是S1,S2,S,则下列关系成 立的是( B 8、将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角,使它成为正n边形,那么正n边形的面积为 9、正n边形的中心角等于,正n边形的每一个内角等 正n边形的每一个 外角等于 正n边形内角和 All Rights Reserved Guo Peng 2/4
1对1个性化辅导 All Rights Reserved Guo Peng 2 / 4 题型分类精讲 题型一 正多边形与圆 【例 1】（1）判断： ①正多边形的中心角等于它的每一个外角.( ) ②若一个正多边形的每一个内角是 150°,则这个正多边形是正十二边形.( ) ③各角相等的圆外切多边形是正多边形.( ) （2）判断下列各种图形是否一定是正多边形（是打“√”，不是打“×”）。 （1）等边三角形（ ） （2）矩形（ ） （3）菱形（ ） （4）正方形（ ） （5）各角相等的圆内接多边形（ ） （6）各边相等的圆内接多边形（ ）（7）顺次连接正多边形各边中点所得的多边形（ ） （8）既有内切圆又有外接圆，并且这两个圆是同心圆的多边形（ ） 【例 2】以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的 四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆 周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都全等，其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D 4 个 题型二 正多边形的计算 1、已知正多边形的边心距与边长的比是 1：2，则此正多边形是( ) A．正三角形 B.正方形 C．正六边形 D.正十二边形 2、正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ） A. 互余 B. 互补 C. 互余或互补 D. 不能确定 3、若一个正多边形的每一个外角都等于 36°,那么这个正多边形的中心角为（ ） A．36° B、 18° C．72° D．54° 4、正六边形螺帽的边长为 a，那么扳手的开口 b 最小应是( ) 5、已知，正方形的边长为 a,它的内切圆半径为 r，外接圆半径为 R，则 r:R:a 等于（ ） A.1: 2 : 2 B. 1: 2 : 2 C. 2 : 2 :1 D. 2 : 2 :1 6、正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为（ ） A. 6 3 B. 4 3 C. 3 2 3 D. 3 3 7、若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别是 S1,S2,S3,则下列关系成 立的是（ ） A. S1=S2=S3 B. S1>S2>S3 C. S1S3>S1 8、将一个边长为 a 正方形硬纸片剪去四角，使它成为正 n 边形，那么正 n 边形的面积为 _______ 9、正 n 边形的中心角等于_____，正 n 边形的每一个内角等于________。正 n 边形的每一个 外角等于________。正 n 边形内角和_______。 3 3 a D. 2 3 a C. 2 1 A. 3a B
星火敦育 导教育专家 1对1个性化辅导 10、正n边形都是 对称图形,正n边形共有 条对称轴:正n边形满足什么 条件时,那又是中心对称图形,对称中心是。 11、正n边形的半径和边心距把正n边形分成 个全等的直角三角形,每个直角三角 形的边分别是指正n边形的 12、若正多边形的一个外角等于一个内角的,则它是正 边形 13、正六边形 ABCDEF的边长是10cm,面积为S1,正六边形 A'BCDEF的边长是5cm 面积为S2,则S1:S2= 14、一个外角等于它的一个内角的正多边形是正边形 15、正八边形的中心角的度数为每一个内角度数为每一个外角度数为 16、边长为6cm的正三角形的半径是cm,边心距是cm,面积是cn 17、面积等于6√3cm2的正六边形的周长是 18、正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是cm 19、正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是cm 20、若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是 21、正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是 22、周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3S4S6之间的大小关系是 23、正三角形的边心距、半径和高的比是 24、两个正六边形的边长分别是3和4,这两个正六边形的面积之比等于 25、圆内接正方形的半径与边长的比值是 26、圆内接正四边形的边长为4cm,那么边心距是 27、已知圆内接正方形的边长为6,则该圆的内接正六边形边长为 28、圆内接正六边形的边长是8cm那么该正六边形的半径为 边心距为 29、同一个圆的内接正方形和外切正方形的边长之比为 30、已知正方形面积为8cm2,求此正方形边心距. 31、如果一个正多边形的一个内角是135°,则这个多边形是 边形 All Rights Reserved Guo Peng 3/4
1对1个性化辅导 All Rights Reserved Guo Peng 3 / 4 10、正 n 边形都是_______对称图形，正 n 边形共有_________条对称轴；正 n 边形满足什么 条件时_____________，那又是中心对称图形，对称中心是__________。 11、正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成_______个全等的直角三角形，每个直角三角 形的边分别是指正 n 边形的________________________________ 12、若正多边形的一个外角等于一个内角的，则它是正_________边形。 13、正六边形 ABCDEF 的边长是 10cm，面积为 S1，正六边形 A′B′C′D′E′F′的边长是 5cm， 面积为 S2，则 S1：S2=______________。 14、一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形. 15、正八边形的中心角的度数为____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____. 16、边长为 6cm 的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm,面积是____cm. 17、面积等于6 3 cm2的正六边形的周长是____. 18、正多边形的面积是 240cm2 ,周长是 60cm2 ,则边心距是____cm. 19、正六边形的两对边之间的距离是 12cm,则边长是____cm. 20、若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是________ 21、正六边形的两条平行边间距离是 1,则边长是________ 22、周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积 S3、S4、S6之间的大小关系是: ________ 23、正三角形的边心距、半径和高的比是________ 24、两个正六边形的边长分别是 3 和 4，这两个正六边形的面积之比等于________ 25、圆内接正方形的半径与边长的比值是________ 26、圆内接正四边形的边长为 4 cm，那么边心距是________ 27、已知圆内接正方形的边长为 6，则该圆的内接正六边形边长为__________． 28、圆内接正六边形的边长是 8 cm 那么该正六边形的半径为______；边心距为________． 29、同一个圆的内接正方形和外切正方形的边长之比为_________________. 30、已知正方形面积为 8cm2，求此正方形边心距．_________________ 31、如果一个正多边形的一个内角是 135°，则这个多边形是__________边形
星火敦育 导教育专家 1对1个性化辅导 32、一个正多边形绕它的中心旋转60°和原来的图形重合,那么这个正多边形是 33、有一边长为4的正n边形,它的一个内角是120°,则其外接圆的半径为 34、正六边形一组对边间的距离为6,那么这个正六边形的半径是 35、同圆中,内接正三角形,正方形,正五边形,正六边形中周长最大的是 36、正九边形的半径为R,则它的边长是 37、一个正n边形的中心角是它的一个内角的1/5,则n= 38、两个正六边形的边长分别是3和4,则这两个正六边形的面积之比是 40、如图①:四边形ABCD为正方形,M、N分别是BC和CD中点,AM与BN交于点P, (1)请你用几何变换的观点写出△BCN是△ABM经过什么几何变换得来的 (2)观察图①,图中是否存在一个四边形,这个四边形的面积与△APB的面积相等?写 出你的结论(不必证明) (3)如图②:六边形 ABCDEF为正六边形,M、N分别是CD和DE的中点,AM与BN 交于点P,问:你在(2)中所得的结论是否成立?若成立,写出结论并证明,若不成立请说明 理由 M 密② All Rights reserved Guo Peng 4/4
1对1个性化辅导 All Rights Reserved Guo Peng 4 / 4 32、一个正多边形绕它的中心旋转 60°和原来的图形重合，那么这个正多边形是________ 33、有一边长为 4 的正 n 边形，它的一个内角是 120°，则其外接圆的半径为_________ 34、 正六边形一组对边间的距离为 6，那么这个正六边形的半径是__________ 35、同圆中，内接正三角形，正方形，正五边形，正六边形中周长最大的是__________ 36、正九边形的半径为 R，则它的边长是_____ 37、一个正 n 边形的中心角是它的一个内角的 1/5，则 n=_________. 38、 两个正六边形的边长分别是 3 和 4，则这两个正六边形的面积之比是________. 40、 如图①：四边形 ABCD 为正方形，M、N 分别是 BC 和 CD 中点，AM 与 BN 交于点 P， (1)请你用几何变换的观点写出△BCN 是△ABM 经过什么几何变换得来的； (2)观察图①，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与△APB 的面积相等？写 出你的结论.(不必证明) (3)如图②：六边形 ABCDEF 为正六边形，M、N 分别是 CD 和 DE 的中点，AM 与 BN 交于点 P，问：你在(2)中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立请说明 理由