湖南广播电视大学文本第8章中国古代数学文化文本辅导.pdf_大学文库

第8章中国古代数学文化文本辅导这章主要侧述了《九章算术》及其文化内锅：贾宪三角及其美学意义：《算经十书)之文化内涵。下围着重溪谈体现的数学思想和方法一、《九章算术》的数学思想和方法 1开放的归纳体系《九章算术》是按着当时社会实践所需要解决的月题米分类的，每一类（一章）中设置若干个实际问题，每个月题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际月题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体系一从个别的问题到一般的算法，又由于是按当时社会实我所需要解徒的问题米分类的，那么社会实我的发展必然向数学提出新的间题来，那也就必然会直接促进数学的发展。数学的发展直接米自社会实置中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都几有这个特点，《九章算术》是它的一个奥型代表。 2算法化的内容前而我们已流过《九章算术)的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际利圈。对每个间愿都给出答案，然后给出这一类问题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案来。历来数学家对《九章算术》的注售校夕基本上辉是在“术”上作文章，即不断成进算法。所以说。《九章算术》具有算法化的内容。算法化的内容是光全适合于开放性的归钠体系的。这种体系首先瓷是要解决实际月题。要迅速地解决问思，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够给出数据线能用给出的算法很快地得出结果，这就能更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。还应该特别指出。《九章算术》的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家告计，至迟在公元前5世起，算筹就已开始使用了。 3模型化的方法从方法论的角度来看，《九章算术)广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的间愿，都是在大量的实际刊圈中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”（即算法）转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的一一其章的标题也就是。这种数学模型的名称。如“勾股”，“方程”等章，“襄分”，“少广”亨章也是由数学模型开始的模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的，模型法的各个模型之间当然也有一定的联系。阻它们有较大的独立性，一个核型的建立并不太严格地依赖于其他核

1 第 8 章中国古代数学文化文本辅导这章主要阐述了《九章算术》及其文化内涵；贾宪三角及其美学意义；《算经十书》之文化内涵。下面着重谈谈体现的数学思想和方法。一、《九章算术》的数学思想和方法 1.开放的归纳体系《九章算术》是按着当时社会实践所需要解决的问题来分类的，每一类(一章)中设置若干个实际问题，每个问题都给出答案，并提供有关的算法。由于实际问题是从具体的东西开始研究，所以是一个归纳的体系——从个别的问题到一般的算法。又由于是按当时社会实践所需要解决的问题来分类的，那么社会实践的发展必然向数学提出新的问题来，那也就必然会直接促进数学的发展，数学的发展直接来自社会实践中的问题，所以是一个开放的体系。整个中国古代数学思想都具有这个特点，《九章算术》是它的一个典型代表。 2.算法化的内容前面我们已谈过《九章算术》的结构特点：按应用方向或主要应用的数学模型把全书划分为若干章，在每一章内举出若干个实际问题，对每个问题都给出答案，然后给出这一类问题的算法。《九章算术》中称这种算法为“术”，按“术”给出的程序去做就一定能求出问题的答案来。历来数学家对《九章算术》的注售校夕基本上都是在“术”上作文章，即不断改进算法。所以说，《九章算术》具有算法化的内容。算法化的内容是完全适合于开放性的归纳体系的。这种体系首先就是要解决实际问题。要迅速地解决问题，最好的方法莫过于给出一个算法。对于一类问题，只要能够给出数据就能用给出的算法很快地得出结果，这就能更好地满足社会生产和生活对数学提出的要求。还应该特别指出，《九章算术》的算法化内容是与算筹的发明和应用分不开的。据专家估计，至迟在公元前 5 世纪，算筹就已开始使用了。 3.模型化的方法从方法论的角度来看，《九章算术》广泛地采用了模型化方法。它在每一章中所设置的问题，都是在大量的实际问题中选择具有典型性的现实原型，然后再通过“术”(即算法) 转化成数学模型。其中有些章就是探讨某种数学模型的应用的——其章的标题也就是。这种数学模型的名称，如“勾股”、“方程”等章。“衰分”、“少广”等章也是由数学模型开始的。模型化的方法与开放性的归纳体系及算法化的内容是相适应的。模型法的各个模型之间当然也有一定的联系，但它们有较大的独立性，一个模型的建立并不太严格地依赖于其他模

型，因此随时都可以由实践中提炼出新的慎型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的，因此，算法化的内容与模型化的方法是分不开的，贝有深用了数学模型方法才能得到有关的一类问题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的原则：反过米，采用慎型化的方法也促进了中国古代数学体系和内容的发展。由于采用模型化的方法研究数学，模型从哪里米？只有寻找现实的原型，着眼于现实的问题，这就不可能产生封闭式的演择体系。解决实际问题的要求对柄型化的方法来说，还有一种检验得出来的结果是否正确的意义，因此必须得出实际的可以应用的结果，算法化的内容就随之产生了：二、贾宪三角的数学思想和方法 1,抽象分析法在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法。尤其在解决勾股门恩是更为突出。他首先提出了“幻股生变十三图”。他说：“勾股弦并而为和。或而为较，等而为变，为渠，为段，自乘为积，为幂.”十三名指勾a),殿b)、弦(c),勾股较b-、勾弦较(ca)、股弦较(e-》,幻股和(a+b)、勾弦和(atc),股弦和b+c),弦较和(c+-a)、弦和和(c+(a+b)、弦和较((a+b)-c)、弦较数(-(b-).他完备了勾殿弦及其和差的所有关系，说这些关系“有用而取。无用不取，立图而验之”，说明他己经地开《九章》算题本身而对勾殿间题进行抽象分析了，例如“出南北门测邑方”问，《九章》的方法是：术日：以出北门步数乘西行步数。倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之即色方，贾宪的方法是：术日：余勾乘殿，倍之为实并二余勾为从，开方除不。正是掌握了这一方法。才使他能够牡用纯数学的方法改与《九章)术文，给后人自下公式化的解题范例，在方程术等其他章节的饵草中，他也广泛运用了这种方法。 2,程序化方法程序化方法丰要是指探究间愿的见维程序、过程和步骤.适用于同一理论体系下，同一类问恶的解决。贾光的“增乘开方法”和“增乘方求魔法”尤其集中地体现了这一方法。比如少广章有：“今有积一百八十六万八百六十七尺，间：为立方几何？”这是一道对1860867 开三次方的日恩。贾宪的方法是：草日：(1)实上商置第一位得数一百。(2)以上商乘下法置廉一百，乘康为方一万，除实，讫。（③）复以上商一百乘下法入康共二百，乘康入方共三万. (4)又乘下法入康共三百。⑤其方一，康二、下三延定十。《6)再于第一位商数之次，复商第二位特数二十，以乘下法入康共三百二十，乘痕入方共三万六千四百，命上商除实，讫余 2

2 型，因此随时都可以由实践中提炼出新的模型。在这种体系里，算法是适合一定的模型的，因此，算法化的内容与模型化的方法是分不开的，只有采用了数学模型方法才能得到有关的一类问题的算法，这在现代计算理论中也是一个确定不移的原则。反过来，采用模型化的方法也促进了中国古代数学体系和内容的发展，由于采用模型化的方法研究数学，模型从哪里来?只有寻找现实的原型，着眼于现实的问题，这就不可能产生封闭式的演绎体系。解决实际问题的要求对模型化的方法来说，还有一种检验得出来的结果是否正确的意义，因此必须得出实际的可以应用的结果，算法化的内容就随之产生了。二、贾宪三角的数学思想和方法 1.抽象分析法在研究《九章》过程中，贾宪使用了抽象分析法，尤其在解决勾股问题是更为突出，他首先提出了“勾股生变十三图”。他说：“勾股弦并而为和，减而为较，等而为变，为乘，为段，自乘为积，为幂。”十三名指勾(a)、股(b)、弦(c)、勾股较(b-a)、勾弦较(c-a)、股弦较(c-b)、勾股和(a+b)、勾弦和(a+c)、股弦和(b+c)、弦较和(c+(b-a))、弦和和(c+(a+b))、弦和较((a+b)-c)、弦较教(c-(b-a))。他完备了勾股弦及其和差的所有关系，说这些关系“有用而取，无用不取，立图而验之”，说明他已经抛开《九章》算题本身而对勾股问题进行抽象分析了。例如“出南北门测邑方”问，《九章》的方法是：术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之为实，并出南门步数为从法，开方除之即邑方。贾宪的方法是：术曰：余勾乘股，倍之为实并二余勾为从，开方除不。正是掌握了这一方法，才使他能够使用纯数学的方法改写《九章》术文，给后人留下公式化的解题范例。在方程术等其他章节的细草中，他也广泛运用了这种方法。 2.程序化方法程序化方法主要是指探究问题的思维程序、过程和步骤.适用于同一理论体系下，同一类问题的解决。贾宪的“增乘开方法”和“增乘方求廉法”尤其集中地体现了这一方法，比如少广章有：“今有积一百八十六万八百六十七尺，问：为立方几何?”这是一道对 1860867 开三次方的问题。贾宪的方法是：草曰：(1)实上商置第一位得数一百。(2)以上商乘下法置廉一百,乘廉为方一万，除实，讫。(3)复以上商一百乘下法入廉共二百，乘廉入方共三万。 (4)又乘下法入廉共三百。(5)其方一、廉二、下三退定十。(6)再于第一位商数之次，复商第二位得数二十，以乘下法入廉共三百二十，乘廉入方共三万六千四百，命上商除实，讫余

一十三万二千八百六十七。复以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘康入方共四万三千二百尺。(8又乘下法入廉共三百六十。()其方一、康二、下三退，如前。(1)上商第三位得数三尺，乘下法入廉共三百大十三，乘廉入方共四万四千二百人十九，命上商三尺障实适尽，得立方一面之数三、《算经十书》的数学思想和方法 1.精拉求精的计算方法和技巧鸳数学内容而言，“算经十书”以善于计算而见长，并且这一长足的发展还被推进到让世界其他各国都望尘莫及的地步，这己是中外中算史家的共识。爷一个例子。三国魏晋时期的刘徽，就在《九章算术》的甚础上，仔细作注，不但为《九章》提供了系统的理论依据，而且大力向前推进.提出了许多创见，将探时和讲究精盒求精的计算方法和技巧这种数学思想，提到一个更高的水平，并对后世的发展带来了深刻的实际影响，如他发现的刺圆术，为后来相冲之求得更精确的值莫定了基础，唐李淳风注《九章算术》时说：“刘徽特以为硫，遂乃改张其率，但周径相乘数难契合。祖冲之以其不精，就中更推其数.“刘管本人告诚人们他所得到的 “徽率”太小，后人也正是沿着刘撤的思想方法再雅续前选，将：值意推愈精确。在求积问题上，刘微也有突破.他提出了推求球体积的着名的“伞合方盖”理论，之后，相电在刘徽研究的基础上，精益求精，得到了闻名于世的“相定理”，并具体求出了“车合方盖”。这长江后浪准前浪，一浪更比一浪高的中国高超的算法技巧，正是在一条清晰的传统思推途径一一深索和讲求精益求精的计算方法和技巧中进行和取得成就的。知《张丘建算经》自序中这样写道： “其夏候阳之方仓，孙子之需杯，此等之术皆未得其妙。故更造新术推尽其理.”在探素精盒求精的算法道路上更上一层楼，就是《张丘建算经》的数学指导思把，正是在此思把的雷导之下，出现了举世闻名的“百鸡问题”。 2.讲究明确的思塑依据数学思想研究的是数学产生和发展的思想方法和思想：据。“算经十书”不仅在数学知识上光影耀目，在数学思想上也独树一舰其显着的特点是对干作为每项有意文的数学成果都讲究其明确的思想依据。刘管注《九章算术》时，十分讲究数理之道要有明确的思想然据，在《九章算术)注源序中，刘道说：“歌幼习《九章》，长再详览。观明阳之割裂，总算术之根源，探减之暇，遂佰其意。是以收露项鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端面己。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而隆周，通而不段，览之者

3 一十三万二千八百六十七。(7)复以次商二十乘下法入廉共三百四十，乘廉入方共四万三千二百尺。(8)又乘下法入廉共三百六十。(9)其方一、廉二、下三退，如前。(10)上商第三位得数三尺，乘下法入廉共三百六十三，乘廉入方共四万四千二百八十九，命上商三尺除实，适尽，得立方一面之数。三、《算经十书》的数学思想和方法 1.精益求精的计算方法和技巧就数学内容而言,“算经十书”以善于计算而见长,并且这一长足的发展还被推进到让世界其他各国都望尘莫及的地步,这已是中外中算史家的共识。举一个例子，三国魏晋时期的刘徽,就在《九章算术》的基础上,仔细作注,不但为《九章》提供了系统的理论依据,而且大力向前推进,提出了许多创见,将探讨和讲究精益求精的计算方法和技巧这种数学思想,提到一个更高的水平,并对后世的发展带来了深刻的实际影响,如他发现的割圆术,为后来祖冲之求得更精确的π值奠定了基础,唐李淳风注《九章算术》时说:“刘徽特以为疏,遂乃改张其率,但周径相乘数难契合。祖冲之以其不精,就中更推其数。”刘徽本人告诫人们他所得到的 “徽率”太小,后人也正是沿着刘徽的思想方法再继续前进,将π值愈推愈精确。在求积问题上,刘徽也有突破,他提出了推求球体积的着名的“牟合方盖”理论,之后,祖暅在刘徽研究的基础上,精益求精,得到了闻名于世的“祖暅定理”,并具体求出了“牟合方盖”。这长江后浪推前浪,一浪更比一浪高的中国高超的算法技巧,正是在一条清晰的传统思维途径――探索和讲求精益求精的计算方法和技巧中进行和取得成就的。如《张丘建算经》自序中这样写道: “其夏侯阳之方仓,孙子之荡杯,此等之术皆未得其妙。故更造新术推尽其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一层楼,就是《张丘建算经》的数学指导思想,正是在此思想的指导之下,出现了举世闻名的“百鸡问题”。 2.讲究明确的思想依据数学思想研究的是数学产生和发展的思想方法和思想依据。“算经十书”不仅在数学知识上光彩耀目,在数学思想上也独树一帜,其显着的特点是对于作为每项有意义的数学成果, 都讲究其明确的思想依据。刘徽注《九章算术》时,十分讲究数理之道要有明确的思想依据。在《九章算术》注原序中,刘徽说:“徽幼习《九章》,长再详览。观阴阳之割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本干者,知发其一端而已。又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者

湖南广播电视大学 文本 第8章 中国古代数学文化 文本辅导

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