第5章数学猜想文本辅导 本章主要介绍了数学猜想及其解决问题的思考方法，数学问题和数学发展等内 容。下面就数学猜想问题进行辅导，数学问题和数学发展同学们自主学习： 一、数学清想的类型 1.存在里猜把 (1》只讨论存在性比如“克拉莫猜想" (2》慨讨论存在性，又指明其内容域量的关系，如：“伯特兰猜想 2.规律型猜把 (1)揭示性质：比如：“伯特兰猜想” (2)揭示状态：比如：“场站设置精想： (3)奶示量的关系：如：“黎曼猜把” 3.方法型猜想 二、数学清想的特狂 1.真伪的传定性： 2.思雀创新性： 3.目标的具体性。 三、，数学清想实例 1.哥德巴林清想 (1)名称由来 这个问题是德国数学家哥德巴转(C.Goldbach,1690-1764)于1742年8月 7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴替猜想Goldhach Conjecture). (2)历史青景 172四年`1764年，哥德巴转与欧拉保转了长达三十五年的书信往米。在1742 年6月7日给欧拉的信中。哥德巴转提出了以下的猜想： ()任何一个>=之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 ()任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和，这就是所谓 的哥德巴替猜想。 (3)研究进展 18、19世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质 性的推选，直到20世纪才有所突破。1937年苏联数学家维诺格拉多夫用能创造的 “三角和“方法，证明了“任何大奇数都可表示为三个索数之和°。不过，维诺格拉多 夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴林精想的要求仍相距甚远 直接证明哥德巴转精想不行，人们采取了“迁日战术”，就是先考虑肥 偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题“每一个大偶数可
1 第 5 章 数学猜想 文本辅导 本章主要介绍了数学猜想及其解决问题的思考方法，数学问题和数学发展等内 容。下面就数学猜想问题进行辅导，数学问题和数学发展同学们自主学习。 一、数学猜想的类型 1. 存在型猜想 （1）只讨论存在性：比如“克拉莫猜想”； （2）既讨论存在性，又指明其内容或量的关系，如：“伯特兰猜想”； 2.规律型猜想 （1）揭示性质：比如：“伯特兰猜想”； （2）揭示状态：比如：“场站设置猜想”； （3）揭示量的关系：如：“黎曼猜想” 3.方法型猜想 二、数学猜想的特征 1.真伪的待定性； 2.思维创新性； 3.目标的具体性。 三、数学猜想实例 1. 哥德巴赫猜想 （1）名称由来： 这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于 1742 年 6 月 7 日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。 （2）历史背景： 1729 年~1764 年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在 1742 年 6 月 7 日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6 之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个>=9 之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是所谓 的哥德巴赫猜想。 （3）研究进展： 18、19 世纪，所有的数论专家对这个猜想的证明都没有作出实质 性的推进，直到 20 世纪才有所突破。1937 年苏联数学家维诺格拉多夫用他创造的 "三角和"方法，证明了"任何大奇数都可表示为三个素数之和"。不过，维诺格拉多 夫的所谓大奇数要求大得出奇，与哥德巴赫猜想的要求仍 相距甚远。 直接证明哥德巴赫猜想不行，人们采取了“迂回战术”，就是先考虑把 偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题"每一个大偶数可
以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和° 记作”b”,那么哥氏精想就是要证明"1+1“成立. “a+b”同题的推进 1920年，掷挪威的布朗证明了“9+9”。 1924年，德国的拉特马林证明了“7+7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”，“4+9”，“3+15“ 和“2+366”. 1908年，苏联的布4夕太勃证明了“5+5”， 190年，苏联的布裤夕太勃证明了“4+4”。 196年，中国的王元证明了“3+4”，梢后证明了“3+3”和“2 +3”, 198年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”,其中©是一很大的自然数。 19说年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴思证明了“1+5”，中国的 王元证明了“1+4”， 165年，苏暖的布林夕太物和小维诺格拉多夫，及意大利的丽比利 证明了“1+3”。 196年，中国的陈景润证明了“1+2”。 2.费马尔大定理 (1)猜想内容 费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。 它断言当整数n2时。关于x,,2的方程xn+yn=2n没有正整数解。 (2)历史研究 费马在阅读丢香图(Diophatus)《算术》拉丁文译本时，普在第11卷第8命 题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之 和，或者一校地将一个高干二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的.关于此， 我确信已发现了一种美妙的证法，可情这里空白的地方太小，写不下。“ (拉丁文原文："Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.hnc marginis exiguitas non caperet.") 毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数 学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的 发展。 对很多不月的，费马定理早被证明了。其中欧拉证明了3的情形，用的是 唯一因子分解定理：费马自己证明了=4的情形， 1825年，秋利克雷和勒让德证明了=5的情形，用的是欧拉所用方法的延伸。 2
2 以表示成为一个素因子个数不超过 a 个的数与另一个素因子不超过 b 个的数之和" 记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。 “a + b”问题的推进 1920 年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。 1924 年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932 年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937 年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15” 和“2 + 366”。 1938 年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940 年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1956 年，中国的王元证明了“3 + 4”。稍后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1948 年，匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”，其中 c 是一很大的自然数。 1962 年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的 王元证明了“1 + 4”。 1965 年，苏联的布赫 夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利 证明了“1 + 3 ”。 1966 年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。 2.费马尔大定理 （1）猜想内容 费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。 它断言当整数 n >2 时，关于 x, y, z 的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。 （2）历史研究 费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第 11 卷第 8 命 题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之 和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此， 我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。” （拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."） 毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数 学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推 动了数论的 发展。 对很多不同的 n，费马定理早被证明了。其中欧拉证明了 n=3 的情形，用的是 唯一因子分解定理；费马自己证明了 n=4 的情形。 1825 年，狄利克雷和勒让德证明了 n=5 的情形，用的是欧拉所用方法的延伸
但避开了难一因子分解定理。 1839年，法国数学家拉梅证明了了的情形，他的证明使用了限7本身结合 得根紧密的巧炒工具，具是难以推广到㎡11的情形：于是，他又在187年提出了 “分圆整数”法来证明，但没有成功。 1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素 指数，费马大定理成立，此一研究告一阶段。对一般情况，在精想提出的头二 百年内数学家们仍对费马大定理一等莫展 3、四色清想 (1)研究历史 1852年，毕业于伦数大学的格斯里(FrancisGuthrie)来到一家科研单位搞地 图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上 加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大 叠，研究工作却是没有任何进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请数了他的老师、著名数学家 德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信白自己的好友、 著名数学家哈密领爵士请收，但直到185年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解 决。 1872年，英国当时最著名的数学家帆利正式向伦教数学学会提出了这个问愿， 干是四色猜想成了世界数学界关注的月题，世界上许多一流的数学家都粉粉参加了 四色猜想的大会战。 从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方月题己在社 会上“臭名留著”，而“四色庭疫”又情情地传播开米了。 一个多世纪以米。数学家们为证明这条定理效尽脑计，所引进的概念与方法刺 激了拓扑学与图论的生长，发展。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理 论随之产生，也发展了很多数学计算技巧，如将地图的着色问题化为图论问题，丰 富了图论的内容。不仪如此，“四色间题”在有效陆设计航空班机日程表，设计计 算机的编码程序上都起到了推动作用。 虽然任何平面地图可以只用四个硕色着色，但是这个定理的应用却相当有限， 因为现实中的地图常会出现飞地。即两个不连通的区线属于同一个国家的情况（例 如美国的阿拉斯加州)，而制作地图时我门仍会要求这两个区线被涂上同样的顾色， 在这种情况下，只用四种颜色将会违成诸多不便。 实际中用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种 颜色来染色。此外，即便地图能够具用四种颜色染色，为了区分起见，也会采用更 多的颜色，以提示不同地区的差别 (李小军躺辑)
3 但避开了唯一因子分解定理。 1839 年，法国数学家拉梅证明了 n=7 的情形，他的证明使用了跟 7 本身结合 得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到 n=11 的情形；于是，他又在 1847 年提出了 “分圆整数”法来证明，但没有成功。 1844 年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于 100 的素 指数 n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。但对一般情况，在猜想提出的头二 百年内数学家们仍对费马大定理一筹莫展 3、四色猜想 （1）研究历史 1852 年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地 图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上 加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了一大 叠，研究工作却是没有任何进展。 1852 年 10 月 23 日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家 德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、 著名数学家哈密顿爵士请教，但直到 1865 年哈密顿逝世为止，问题也没有能够解 决。 1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题， 于是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了 四色猜想的大会战。 从此，这个问题在一些人中间传来传去，当时，三等分角和化圆为方问题已在社 会上“臭名昭著”，而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。 一个多世纪以来，数学家们为证明这条定理绞尽脑汁，所引进的概念与方法刺 激了拓扑学与图论的生长、发展。在“四色问题”的研究过程中，不少新的数学理 论随之产生，也发展了很多数学计算技巧。如将地图的着色问题化为图论问题，丰 富了图论的内容。不仅如此，“四色问题”在有效地设计航空班机日程表，设计计 算机的编码程序上都起到了推动作用。 虽然任何平面地图可以只用四个颜色着色，但是这个定理的应用却相当有限， 因为现实中的地图常会出现飞地，即两个不连通的区域属于同一个国家的情况（例 如美国的阿拉斯加州），而制作地图时我们仍会要求这两个区域被涂上同样的颜色， 在这种情况下，只用四种颜色将会造成诸多不便。 实际中用四种颜色着色的地图是不多见的，而且这些地图往往最少只需要三种 颜色来染色。此外，即便地图能够只用四种颜色染色，为了区分起见，也会采用更 多的颜色，以提示不同地区的差别。 （李小军编辑）