第7章变量数学的产生与发展文本辅导 本章主要介绍了笛卡尔和费尔马的解析几何思塑，微积分的创立与发展。著名 数学家牛顿的生平及主要贞献等内容。下面就前两个间题进行辅导，第三个问题请 月学们自主学习： 十七世纪对于数学的发展具有重大意义的两个事件一是解析几何的诞生。它 开路了几何代数化这一新的方向：二是创立了微积分，使数学从常量数学过渡到变 量数学。这些都是数学思想方法的重大突破。 一、笛卡尔和费尔马的解析几何思想 1.变量数学产生的历史背景 变量数学的产生有其经济青景和数学背景：·社会生产力的发展是变量数学产 生的服大动力：变量数学的产生是数学发展的必然意势： 2.笛卡尔的解断几可思想 箭卡尔的《几何学》一书共3卷。主要是围绕希量几何学中的作图刊圈而展开 讨论的。 为了具体地架起几何与代数相联系的桥粱，他引入了单位线段的概念，建立线 段与数之间的平行关系。这就为几何月题代数化打下了基础： 笛卡尔思想的进一步发履，是建立代数与几何的明确面自然的联系，他通过对 触普斯月题的处理，给出了表示地这种思想的具体例子（见教材122页）. 就这样，笛卡尔把两个本性相差甚远的学科一代数与几何联系起米。并把变 量引进了数学。从而完成了数学史上的一项时代的变革。 这一变革不仅使整个古典几何处于代数学支配之下，而且开拓了一个变量数学 的领域。特别是加速了微积分的诞生， 3.费尔马的解斯几句思想 费尔马的解析几何思想也是从研究希酷几何开始的，希量数学家的关于轨迹的 崖义没有直接提供曲线的饶一的研究方法。 162四年，贵尔马摆写《平面和立体轨连引论》一书，开始了数学方法统一的 最初尝试。费尔马把希醋数学中用立体图苦心研究所发现的曲线的特征，通过引用 变量以一贯的方式成功地译成了代数的语言，这不仅使圆锥曲战从因锥的附属地位 中解成出来，而且使得各种不同的由线有了核心思想之所在。 费尔马思想的重要性还在于，他不仅通过引入变量使得曲线获得统一的表示形 式一一方程，从而使研究曲战的方法有了统一的基础，而且贵尔马还明确地表示曲 线与方程的暖系，应该是双向的， 4解析几何的理论价值及影响 解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达，月时，又利用代数的研究
1 第 7 章 变量数学的产生与发展 文本辅导 本章主要介绍了笛卡尔和费尔马的解析几何思想，微积分的创立与发展，著名 数学家牛顿的生平及主要贡献等内容。下面就前两个问题进行辅导，第三个问题请 同学们自主学习。 十七世纪对于数学的发展具有重大意义的两个事件：一是解析几何的诞生。它 开辟了几何代数化这一新的方向；二是创立了微积分，使数学从常量数学过渡到变 量数学。这些都是数学思想方法的重大突破。 一、笛卡尔和费尔马的解析几何思想 1. 变量数学产生的历史背景 变量数学的产生有其经济背景和数学背景：.社会生产力的发展是变量数学产 生的强大动力；变量数学的产生是数学发展的必然趋势。 2. 笛卡尔的解析几何思想 笛卡尔的《几何学》一书共 3 卷。主要是围绕希腊几何学中的作图问题而展开 讨论的。 为了具体地架起几何与代数相联系的桥梁，他引入了单位线段的概念。建立线 段与数之间的平行关系。这就为几何问题代数化打下了基础。 笛卡尔思想的进一步发展，是建立代数与几何的明确而自然的联系，他通过对 帕普斯问题的处理，给出了表示他这种思想的具体例子（见教材 122 页）。 就这样，笛卡尔把两个本性相差甚远的学科——代数与几何联系起来。并把变 量引进了数学。从而完成了数学史上的一项划时代的变革。 这一变革不仅使整个古典几何处于代数学支配之下，而且开拓了一个变量数学 的领域。特别是加速了微积分的诞生。 3. 费尔马的解析几何思想 费尔马的解析几何思想也是从研究希腊几何开始的。希腊数学家的关于轨迹的 定义没有直接提供曲线的统一的研究方法。 1629 年，费尔马撰写《平面和立体轨迹引论》一书，开始了数学方法统一的 最初尝试。费尔马把希腊数学中用立体图苦心研究所发现的曲线的特征，通过引用 变量以一贯的方式成功地译成了代数的语言，这不仅使圆锥曲线从圆锥的附属地位 中解放出来，而且使得各种不同的曲线有了核心思想之所在。 费尔马思想的重要性还在于，他不仅通过引入变量使得曲线获得统一的表示形 式——方程，从而使研究曲线的方法有了统一的基础，而且费尔马还明确地表示曲 线与方程的联系，应该是双向的。 4. 解析几何的理论价值及影响 解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表达。同时，又利用代数的研究
方法研究几何。开创了几何代数化的新时代 这不仅是一个手爱日题，也是对世界本质的看法刊圈。所以，解析几何具有深 远的意义。正象著名数学家拉格阴日(Josep功L0 uis La阳range》所说，只要代数 月几何分道扬镇，它们的进展就缓慢，它们的应用就接窄， 们是，当这两门科学结合成律侣时，它们就互相吸取对方的新活力。并迅速地 趋于完善。另外，解析几何的创立，把函数引进到数学，这为微积分的创立准备了 必要的条件，加速了微积分形成的历史进程。因此，从这个意义上说： 解析几何的产生是微积分创立的前奏。 二、徽积分的创立与发展 微机分的创立，并不象解析几儿何的创立样传奇。从古希精的可基米德、中国 的刘微，祖冲之及法国费马，笛卡尔，英国的巴罗等均为微积分的创立作出了重要 的贞献。自觉地意识到要完成一个伟大的发现。并实麻去完成它的是牛镜和莱布尼 茨。 1。牛领及其微积分思塑 牛领是一位科学的巨人。被荣为近代自然科学的伟大端手， 他以其在数学、力学、天文学、光学中的卓著成就，开创了近代自燃科学的许 多领规。仅在数学的研究方面。线涉及到数论，高次代数方程，解析几何，数值分 析，概率论、由线分类、变分法等问题。 其最突出的贡献是地独立地创立了微积分。牛领对微积分列题的研究始于 16的4年，当封也反复间读了笛卡尔的《几何学》，对苗卡尔的求切线的“圆法”发 生兴超并试图寻找更好的方法，而开始探讨微积分。 牛领在微积分方面的工作，大致可分为四个时期： (1)蓝数概念的引入时期。这时他以运动学为青景引入了流数的概念，但未 说明使用流数这个名字，与此同时，建立并推导了微积分的基本定理： (2)运用了变量x的无穷小增量一铜时期。这时他利用“瞬”的概念，不仅 给出了求一个变量对另一个变量的解时变化来的普遍方法，而且进一步证明了微积 分基本定理， (3)流数法的确立时期。流数法是他系统地应用第一时期引入的流数概名的 结果，又是对第二时期应用静态无穷小的方法的再发展。 这时牛领把流数的概念从原米借助于运动物体的速度的解释发展到成熟的阶 段。 (4)牛镜所谓的最初比和最蜂比的确立时别，这时牛领决定抛弃无穷小方法， 代之以相当于函数增量与自变量之比的极限方法。因而成为极限方法的先导。 牛领的微积分思想主要体现在下面几部作品中， (1)《流数简论》。这时他以运动学为背景引入了流数的概念，但未说明使用 流数这个名字，与此同时，建立并推导了微积分的基本定理
2 方法研究几何。开创了几何代数化的新时代。 这不仅是一个手段问题，也是对世界本质的看法问题。所以，解析几何具有深 远的意义。正象著名数学家拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）所说，只要代数 同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。 但是,当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取对方的新活力。并迅速地 趋于完善。另外，解析几何的创立，把函数引进到数学，这为微积分的创立准备了 必要的条件，加速了微积分形成的历史进程。因此，从这个意义上说： 解析几何的产生是微积分创立的前奏。 二、微积分的创立与发展 微积分的创立，并不象解析几何的创立那样传奇。从古希腊的阿基米德、中国 的刘微、祖冲之及法国费马，笛卡尔，英国的巴罗等均为微积分的创立作出了重要 的贡献。自觉地意识到要完成一个伟大的发现，并实际去完成它的是牛顿和莱布尼 茨。 1. 牛顿及其微积分思想 牛顿是一位科学的巨人。被荣为近代自然科学的伟大旗手。 他以其在数学、力学、天文学、光学中的卓著成就，开创了近代自然科学的许 多领域。仅在数学的研究方面，就涉及到数论，高次代数方程，解析几何、数值分 析、概率论、曲线分类、变分法等问题。 其最突出的贡献是他独立地创立了微积分。牛顿对微积分问题的研究始于 1664 年，当时他反复阅读了笛卡尔的《几何学》，对笛卡尔的求切线的“圆法”发 生兴趣并试图寻找更好的方法，而开始探讨微积分。 牛顿在微积分方面的工作，大致可分为四个时期： （1）流数概念的引入时期。这时他以运动学为背景引入了流数的概念。但未 说明使用流数这个名字，与此同时，建立并推导了微积分的基本定理。 （2）运用了变量 x 的无穷小增量--瞬时期。这时他利用“瞬”的概念，不仅 给出了求一个变量对另一个变量的瞬时变化率的普遍方法，而且进一步证明了微积 分基本定理。 （3）流数法的确立时期。流数法是他系统地应用第一时期引入的流数概念的 结果，又是对第二时期应用静态无穷小的方法的再发展。 这时牛顿把流数的概念从原来借助于运动物体的速度的解释发展到成熟的阶 段。 （4）牛顿所谓的最初比和最终比的确立时期，这时牛顿决定抛弃无穷小方法， 代之以相当于函数增量与自变量之比的极限方法。因而成为极限方法的先导。 牛顿的微积分思想主要体现在下面几部作品中： （1）《流数简论》。这时他以运动学为背景引入了流数的概念。但未说明使用 流数这个名字，与此同时，建立并推导了微积分的基本定理
(2)《运用无穷多项方程的分析学》。该文1669年亮成，1711年发表。在该 文。牛顿的微积分思塑在(1》的基础上有了进一步的发根。 (3》《流数法和无穷缓数》，这是牛顿于1671年完成的第二篇微积分学的代表 作，并在1736年发表。在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论， (4)《曲线图形求积术》这是牛顿的第四部代表作，写于1691年至1的3年， 在此文中，能为了排除无穷小量，引入了最初比与最后比的概《或者称为首末比 方法)。 2.菜布尼益及其微积分思想 莱布尼丝在数学上的最突出贡献是能独立地创立了微积分：因此在微积分的创 立上，莱布尼蓝与牛顿分享荣骨。 莱布尼线的微积分概念和算法程序，表现了逻辑发展的必然趋势。 莱布尼次还发现，适当地建立与特征三角形的相双关频可以进一地解决曲线的 求长和求积何题。例题见教材132页。 1673年是菜布尼兹微积分思想形成和发展的关键一年，除了上述一系列发现 外，他还贵了相当大的精力研究了切线这个互逆的问圈。 其中莱布尼兹在数学史上第一次明确地引入了函数的概念，还发现了素物极 数. 因为菜布有尼兹的微积分，是以微分方法为中心内容的。不引出微分符号也就不 可能实现微积分的解析比： 简单的微分法则，容易从积分法则中对应得到，菜有尼兹深刻认识到了和d 的互逆关系，这一思塑的产生是莱布尼盐创立微积分的标志。实际上他的微积分理 论就是敲称为微积分基本定理的重要结论为出发点的，在定积分中，这一定理直接 导致了一莱布尼兹公式的发现。 缘上所述，菜布尼燕己经建立起了一套相当弱统的微分和积分方法。他成为牛 候同时代的另一个微积分发明者。 3评说两种微积分 (1)两种微积分的共同点见教材133页。 (2)两种微积分的主要差别教村133页， 第一、两人微积分工作的起点不用。 第二，牛顿靶x和y的无穷小增量作为课道数或导数的手段。而莱布尼盐却直 接用x和y的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。这个差别反映了牛顿的 物理方白和巢布尼盐的皙学方向： 第三、牛领自由地用级数表示函数，而菜布尼兹宁愿用有限的形式 第四、他们的工作方式不同。牛领是经验的，具体的和谨镇的，而菜布尼兹是 富有想象的。喜欢推广的而且是大胆的： 第五，牛镜的变化率，即导数的概念作为其学说的核心。由此出发，通过道过
3 （2）《运用无穷多项方程的分析学》，该文 1669 年完成，1711 年发表。在该 文，牛顿的微积分思想在（1）的基础上有了进一步的发展。 （3）《流数法和无穷级数》，这是牛顿于 1671 年完成的第二篇微积分学的代表 作，并在 1736 年发表。在前两部书的基础上，牛顿提出了更加完整的理论。 （4）《曲线图形求积术》这是牛顿的第四部代表作。写于 1691 年至 1693 年， 在此文中，他为了排除无穷小量，引入了最初比与最后比的概念（或者称为首末比 方法）。 2. 莱布尼兹及其微积分思想 莱布尼兹在数学上的最突出贡献是他独立地创立了微积分。因此在微积分的创 立上，莱布尼兹与牛顿分享荣誉。 莱布尼兹的微积分概念和算法程序，表现了逻辑发展的必然趋势。 莱布尼次还发现，适当地建立与特征三角形的相似关系可以进一步解决曲线的 求长和求积问题。例题见教材 132 页。 1673 年是莱布尼兹微积分思想形成和发展的关键一年，除了上述一系列发现 外，他还费了相当大的精力研究了切线这个互逆的问题。 其中莱布尼兹在数学史上第一次明确地引入了函数的概念。还发现了泰勒级 数。 因为莱布尼兹的微积分，是以微分方法为中心内容的。不引出微分符号也就不 可能实现微积分的解析比。 简单的微分法则，容易从积分法则中对应得到，莱布尼兹深刻认识到∫和 d 的互逆关系，这一思想的产生是莱布尼兹创立微积分的标志。实际上他的微积分理 论就是被称为微积分基本定理的重要结论为出发点的，在定积分中，这一定理直接 导致了——莱布尼兹公式的发现。 综上所述，莱布尼兹已经建立起了一套相当系统的微分和积分方法。他成为牛 顿同时代的另一个微积分发明者。 3. 评说两种微积分 （1）两种微积分的共同点见教材 133 页。 （2）两种微积分的主要差别教材 133 页。 第一、两人微积分工作的起点不同。 第二、牛顿把 x 和 y 的无穷小增量作为求流数或导数的手段。而莱布尼兹却直 接用 x 和 y 的无穷小增量（即微分）求出它们之间的关系。这个差别反映了牛顿的 物理方向和莱布尼兹的哲学方向。 第三、牛顿自由地用级数表示函数，而莱布尼兹宁愿用有限的形式。 第四、他们的工作方式不同。牛顿是经验的，具体的和谨慎的，而莱布尼兹是 富有想象的。喜欢推广的而且是大胆的。 第五、牛顿的变化率，即导数的概念作为其学说的核心，由此出发，通过逆过
程米解决围积和体积问题，而莱都尼装则把鞋立的微分点和y作为基木概念，国 积和体积被设想成无穷多个微分之和。只在实际计算中才用反微分米求这些和。 另外，牛顿和菜有尼兹的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础。这在初创时 期。是不可避免的。直到19世纪。微积分学的逻辑基础才得以莫定， (杨芳编辑)
4 程来解决面积和体积问题。而莱布尼兹则把独立的微分 dx 和 dy 作为基本概念，面 积和体积被设想成无穷多个微分之和。只在实际计算中才用反微分来求这些和。 另外，牛顿和莱布尼兹的微积分都缺乏清晰的、严谨的逻辑基础。这在初创时 期，是不可避免的。直到 19 世纪，微积分学的逻辑基础才得以奠定。 （杨芳编辑）