第3章斐波纳契数列与黄金比文本辅导 主要内容有：斐镀钠契数列的由来和性质：黄金比及黄金比在各个额域的应用：连分数 及其应用。体现的数学思把方法有：分类思把：归纳与推理，类比思把：最优化思塑与方法 数学中的美学 一、爱波纳契数列 (1)业波纳契数列 Ja1=a2=1 (1) ak+1=ak+ak-1 k>1 根据这个递推公式可以求出这个数列的前几项：1,1,2,35,8,13,21,34,55,89144，… 为了纪念兔子繁殖问思的要波拉奥，将这个数列称为斐波纳契数列 (2)斐被钠契数列的性质 性质1：斐波纳契数列的通项公式 F-- (20 2 2 性质2：斐民数列相邻两项之比的极限等于黄金比， 性质3：相忽两项斐氏数之平方和（差）仍为斐氏数。 F2+F2=F2n+1, F2 F2 +1 n-1 =F n 还有一些性质。请同学们看教材。 二、黄金分割 外内比线段：将线段分为两段，使其中较复线段与较长线段的比等于较长线段与整个线 段的比 1-x B 1·X或x2+x·1 =0
1 第 3 章 斐波纳契数列与黄金比 文本辅导 主要内容有：斐波纳契数列的由来和性质；黄金比及黄金比在各个领域的应用；连分数 及其应用。体现的数学思想方法有：分类思想；归纳与推理；类比思想；最优化思想与方法； 数学中的美学。 一、斐波纳契数列 （1）斐波纳契数列 根据这个递推公式可以求出这个数列的前几项：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.。。。。。 为了纪念兔子繁殖问题的斐波拉契，将这个数列称为斐波纳契数列. （2）斐波纳契数列的性质 性质 1：斐波纳契数列的通项公式 性质 2：斐氏数列相邻两项之比的极限等于黄金比。 性质 3：相邻两项斐氏数之平方和（差）仍为斐氏数。 还有一些性质，请同学们看教材。 二、黄金分割 外内比线段：将线段分为两段，使其中较短线段与较长线段的比等于较长线段与整个线 段的比. { 1 2 1 1 k>1 1 k k k a a a a a + - = = = + （1） n +1 n +1 n 1 1 + 5 1 - 5 F = [ - ] (2) 5 2 2 （ ） （ ） 2 2 n n+1 2n+1 2 2 n+1 n -1 2n , F + F = F , F - F = F
此时x=1十5w0.618,男有x=1,5(0舍制 2 2 这个数称为黄金比、黄金分制或者黄金数。这个点称为该线段的黄金分割点。 (1)黄金分制的几何作阳 1 设线段AB,过B点做AB的垂线，并取点D,使DB=2B,连接AD,以点D为圆 心，以DB为半径画氧，交AD于点E,再以点A为圆心，E为半径，画氧交B 于点C,则C即为AB之黄金分割点， B力==A府 DE DB AC■AE AC:AB■ 5-1 (2)黄金长方形的几何作图 黄金长方形为一极美的图形.在数学、艺术、建筑、自然界，甚至广告中，处处可见到 黄金长方形。心理学家曾做过实验：黄金长方形是让人看起米最顺限且最舒服的一种长方 形.窗户的高与宽，矩彩西面，照片，书籍等长与党大多接近黄金分制比 (3》黄金三角形 称底腰之比为黄金比的等腰三角形为黄金三角形，这样的三角形的顶角和底角分别为 38和72”，反之亦然。 黄金三角形中载去以腰为底的等腰三角形，余下的以核为腰的三角形也是黄金三角形 (4)五角星与黄金此 华达哥拉斯学深的学者们早已发现了五角星中殖藏着许多中外比， (5)黄金超谈 ①优选法与黄金分割 吉弗(Kiefer·小，美国全国科学院院士)，1953年提出了一种多、快、好的科学试验方 法一一优选法20世纪70年代，经过已故华罗庚教授的导和推广，取得了巨大的成功
2 此时 -1 + 5 -1 - 5 x = ≈ 0.618 ,另有 x = < 0 (舍去) 2 2 这个数称为黄金比、黄金分割或者黄金数。这个点称为该线段的黄金分割点。 （1） 黄金分割的几何作图 设线段 AB，过 B 点做 AB 的垂线，并取点 D，使 DB= 1 2 AB，连接 AD，以点 D 为圆 心，以 DB 为半径画弧，交 AD 于点 E，再以点 A 为圆心，AE 为半径，画弧交 AB 于点 C,则 C 即为 AB 之黄金分割点。 （2）黄金长方形的几何作图 黄金长方形为一极美的图形.在数学、艺术、建筑、自然界，甚至广告中，处处可见到 黄金长方形。心理学家曾做过实验： 黄金长方形是让人看起来最顺眼且最舒服的一种长方 形.窗户的高与宽，矩形画面，照片，书籍等长与宽大多接近黄金分割比. （3）黄金三角形 称底腰之比为黄金比的等腰三角形为黄金三角形 ，这样的三角形的顶角和底角分别为 36°和 72°,反之亦然。 黄金三角形中截去以腰为底的等腰三角形，余下的以底为腰的三角形也是黄金三角形. （4）五角星与黄金比 毕达哥拉斯学派的学者们早已发现了五角星中蕴藏着许多中外比。 （5）黄金数趣谈 ① 优选法与黄金分割 吉弗（Kiefer·J,美国全国科学院院士），1953 年提出了一种多、快、好的科学试验方 法——优选法.20 世纪 70 年代，经过已故华罗庚教授的倡导和推广，取得了巨大的成功
优选法：就是用最快的速度把最优的方案选出来它被广泛运用于科学实验。工业生产 以及日常生活中在实际操作中时，常用黄金分制数Q,618米安排实险，因而“优透法”又棱 称为“黄金分制法”。 ②用纸折出黄金分制点 三、连分数及其应用 (1)筒单连分数 若0为整数，12…皆为正整数，则 1 2+ 日+ a+ a+L 叫做简单连分数。为了书写方便，常用将号[8心1,2，】米表示 例如： 37 1 ■3+ =[3,2.1,20 2+1 1+1 2+ 结论】任何一个有理数都可以展开为有限简单连分数。 结论2任何一个有限简单连分数都可以化为有理数。 (2)连分数在历法中的应用 为什么四年一国，而百年又少一国 从天文学知道，一年有365.2220个所谓的”平均日”.面不是365个平均日.换句话 说，如果地球绕太阳一周是365天整。那么我门线不需要分平年与闰年了，也就是说，没有 必要每隔四年把2月份28天改成2四天了. 如果地球绕太阳一周恰好是3版5天，那么我门每四年加一天的算法线可以非常精确， 没有必要每隔1年又加一天了 如果地球绕太阳一周恰好是36524天，那么一百年藏有24个闰年.即四年一问而百年少 一问就是我们用的历法的来源 (李芙蓉编辑)
3 优选法：就是用最快的速度把最优的方案选出来.它被广泛运用于科学实验，工业生产 以及日常生活中在实际操作中时，常用黄金分割数 0.618 来安排实验,因而“优选法”又被 称为“黄金分割法”. ②用纸折出黄金分割点 三、连分数及其应用 （1）简单连分数 若 a 0 为整数，a 1 ,a2……皆为正整数，则 叫做简单连分数. 为了书写方便，常用符号[a0 ,a1 ,a2，…] 来表示. 例如： 结论 1 任何一个有理数都可以展开为有限简单连分数。 结论 2 任何一个有限简单连分数都可以化为有理数。 （2）连分数在历法中的应用 为什么四年一闰，而百年又少一闰？ 从天文学知道，一年有 365.24220…个所谓的”平均日”. 而不是 365 个平均日.换句话 说，如果地球绕太阳一周是 365 天整，那么我们就不需要分平年与闰年了.也就是说，没有 必要每隔四年把 2 月份 28 天改成 29 天了. 如果地球绕太阳一周恰好是 365.25 天，那么我们 每四年加一天的算法就可以非常精确， 没有必要每隔 1 年又加一天了. 如果地球绕太阳一周恰好是 365.24 天,那么一百年就有 24 个闰年.即四年一闰而百年少 一闰就是我们用的历法的来源. （李芙蓉编辑） 0 1 2 3 1 1 1 a a a a + + + + L 37 1 3 [3,2,1,2,1] 11 1 2 1 1 1 2 1 = + = + + +