湖南广播电视大学文本第9章走出来的数学文化文本辅导.pdf_大学文库

如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走5040次。这样一种方法。一种方法试下去，要试到哪一天，就算是一天走一次，也需要13年多的时间，才能得出答案呢？他想：不能这样朵笨地试下去，得想别的方法。聪明的欧拉终于想出一个巧妙的办法。他用A代表岛区、B、C、D分别代表北、东、西三区，并用曲线弧或直线段表示七座桥（图3），图3 这样一来，七座桥的间题，就转变为数学分支“图论”中的一个一笔西问题，即能不能一笔不重复地画出上面的这个图形。欧拉集中精力研究了这个图形，发现中间每经过一点，总有面到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线。这就是说，除起点和终点以外，经过中间各点的线必然是偶数。像上面这个图，因为是一个封闭的曲线，因此，经过所有点的线都必须是偶数才行，而这个图中，经过B点的线有五条，经过A,C、D三点的线都是三条，没有一个是偶数，从而说明，无论从那一点出发，最后总有一条线没有画到，也就是有一座桥没有走到。欧拉终于证明了，要想一次不重复地走完七座桥，那是不可能的。天才的欧拉只用了一步证明，就概括了040种不同的走法，从这里我们可以看到，数学的威力多么大呀！ 3欧拉解决七桥问题的思考方法第一步，欧拉把七桥问题抽象成一个合适的"数学模型”。他想：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是4个点。7座桥是7条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意面7条线来表示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个”一笔画”问题。怎样不重复地通过7座桥，变成了怎样不重复地面出一个几何图形的问题。第二步，欧拉改变提问的角度，抓住问题的实质 2

2 如果沿着所有可能的路线都走一次的话，一共要走 5040 次。这样一种方法，一种方法试下去，要试到哪一天，就算是一天走一次，也需要 13 年多的时间，才能得出答案呢？他想：不能这样呆笨地试下去，得想别的方法。聪明的欧拉终于想出一个巧妙的办法。他用 A 代表岛区、B、C、D 分别代表北、东、西三区，并用曲线弧或直线段表示七座桥（图 3）。这样一来，七座桥的问题，就转变为数学分支“图论”中的一个一笔画问题，即能不能一笔不重复地画出上面的这个图形。欧拉集中精力研究了这个图形，发现中间每经过一点，总有画到那一点的一条线和从那一点画出来的一条线。这就是说，除起点和终点以外，经过中间各点的线必然是偶数。像上面这个图，因为是一个封闭的曲线，因此，经过所有点的线都必须是偶数才行。而这个图中，经过 B 点的线有五条，经过 A、C、D 三点的线都是三条，没有一个是偶数，从而说明，无论从那一点出发，最后总有一条线没有画到，也就是有一座桥没有走到。欧拉终于证明了，要想一次不重复地走完七座桥，那是不可能的。天才的欧拉只用了一步证明，就概括了 5040 种不同的走法，从这里我们可以看到，数学的威力多么大呀！ 3.欧拉解决七桥问题的思考方法第一步，欧拉把七桥问题抽象成一个合适的"数学模型"。他想：两岸的陆地与河中的小岛，都是桥梁的连接点，它们的大小、形状均与问题本身无关。因此，不妨把它们看作是 4 个点。 7 座桥是 7 条必须经过的路线，它们的长短、曲直，也与问题本身无关。因此，不妨任意画 7 条线来表示它们。就这样，欧拉将七桥问题抽象成了一个“一笔画”问题。怎样不重复地通过 7 座桥，变成了怎样不重复地画出一个几何图形的问题。第二步，欧拉改变提问的角度，抓住问题的实质

原先，人们是要求找出一条不重复的路线，欧拉想，成千上万的人都失败了，这样的路线也许是根本不存在的。如果根本不存在，硬要去寻找它岂不是白费力气！于是，欧拉接下来着手判断：这种不重复的路线究竟存在不存在？由于这么改变了一下提问的角度，欧拉抓住了问题的实质。第三步，欧拉认真考察了一笔画图形的结构特征。欧拉发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连：如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。在七桥问题的几何图中，A,C、D三点分别与3条线相连，B点与5条线相连。连线都是奇数条。因此，欧拉新定：一笔面出这个图形是不可能的。也就是说，不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的。这样，在哥尼斯堡7桥问题中，欧拉证明了不存在这样的回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点。与此相反，设G(V,E)为一个图，若存在一条回路，使它经过图中每条边且只经过一次又国到起始点，就称这种国路为欧拉回路，并称图G为欧拉图推而广之，对于可一笔画出的图，首先必须是连通的：其次对于图中的某点，如果不是始点或终点，那么它必有进有出，即交汇于此点的弧线总是成双成对的，此点必定是偶点，也可表述为：对满足下列两个要求的图就可以一笔画出：首先是连通图；其次奇点个数为 0或2，当且仅当奇点个数为0时，始点和终点重合，形成的一笔西称为欧拉回路，而当奇点个数为2时，形成的一笔西称为欧拉迹，在分析上面的例子时，利用的是数学中常见的思考方法一转化，即如何把一个实际问恩转化为判断是否一笔西问盟，用一笔面原理还可以解决许多有趣的实际问题。二、中国郎递员问题及其解决方法 1.中国邮递员问题

3 原先，人们是要求找出一条不重复的路线，欧拉想，成千上万的人都失败了，这样的路线也许是根本不存在的。如果根本不存在，硬要去寻找它岂不是白费力气！于是，欧拉接下来着手判断：这种不重复的路线究竟存在不存在？由于这么改变了一下提问的角度，欧拉抓住了问题的实质。第三步，欧拉认真考察了一笔画图形的结构特征。欧拉发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当你用笔画一条线进入中间的一个点时，你还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一个点（除起点和终点外），它都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。在七桥问题的几何图中，A、C、D 三点分别与 3 条线相连，B 点与 5 条线相连。连线都是奇数条。因此，欧拉断定：一笔画出这个图形是不可能的。也就是说，不重复地通过 7 座桥的路线是根本不存在的。这样，在哥尼斯堡 7 桥问题中，欧拉证明了不存在这样的回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点。与此相反，设 G（V，E）为一个图，若存在一条回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点，就称这种回路为欧拉回路，并称图 G 为欧拉图．推而广之，对于可一笔画出的图，首先必须是连通的；其次对于图中的某点，如果不是始点或终点，那么它必有进有出，即交汇于此点的弧线总是成双成对的，此点必定是偶点。也可表述为：对满足下列两个要求的图就可以一笔画出：首先是连通图；其次奇点个数为 0 或 2，当且仅当奇点个数为 0 时，始点和终点重合，形成的一笔画称为欧拉回路，而当奇点个数为 2 时，形成的一笔画称为欧拉迹。在分析上面的例子时，利用的是数学中常见的思考方法——转化，即如何把一个实际问题转化为判断是否一笔画问题，用一笔画原理还可以解决许多有趣的实际问题。二、中国邮递员问题及其解决方法 1. 中国邮递员问题

一名邮递员带着要分发的却件从邮局出发，在其分管的投递区域内走遍所有街道，把郎件送到每个收件人手中，最后又国到郎局。要走怎样的路线才能使全程最短？这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在 1962年首次提出的，管梅谷等一批科研人员把物资调运中的图上作业法与一笔画原理科学地结合起来，解决了这类邮递员投邮路线问题，因此它被国际数学界称为“中因螂递员问题”。 2中国邮递员问题的解决方法这个问愿可以抽象为用图来表示：以街道为图的边，以街道交叉点为图的结点，问题就是要从这样一个图中找出一条至少包含每边一次的总长最短的回路。显然当这个图是欧拉图时，任何一条欧拉回路都满足要求，但当这个图不是欧拉图时，所求可路必然要重复通过某些边。下面以非欧拉图为例来说明如图4所示，一名邮递员带着要分发的都件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局。（图中路旁各数字分别表示对应路段的长度，单位：华里).邮递员习惯按路线KHGFEDCBAIABJDEKJIHK投递（图中★为邮局)，聪明的读者朋友，你知道他的路线是最短的吗？如果不是，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程。 A 0.8 1.2 04 08 1204 D 0408 H K1204 R ★ 0.6 0.6 2 G 图4 下面，我们来分析这个问题：由于图的奇点（与该点相连的边数为奇数）必定成双，又图4中奇点有6 个，根据一笔商原理，此图不存在欧拉回路，不是欧拉图。则必须通过添加弧线，使每个项点均变成偶点（与该点相连的边数为偶数），同时考虑添加的弧线长度总和最短才满足要求。显然两奇点间可直按添弧一条：奇点与偶点间添弧一条且此偶点还须与另一奇点添弧一条：两偶点间不必添氟

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