二次函数与方程 1、一抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的 解析式为() 2(x-1)2+3 B (2x+1)2+3 C.y=-2(x+1)2+3 D.y=-(2x-1)2+3 2、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是1,-1,给出下列结论:①a+b+c=0; ②b=0:③a=1.c=1.其中正确的是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3、已知:二次函数y=x2-4x-a,下列说法中错误的个数是() ①若图象与x轴有交点,则a4 ②若该抛物线的顶点在直线y=2x上,则a的值为8 ③当a=3时,不等式x24x+a>0的解集是10 5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分,其对称轴为直线x=1.若抛物线与x轴一个交点为A(3,0), 则由图象可知,不等式ax2+bx+c≥0的解集是 6、若关于x的方程3x2+5x+11mn=0的一个根大于2,另一根小于2,则m的取值范围是 7、如图,已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(-2,4),B(8,2), 则能使y<y2成立的x的取值范围是
二次函数与方程 1、一抛物线和抛物线 y＝－2x2 的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（－1，3），则该抛物线的 解析式为（ ） A．y＝－2（x－1）2＋3 B．y＝－（2x＋1）2＋3 C．y＝－2（x＋1）2＋3 D．y＝－（2x－1）2＋3 2、已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是 1，-1，给出下列结论：①a+b+c=0； ②b=0；③a=1．c=-1．其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3、已知：二次函数 y=x2 -4x-a，下列说法中错误的个数是（ ） ①若图象与 x 轴有交点，则 a≤4 ②若该抛物线的顶点在直线 y=2x 上，则 a 的值为-8 ③当 a=3 时，不等式 x 2 -4x+a＞0 的解集是 1＜x＜3 ④若将图象向上平移 1 个单位，再向左平移 3 个单位后过点（1，-2），则 a=-1 ⑤若抛物线与 x 轴有两个交点，横坐标分别为 x1、x2，则当 x 取 x1+x2 时的函数值与 x 取 0 时的函 数值相等． A．1 B．2 C．3 D．4 4、二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为 ，当 时，y=3， 根据图象回答：当 时，y＞0． 5、如图是抛物线 y=ax2+bx+c 的一部分，其对称轴为直线 x=1．若抛物线与 x 轴一个交点为 A（3，0）， 则由图象可知，不等式 ax2+bx+c≥0 的解集是： ． 6、若关于 x 的方程 3x2+5x+11m=0 的一个根大于 2，另一根小于 2，则 m 的取值范围是 ． 7、如图，已知二次函数 y1=ax2+bx+c 与一次函数 y2=kx+m 的图象相交于点 A（-2，4），B（8，2）， 则能使 y1＜y2 成立的 x 的取值范围是 ．
8、已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴是 9、如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-4,0)、B(1,0)、C(0,3)三点,直线y=mx+n经过A (-4,0)、C(0,3)两点 (1)写出方程ax2+bx+c=0的解 (2)若ax2+bx+c>mx+n,写出x的取值范围. y oB 10、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C (1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标 11、如图,已知O为坐标原点,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0) (1)求直线AB的解析式; (2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点,求此二次函数的解析式 (3)结合(1)(2)及图象,直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围
8、已知点（2，5），（4，5）是抛物线 y=ax2+bx+c 上的两点，则这条抛物线的对称轴是 ． 9、如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（－4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线 y=mx+n 经过 A （－4，0）、C（0，3）两点． （1）写出方程 ax2+bx+c=0 的解； （2）若 ax2+bx+c＞mx+n，写出 x 的取值范围． 10、已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A（-1，0），且经过直线 y=x-3 与 x 轴的交点 B 及与 y 轴的交点 C． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 11、如图，已知 O 为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点 A 的坐标为（2，0）． （1）求直线 AB 的解析式； （2）若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A、B、O 三点，求此二次函数的解析式； （3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的 x 的取值范围．
12、已知直线y=-x+与x轴交于点A,与y轴交于点B,C是x轴上一点,如果∠ABC=∠ACB 求:(1)点C的坐标 (2)图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式 -10B 13、在直角坐标平面内,二次函数图象的经过A(-1,0)、B(3,0),且过点C(0,3). (1)求该二次函数的解析式 (2)若P是该抛物线上一点,且△ABC与△ABP面积相同,求P的坐标
12、已知直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，C 是 x 轴上一点，如果∠ABC=∠ACB， 求：（1）点 C 的坐标； （2）图象经过 A、B、C 三点的二次函数的解析式． 13、在直角坐标平面内，二次函数图象的经过 A（-1，0）、B（3，0），且过点 C（0，3）． （1）求该二次函数的解析式； （2）若 P 是该抛物线上一点，且△ABC 与△ABP 面积相同，求 P 的坐标．
14、如图,抛物线y=x2+3xn经过点C(0,4),与x轴交于两点A、B (1)求抛物线的解析式 (2)若点P是抛物线上位于ⅹ轴上方的一个动点,求△ABP面积的最大值 1、如图,△AOB是边长为2的等边三角形,过点A的直线y=3m与x轴交于点E (1)求点E的坐标; (2)求过A、O、E三点的抛物线的解析式 参考答案 1、C2、A3、B 根据图象可知,二次函数y=ax2+bx+o过点(0,0)、(2,0) C=0,4a+2b+C=0.②, b 又:x=1 由◎②解得a=1,b=-2; 这个二次函数的关系式为y=x2-2x 令y=3得x2-2X=3,整理得x2-2×-3=0 解得x=3或-1 由二次函数图象可知, 当x>2或0 故答案为:y=x2-2x,x=3或-1,x2
14、如图，抛物线 y=-x 2+3x-n 经过点 C（0，4），与 x 轴交于两点 A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是抛物线上位于 x 轴上方的一个动点，求△ABP 面积的最大值． 15、如图，△AOB 是边长为 2 的等边三角形，过点 A 的直线 y= 3 3 − x+m 与 x 轴交于点 E． （1）求点 E 的坐标； （2）求过 A、O、E 三点的抛物线的解析式． 参考答案 1、C 2、A 3、B 4
拋物线与x轴的一个交点(3,0 而对称轴x=1, 抛物线与x轴的另一交点(-1,0 当y=ax2+bx+c20时,图象在轴上方, 此时x≤-1或x≥3, 故答案为:x≤-1或x≥3 设y=3x2+5x+11m 根据题意得:x=2时,ymx+n时,-4<x<0 (1)∵直纬y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C B(3,0),C(0,-3) 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),则有 0+1)(0-3)=-3 =1 y=x2-2x-3 2)由(1)知:y=x2-2×-3=(x-1)2-4, 因此顶点坐标为(1,-4)
5、 6、 7、 8、 9、 10
(1)∵A的坐标为(2,0) OA=2 AOB=30°,∠ABO=90° B点的坐标是(,2), AB=1,∠BAD=60°, 设直线AB的解析式是y=ax+b, B作BD⊥x轴于D, 把(2,0)(2, 在Rt△ABD中,AB=1,∠BAD=60° ,2)代入y=ax+b中 2a+b=0 ∠ABD=30°, .AD=s BD=1 解得 OD=22=2, 次函数的解析式是y=-x+23; (2)把(2,0)、(,)、(0,0)代入二次函数y=ax+b+c中 4a+2b+c=0 c=0 解得b=3 二次函数解析式是=2124x; (3)据图观察可知当x2时,一次函数的值大于二次函数的值
11 、 12
1)设点C的坐标是(x,0),根据题意得 当x=0时,y= 当y=0时,x=1 ∴A点坐标是(1,0),B点坐标是(0,3), (1-0)2+(0-3)2=(x-1)2+02, 解得x=3或-1, C点坐标是(3,0)或(-1,0) (2)设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c, 把(1,0)、(0,3)、(3,0)代入函数得 0=a+b+c 0=9a+3b+c 解得{x=4 所求函数解析式是y=1×231x+5 把(1,0)、(0,)、(1,0)代入函数得 a+b+c=0 a btc=o 解得{b=0 所求函数解析式是y=3x2+ 故所求的二次函数的解析式是y=x23x+或=x+5 (1)∵二次函数图象的经过A(-1,0)、B(3,0), ∴设该二次函数的解析式是y=a(x+1)(x3) 过点C(0,3), 代入得:3=a(0+1)(0-3) a=-1, 该二次函数的解析式是y=-(x+1)(x-3),即y=×2+2x+3 A/O1 B
13
(2)∵P是该抛物线上一点,且△ABC与△ABP面积相同, △ACB的边AB上的高和△ABP的边AB上的高相等,都是C点的纵坐标3 即当P在x轴的上方时,P的纵坐标是3, 把y=3代入y=x2+2x+3得:-x2+2x+3=3 解得:X1=0,x2=2, C(0,3), P(2,3) 当当P在轴的下方时,P的纵坐标是3 把y=3代入y=x2+2x+3得:-x2+2x+3=-3, 解得:x1=1+万7,x2=1-7 C(0,3) P(1+√7,-3),(1 3) 即符合条件的P点的坐标是(2,3)或(1+,-3)或(17,-3) (1)将n=4,即n=4, 故函数解析式为y=x2+3x+4; (2)可见,当P位于二次函数顶点时△ABP面积的最大, 9 y=x2+3x+4-(×23x+44)+4=-(x2-3x+4)+4+4-(x2)2+4 二次函数顶点坐标为(2,4 解得,x1=-1,x2=4 S△ABP最大值=2×5X4=8 (1)易求得A为(1,5)把A(1,)代入y=x+m得 令y=0得,x=4 E为(4,0); (2)因为抛物线过原点及x轴上的点E ∴常数项为0,又点E的坐标为(4,0) 可设y=ax(x-4) 又抛物线过点A(1,3) 所以可得y=x2+3x (x-4)
14 、 15