要 第七章单因子试验方差分析 课时 10 &7.1方差分析的必要性与作用&7.2方差分析的条件与数据转换 &7.3方差分析及基本原理 &7.4方差分析的类型与分析步骤 &7.5完全随机设计 &7.6随机区组设计 &7.7拉丁方设计 教学 (1)了解方差分析的基本原理和步骤：(2)掌握统计学两类错误：(3)了 目的 解方差分析的基本假定和数据转换方法。(4)学握完全随机设计、随机区 组设计、拉丁方设计等单因子试验资料的方差分析。 1.方差分析的基本原理和步骤 教学 2. 统计学两类错误 3.方差分析的条件和数据转换方法。 重点 4.完全随机设计的方差分析与随机区组设计的方差分析。 1.方差分析的基本原理 2.常用的数据代换的适用范围理解 3.各种试验资料分析方法的判断及分析时异同。 突破方法： 教学 举例与多媒体图形展示讲解。先温习各种设计的特点，使从试验设计 难点 过程中掌握各种设计误差的不同。重点讲透完全随机设计的总平方和的分 解，区组设计只多了项区组平方和等，学生很快就会自己写出拉丁方设计 资料的分析公式。此外，通过再做课堂练习，学生掌握了再往下讲。效果 较好。 相关素材（参考资料、指导学生阅读材料等）： 1. 《试验统计方法》，盖钧镫主编，中国农业出版社，2000。 2. 《试验设计与统计分析》，金益主编，中国农业出版社，2007。 3. 《SAS统计分析教程》，唐燕琼主编，中国农业出版社，2006。 4 《试验统计引论》，韩汉鹏主编，中国林业出版社，2006。 5. 《热带作物的试验设计与统计分析》，林德光著，华南热带农业大学，1985 6. 《生物统计的数学原理》，林德光，辽宁人民出版社，1982。 7. 《试验设计与统计分析学习指导》，黄亚群主编，中国农业出版社，2008， 8. 《果树试验设计与统计》，刘权主编，中国农业出版社，1997。 9.《肥料试验及统计分析》，陶勤南主编，中国农业出版社，1997。 10.《食品试验设计与统计分析》，王钦德主编，中国农业出版社，2002 11.《试验设计与分析》，袁志发主编，高等教育出版社，2000
1 章 第七章 单因子试验方差分析 课时 10 节 ＆7.1 方差分析的必要性与作用 ＆7.2 方差分析的条件与数据转换 ＆7.3 方差分析及基本原理 ＆7.4 方差分析的类型与分析步骤 ＆7.5 完全随机设计 ＆7.6 随机区组设计 ＆7.7 拉丁方设计 教学 目的 (1)了解方差分析的基本原理和步骤；(2)掌握统计学两类错误；(3)了 解方差分析的基本假定和数据转换方法。（4）掌握完全随机设计、随机区 组设计、拉丁方设计等单因子试验资料的方差分析。 教学 重点 1. 方差分析的基本原理和步骤 2. 统计学两类错误 3. 方差分析的条件和数据转换方法。 4. 完全随机设计的方差分析与随机区组设计的方差分析。 教学 难点 1. 方差分析的基本原理 2. 常用的数据代换的适用范围理解 3. 各种试验资料分析方法的判断及分析时异同。 突破方法： 举例与多媒体图形展示讲解。先温习各种设计的特点，使从试验设计 过程中掌握各种设计误差的不同。重点讲透完全随机设计的总平方和的分 解，区组设计只多了项区组平方和等，学生很快就会自己写出拉丁方设计 资料的分析公式。此外，通过再做课堂练习，学生掌握了再往下讲。效果 较好。 相关素材（参考资料、指导学生阅读材料等）： 1. 《试验统计方法》，盖钧镒主编，中国农业出版社，2000。 2. 《试验设计与统计分析》，金益主编，中国农业出版社，2007。 3. 《SAS 统计分析教程》，唐燕琼主编，中国农业出版社，2006。 4. 《试验统计引论》，韩汉鹏主编，中国林业出版社，2006。 5. 《热带作物的试验设计与统计分析》，林德光著，华南热带农业大学，1985。 6. 《生物统计的数学原理》，林德光，辽宁人民出版社,1982。 7. 《试验设计与统计分析学习指导》，黄亚群主编，中国农业出版社，2008。 8. 《果树试验设计与统计》，刘权主编，中国农业出版社，1997。 9. 《肥料试验及统计分析》，陶勤南主编，中国农业出版社，1997。 10. 《食品试验设计与统计分析》，王钦德主编，中国农业出版社，2002。 11. 《试验设计与分析》，袁志发主编，高等教育出版社，2000
教师授课思路、设问及讲解要点 一、引言 前面学习的均数差异显著性测验，用于比较两个试验处理的优劣，而科研实 践往往需进行多个处理平均数间差异显著性测验。例如比较5种药剂的抑菌效果 的差异显著性测验。4个菌种在3种不同培养基的生长效果比较试验。这就要用 本章将学的方差分析法，它是解决多个处理效果差异显著性测验的统计方法。 二、教学内容正文（含讲课内容、提问设计、课堂练习等） &7.1方差分析的必要性与作用 一、方差分析的必要性 前面学习了两个样本平均数的假设测验，该法只适用于比较两个试验处理 的优劣。用于多个平均数间差异显著性测验，就会表现出如下一些问题： 1.多个处理用t测验计算麻烦 前面讲过的t测验，卡平方测验多数只限于2个处理进行比较，而对多个处 教理进行比较，就麻烦，又不能利用资料的全部信息，精确度也不高。例如：有10 个样本，就要测验：u=2,u=u,共C=45个假设，很麻烦。 学 2.推断的可靠性降低，犯α错误的概率增大 两个样本平均数比较采用t测验，a=0.05时犯第一类错误的概率为0.05 过 推断的可靠性为1-a=0.95。 若对5个处理采用t测验进行比较，ā=0.05，需进行10次两两比较，每次 比较的可靠性为1-α=0.95，要求10次都正确的概率为(1-a)10 0.9510=0.5987,因此推断的可靠性由0.95降到0.5987，犯第一类错误的概率则由 0.05上升到(1-0.5987)=0.4013. 3.误差估计的精确性和检验的灵敏性降低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。 采用t测验法，每次只能利用两组观察值估计试验误差，与利用全部观察值估计 的试验误差相比，精确性低，误差的自由度也低，从而使检验的灵敏度也降低， 容易掩盖差异的显著性，增大犯第二类错误的可能。 譬如，有5个处理，每个处理重复6次，共有观察值30个，若进行t测验每 次只利用12个观察值，误差的自由度为2(6-1)=10，若利用30个观察值估计 试验误差，误差自由度为5(6-1)=25。自由度越小，标准差越大，灵敏度低： 自由度越大，标准差越小，灵敏度高。 因此对多个处理平均数进行差异显著性测验，不宜采用t测验，而需采用 种新的统计方法一一方差分析法
2 教 学 过 程 教师授课思路、设问及讲解要点 一、引言 前面学习的均数差异显著性测验，用于比较两个试验处理的优劣，而科研实 践往往需进行多个处理平均数间差异显著性测验。例如比较 5 种药剂的抑菌效果 的差异显著性测验。4 个菌种在 3 种不同培养基的生长效果比较试验。这就要用 本章将学的方差分析法，它是解决多个处理效果差异显著性测验的统计方法。 二、教学内容正文（含讲课内容、提问设计、课堂练习等） ＆7.1 方差分析的必要性与作用 一、方差分析的必要性 前面学习了两个样本平均数的假设测验，该法只适用于比较两个试验处理 的优劣。用于多个平均数间差异显著性测验，就会表现出如下一些问题： 1．多个处理用 t 测验计算麻烦 前面讲过的 t 测验，卡平方测验多数只限于２个处理进行比较， 而对多个处 理进行比较，就麻烦，又不能利用资料的全部信息，精确度也不高。例如：有 10 个样本，就要测验：u1=u2， u1=u3 .，共 2 C10＝45 个假设，很麻烦。 2.推断的可靠性降低 ，犯α错误的概率增大 两个样本平均数比较采用 t 测验，α=0.05 时犯第一类错误的概率为 0.05, 推断的可靠性为 1-α=0.95。 若对 5 个处理采用 t 测验进行比较，α=0.05, 需进行 10 次两两比较，每次 比 较 的 可 靠 性 为 1-α=0.95 , 要 求 10 次 都 正 确 的 概 率 为 (1-α)10 = 0.9510=0.5987,因此推断的可靠性由 0.95 降到 0.5987,犯第一类错误的概率则由 0.05 上升到（1-0.5987)=0.4013. 3.误差估计的精确性和检验的灵敏性降低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。 采用 t 测验法，每次只能利用两组观察值估计试验误差，与利用全部观察值估计 的试验误差相比，精确性低，误差的自由度也低，从而使检验的灵敏度也降低， 容易掩盖差异的显著性，增大犯第二类错误的可能。 譬如，有 5 个处理，每个处理重复 6 次，共有观察值 30 个，若进行 t 测验每 次只利用 12 个观察值，误差的自由度为 2（6-1）=10，若利用 30 个观察值估计 试验误差，误差自由度为 5（6-1）=25。自由度越小，标准差越大，灵敏度低； 自由度越大，标准差越小，灵敏度高。 因此对多个处理平均数进行差异显著性测验，不宜采用 t 测验，而需采用一 种新的统计方法——方差分析法
&7.2方差分析的条件与数据转换 、方差分析的基本假定（条件）p143 1.正态性：指所有试验误差都是随机的、彼此独立的，且服从正态分布 N(0,σ2)，一般量测性资料都满足正态性 2.可加性（独立性）：处理效应与环境效应等应该具有可加性。各样本间相 互独立的。 3.方差齐性（同质性）：所有处理的误差方差都是同质的。可用卡平方测验 窥测。 对于测量性资料，一般都满足这四条，尽可放心使用方差分析，计数性资料 往往不能满足4点要求，常要进行统计代换，用代换后的数据作方差分析。 二.计数性资料的统计代换 (一)、平方根代换 1.公式：x=√ x=x+1 (x中含0) 教 2适用范围：各组方差与其平均数有某种比例关系的资料。 服从潘松分布的资料，这类资料一般不用百分率来表示，而用计数表示， 学 如每小区的虫数、杂草数、放射性物质在单位时间内的放射次数等，调查总数很 大，但昆虫出现头数极少或某性状出现的次数很少，通常)50。 3,方法：查平方根表或计算器 过 (二)、对数代换 1.公式：x’=1gx(不含0) x’=1g(x+1)(有含0) 程 2,适用范围：数据表现的效应为非可加性，而成倍加性或可乘性，同时平 均数与其极差或s成比例或艰CV接近一常数时。 服从核心分布或负二项分布（嵌纹分布）的资料 核心分布：呈一小群一小群的相对集中的分布，而群与群之间的位置又是随 机的。 嵌纹分布：又负二项分布，即是边缘变化的分布，有的地方很多，而有的地 方又很少，其间断过渡的。 火 资料特点各处理的标准差、极差与其平均数成比例的趋势或变异系数 接近一个常数时。如倍数表现为倍加性或可乘性，对数代换比平方根 更有效。 (三)、反正弦代换 1.公式：用角度表示：x=sn1其中：x为百分率x'为角度值 用弧度表示：0如 2.适用范围：资料系成数或百分数
3 教 学 过 程 ＆7.2 方差分析的条件与数据转换 一、方差分析的基本假定（条件）p143 1．正态性：指所有试验误差都是随机的、彼此独立的，且服从正态分布 (0, ) 2 N ，一般量测性资料都满足正态性。 2．可加性（独立性）：处理效应与环境效应等应该具有可加性。各样本间相 互独立的。 3．方差齐性(同质性)：所有处理的误差方差都是同质的。可用卡平方测验 窥测。 对于测量性资料，一般都满足这四条，尽可放心使用方差分析，计数性资料， 往往不能满足４点要求，常要进行统计代换，用代换后的数据作方差分析。 二．计数性资料的统计代换 （一）、 平方根代换 １．公式： x = x x = x +1 (x中含 0) ２．适用范围：各组方差与其平均数有某种比例关系的资料。 服从潘松分布的资料，这类资料一般不用百分率来表示，而用计数表示， 如每小区的虫数、杂草数、放射性物质在单位时间内的放射次数等，调查总数很 大，但昆虫出现头数极少或某性状出现的次数很少，通常 n〉50。 ３．方法：查平方根表或计算器 （二）、对数代换 １．公式：x’=lgx(不含 0) x’=lg(x+1)(有含 0) ２．适用范围：数据表现的效应为非可加性，而成倍加性或可乘性，同时平 均数与其极差或 s 成比例或艰 CV 接近一常数时。 服从核心分布或负二项分布（嵌纹分布）的资料。 核心分布：呈一小群一小群的相对集中的分布，而群与群之间的位置又是随 机的。 嵌纹分布：又负二项分布，即是边缘变化的分布，有的地方很多，而有的地 方又很少，其间断过渡的。 ＊ 资料特点各处理的标准差、极差与其平均数成比例的趋势或变异系数 接近一个常数时。如倍数表现为倍加性或可乘性，对数代换比平方根 更有效。 （三）、反正弦代换 １．公式：用角度表示： x x 1 sin − = 其中：x 为百分率 x’为角度值 用弧度表示： x x 1 sin 180 − = ２．适用范围：资料系成数或百分数
原则上当原始资料的可数百分率大部分都在30%至70%之间时可以不用进行 代换（近似服从正态分布），但多在大于70%或小于30%时，必须进行代换。 *用代换后的数据统计分析，但说明统计结论时，要注意原数据的意义。 3.方法：a.查反正弦代换表例：34%-35.67 b.用计算器 (四)采用几个观察值的平均数作方差分析 因均数比单个值更易做成正态分布， (五)倒数转换 1,公式：x=I 2.适用范围：各组数据的s与F成比例的资料。 常用于以出现质反应时间为指标的数据资料，数据两端波动较大的资料， &7.3方差分析及其基本原理 1.方差分析的概念 将试验数据的总变异分解为不同来源的变异，从而评定不同变异来源的相为 教 重要性的一种统计方法。 或k≥3样本平均数的假设测验方法即方差分析。 2.方差分析基本原理 将k个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自 过 由度和平方和分解为度量不同变异来源的自由度与平方和，进而获得不同来源的 总体方差的估计值：通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，并测验假设 程 H0:μ1=μ2==μk 就能检验各样本所属总体平均数是否相等。（将在单因子试验分析中细讲） ·、数据结构与变异来源的分解 设有k个处理，每个处理有n个观察值，则共有k个观察值，其数据结构和符 号如表6.1。 处理3 合计，平均.⊙ 1 x2.2. A: x4. Xz? 合计和中 . 表中x表示第i个处理的第j个观测值(i=l,2,.,k:jl,2,.,n): x=立x,表示第i个处理n个规测值的秘=立，1m=X,1n衣示第1个处的平药藏
4 教 学 过 程 原则上当原始资料的可数百分率大部分都在30%至70%之间时可以不用进行 代换（近似服从正态分布），但多在大于 70%或小于 30%时，必须进行代换。 * 用代换后的数据统计分析，但说明统计结论时，要注意原数据的意义。 ３．方法：a． 查反正弦代换表 例：34%-35.67 b． 用计算器 （四）采用几个观察值的平均数作方差分析 因均数比单个值更易做成正态分布。 （五）倒数转换 １．公式： x x 1 = ２．适用范围：各组数据的 s与x 2成比例的资料。 常用于以出现质反应时间为指标的数据资料，数据两端波动较大的资料。 ＆7.3 方差分析及其基本原理 1．方差分析的概念 将试验数据的总变异分解为不同来源的变异，从而评定不同变异来源的相对 重要性的一种统计方法。 或 k 3 样本平均数的假设测验方法即方差分析。 2．方差分析基本原理 将 k 个样本的观察值和平均数作为一个整体加以考虑，把观察值总变异的自 由度和平方和分解为度量不同变异来源的自由度与平方和，进而获得不同来源的 总体方差的估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，并测验假设 H0:μ1= μ2=.= μk 就能检验各样本所属总体平均数是否相等。（将在单因子试验分析中细讲） 一、数据结构与变异来源的分解 设有 k 个处理，每个处理有 n 个观察值，则共有 nk 个观察值，其数据结构和符 号如表 6.1。 表中 ij x 表示第 i 个处理的第 j 个观测值（i=1,2,.,k；j=1,2,.,n）； = = n j i ij x x 1 . 表示第i个处理n个观测值的和； x x n xi n n j i ij . / ./ 1 = = = 表示第i个处理的平均数；
女一身表示第个处理个观测值的和： 上一字护宫表标全都观测做的和 黑一空以=年加表示第1个处理的平均数 玉一空艺ax加表标全部观测值的总平约数， 处理间变异ti=(μi-μ) 处理内变异eij=(xijμi) x,=元+1，+e,样本符号 μ表示全试验观测值总体的平均数 由此可推知：k个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两 部分。 二、自由度与平方和的分解 教 1、总平方和分解 由表7.1可以看出，k个观察值的变异构成了整个资料的总变异，总变异的 学 平方和即： s-X4-8-君 过 x,-=际-)+6，- 程 =2年-户+2民-X-)+(6-月 =吃属-广+2[属-)，-月+22，- 其中2x,-)=0 所吃2-=空低-+224，- 总平方和=处理间平方和+处理内平方和 记为：SST=SSt+SSe 处理间平方和乃各处理的平均数的变异 馬=心低-驴区列- 处理内（误差）平方和乃各组的个观察值与其相应平均数的离差平方和，即 2k-矿=2号买
5 教 学 过 程 = = n j i ij x x 1 . 表示第 i 个处理 n 个观测值的和； = = = = = k i i k i n j ij x x x 1 1 1 . . 表示全部观测值的总和； x x n xi n n j i ij . / ./ 1 = = = 表示第 i 个处理的平均数 x x kn x kn k i n j ij . / ./ 1 1 = = = = 表示全部观测值的总平均数； 处理间变异τi=(μi- μ) 处理内变异εij=( xij- μi) ij i ij x = x + t + e 样本符号 μ表示全试验观测值总体的平均数 由此可推知: nk 个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两 部分。 二、自由度与平方和的分解 1、总平方和分解 由表 7.1 可以看出，nk 个观察值的变异构成了整个资料的总变异，总变异的 平方和即： nk T ss x x x T ij ij 2 2 2 =( − ) = − = − + − − + − = − + − − + − − = − + − = = = = = = = = = = = k i n j i j i n j i j i k i k i i i k i n j i i i j i i j i k i n j k i n j i j i i j i n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( . .) 2 [( . .) ( .)] ( .) ( . .) 2( . .)( .) ( .) ( .) ( . .) ( .) = − = n j ij i x x 1 其中 ( . ) 0 = = = = = − = − + − k i n j k i k i n j ij i ij i x x n x x x x 1 1 1 1 1 2 . 2 . . 2 . 所以 ( ) ( ) ( ) 总平方和=处理间平方和+处理内平方和 记为：SST = SSt+ SSe 处理间平方和乃各处理的平均数的变异， = − = − nk T T n ss n x x t i i 2 2 2 ( ) 1 ( ) 处理内（误差）平方和乃各组的 n 个观察值与其相应平均数的离差平方和，即 n T ss x x x i nk ij k n e ij i = − = − 2 1 2 2 1 1 ( )
2。自由度的分解 1、总变异的自由度：dfT=nk-1 2、处理间的自由度：dft=k-1 3、整个资料处理内（即误差项）自由度为： dfe=dfl+df2+.+dfk=k(n-l) 由上述分析可知，整个资料的变异来源可分为：处理间和处理内两个部分。 因此，总平方和=处理间平方和+处理内平方和 SST SSt+SSe 总自由度=处理间自由度+处理内自由度 dfT dft dfe 于是， 处理间均方6一受 变开均方：饭受 处理内均方：心-齐 教 注意：MS,≠MS+MS。 或+++听或=+防++) 学 表6.2表6.1资料的方差分析 变异来源 55 MS 处理间 k-1 SSt MSt MSt/MSe 处理内 k(n-1) SSe MSe 程 总变异 kn-1 SST 三、F分布与F测验 1、F测验的基本原理 由前面的分析可知，表6.1中k个观察值的大小不尽相同，它们之间的变异 构成了整个数据的总变异，其总变异又可分为处理间变异和处理内变异。 处理内变异：同一处理内的各个观察值不完全相同，这是因为它们都会受到 偶然性因素的影响，影响的大小是随机效应，这些随机效应即为随机变异。各个 处理内的随机变异之和就构成了整个资料的误差项变异。 处理间变异：从上述分析可知，各处理平均数之间有不同程度的差异，引起差异 的原因有二：其一是处理的不同；其二是不同处理受偶然因素影响的程度不同。 由第二种原因引起的变异，其性质与处理内变异（即误差变异）性质相同，而且 在一般情况下，可以认为其效应相等。 因此：处理间变异=处理间真实差异+处理内变异 当处理间真实差异=0时，处理间变异=处理内变异 当处理间真实差异>0时，处理间变异>处理内变异
6 教 学 过 程 2. 自由度的分解 1、总变异的自由度：dfT=nk-1 2、处理间的自由度：dft=k-1 3、整个资料处理内（即误差项）自由度为： dfe=df1+df2+.+dfk=k(n-1) 由上述分析可知，整个资料的变异来源可分为：处理间和处理内两个部分。 因此， 总平方和=处理间平方和+处理内平方和 SST = SSt+ SSe 总自由度=处理间自由度+处理内自由度 dfT = dft + dfe 于是， 处理间均方： t t t t df SS MS = S = 2 总变异均方： e e e e df SS MS = S = 2 处理内均方： T T T T df SS MS = S = 2 注意： MST MS MSe t + 2 2 2 2 1 2 e k s s + s ++ s ( ) 1 2 2 2 2 1 2 e k s s s k s = + ++ 表 6.2 表 6.1 资料的方差分析 变异来源 DF SS MS F 处理间 k-1 SSt MSt MSt/MSe 处理内 k(n-1) SSe MSe 总变异 kn-1 SST 三、F 分布与 F 测验 1、F 测验的基本原理 由前面的分析可知，表 6.1 中 nk 个观察值的大小不尽相同，它们之间的变异 构成了整个数据的总变异，其总变异又可分为处理间变异和处理内变异。 处理内变异：同一处理内的各个观察值不完全相同，这是因为它们都会受到 偶然性因素的影响，影响的大小是随机效应，这些随机效应即为随机变异。各个 处理内的随机变异之和就构成了整个资料的误差项变异。 处理间变异：从上述分析可知，各处理平均数之间有不同程度的差异，引起差异 的原因有二：其一是处理的不同；其二是不同处理受偶然因素影响的程度不同。 由第二种原因引起的变异，其性质与处理内变异（即误差变异）性质相同，而且 在一般情况下，可以认为其效应相等。 因此:处理间变异=处理间真实差异+处理内变异 当处理间真实差异=0 时，处理间变异=处理内变异 当处理间真实差异＞0 时，处理间变异＞处理内变异
F=处理间方差 处理内方差 如果F与“1”相差不多，表明各处理效应在本质上相同，即处理间差异不显著 如果F比“1”大得多，超出了通常偶然因素所能解释的范围，那就说明各 处理效应有本质差异。 关于F值的大小，如何判断是否超过了用误差解释的范围？必须借助F测验， 2、F分布与F测验 F分布：在给定的样本容量l和n2下，从该总体进行一系列的抽样，则可 获得一系列F值，各个F值所具有的概率构成一种分布，这一分布称为F分布。 ,F分布的取值范围为(0，∞) F= 故F分布只有一尾概率（即右尾概率），进行的F测验仅为一尾测验。 F分布是随自由度df1和df2的改变而改变的一组偏态曲线，只有当df1和df 都趋向于∞时，F分布趋于对称分布。因此，F分布某一特定曲线的形状取决于 参数df1和df2。 学 F分布下一定区间的概率可以从己制成的统计表（附表5）中查出。 例如，当df1=4(nl=5)，df2=5(n2=6)时，从附表5查得F0.05=5.19, F0.01=11.39,这就表明如以nl=5,n2=6在一正态总体中进行连续抽样，则所 过 得F值大于5.19的仅有5%，大于11.39的仅有1%。 F测验：测验某项变异因素的效应是否真实存在。 程 若各处理的均数相等或者差异不显著，可以推断处理间不存在真实差异： 若各处理的均数不等且差异显著，可以推断处理间有真实差异。 四、多重比较 F值显著或极显著，否定了无效假设O，表明试验的总变异主要来源于处 理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两 个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显 著或极显著差异，哪些差异不显著。 因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间 的差异显著性。 统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multipl comparisons),。 多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法 (LSR法)，现分别介绍如下。 (I)最小显著差数法(LSD法，least significant difference) 具体方法： >
7 教 学 过 程 2 2 e t s s F = = 处理内方差 处理间方差 如果 F 与“1”相差不多，表明各处理效应在本质上相同，即处理间差异不显著。 如果 F 比“1”大得多，超出了通常偶然因素所能解释的范围，那就说明各 处理效应有本质差异。 关于 F 值的大小，如何判断是否超过了用误差解释的范围？必须借助 F 测验。 2、F 分布与 F 测验 F 分布：在给定的 样本容量 n1 和 n2 下，从该总体进行一系列的抽样，则可 获得一系列 F 值，各个 F 值所具有的概率构成一种分布，这一分布称为 F 分布。 2 2 2 1 s s F = ,F 分布的取值范围为〔0，∞〕 故 F 分布只有一尾概率（即右尾概率），进行的 F 测验仅为一尾测验。 F 分布是随自由度 df1 和 df2 的改变而改变的一组偏态曲线，只有当 df1 和 df2 都趋向于∞时，F 分布趋于对称分布。因此， F 分布某一特定曲线的形状取决于 参数 df1 和 df2。 F 分布下一定区间的概率可以从已制成的统计表（附表 5）中查出。 例如，当 df1=4(n1=5) , df2=5(n2=6)时，从附表 5 查得 F0.05=5.19, F0.01=11.39, 这就表明如以 n1=5, n2=6 在一正态总体中进行连续抽样，则所 得 F 值大于 5.19 的仅有 5%，大于 11.39 的仅有 1%。 F 测验： 测验某项变异因素的效应是否真实存在。 若各处理的均数相等或者差异不显著，可以推断处理间不存在真实差异； 若各处理的均数不等且差异显著，可以推断处理间有真实差异。 四、 多重比较 F 值显著或极显著，否定了无效假设 HO ，表明试验的总变异主要来源于处 理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两 个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显 著或极显著差异，哪些差异不显著。 因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间 的差异显著性。 统 计 上 把 多 个 平 均 数 两 两 间 的 相 互 比 较 称 为 多 重 比 较 (multiple comparisons)。 多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD 法)和最小显著极差法 (LSR 法)，现分别介绍如下。 （1）最小显著差数法 (LSD 法，least significant difference) 具体方法：
1.计算均数差异标准误：S2=√2S。/m 其中MS为F检验中的误差均方 2.计算最小显著差数： LSD。=tad或Sa 在F检验显著的前提下，算出LSDa 若民-x>LSDa时，则元与元，在a水平上差异显著：反之。 关于LSD法的应用说明： LSD法实质上就是t检验法。 ->LSD=tS 但是，由于LSD法是利用F检验中的误差自由df。查t.值，利用误差均方 MSe计算均数差异标准误S,因而法又不同于每次利用两组数据进行多个平均 数两两比较的检验法。它解决了本章开头指出的t检验法检验过程烦琐，无统 的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。但并未解决推 教断的可靠性降低、犯I型错误的概率变大的问题。其最适宜的比较形式是：在进 行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比，每个处理平均数在比较中 只出较一次。 (2)最小显著极差法(LSR法，Least significant ranges) 不同平均数间的比较采用不同的显著尺度 过 LSR法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包 含的处理数（称为秩次距）k的不同而采用不同的检验尺度，以克服LSD法的不足 程 这些在显著水平ā上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极 差LSR LSR法克服了LSD法的不足，但检验的工作量有所增加。常用的LSR法有g 检验法和新复极差法两种。 1.新复极差法(SSR) 此法是由邓肯(Duncan）于1955年提出，故又称Duncan法，此法还称SS 法(shortest significant ranges)。 计算平均数的标准误s 根据df。,k查SSR表，计算最小显若极差值LSR，LSRs=gu,S 2.q测验法 计算平均数的标准误一西 根据df。,k查q表，计算最小显著极差值LSR
8 教 学 过 程 1.计算均数差异标准误： S MSe n d = 2 / 其中 MSe为 F 检验中的误差均方 2.计算最小显著差数: a a df d LSD t S e = ( ) 在 F 检验显著的前提下，算出 LSDα 若 ＞LSDα时，则 i. x 与 j. x 在α水平上差异显著；反之。 关于 LSD 法的应用说明： LSD 法实质上就是 t 检验法。 Sd x x t 1 − 2 = -> Sd LSD = t 但是，由于 LSD 法是利用 F 检验中的误差自由 dfe 查 tα值，利用误差均方 MSe 计算均数差异标准误 d S ， 因而法又不同于每次利用两组数据进行多个平均 数两两比较的检验法 。它解决了本章开头指出的 t 检验法检验过程烦琐，无统 一的试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两个问题。但并未解决推 断的可靠性降低、犯 I 型错误的概率变大的问题。其最适宜的比较形式是：在进 行试验设计时就确定各处理只是固定的两个两个相比，每个处理平均数在比较中 只比较一次。 （2）最小显著极差法（LSR 法 ,Least significant ranges) 不同平均数间的比较采用不同的显著尺度 LSR 法的特点是把平均数的差数看成是平均数的极差，根据极差范围内所包 含的处理数(称为秩次距)k 的不同而采用不同的检验尺度，以克服 LSD 法的不足。 这些在显著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的检验尺度叫做最小显著极 差 LSR。 LSR 法克服了 LSD 法的不足 ，但检验的工作量有所增加。常用的 LSR 法有 q 检验法和新复极差法两种。 1.新复极差法（SSR） 此法是由邓肯 (Duncan) 于 1955 年提出，故又称 Duncan 法，此法还称 SSR 法(shortest significant ranges)。 计算平均数的标准误 n MS s e x = 根据 dfe , k 查 SSR 表，计算最小显著极差值 LSR , LSR k q df k Sx e , = ( , ) 2.q 测验法 计算平均数的标准误 n MS s e x = 根据 dfe , k 查 q 表，计算最小显著极差值 LSR i. j. x − x
LSRA=qad或S 以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度有如下关系： LSD法≤新复极差法≤q检验法 当秩次距k=2时，尺度等：秩次距k≥3时，LSD法的尺度最小，q检验法 尺度最大，新复极差法尺度居中。 试验资料，究竞采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的H0和接 受一个不正确的H0的相对重要性来决定。如果否定正确的H0是事关重 大或后果严重的，或对试验要求严格时，用q法较为妥当；如果接受一个不正 确的H0是事关重大或后果严重的，则宜用新复极差法。 生物试验中，由于试验误差较大，常采用新复极差法：F检验显著后，为了 简便，也可采用LSD法。 例[6.1]以A,B,C,D4种药剂处理水稻种子其中A为对照，处理各得4个 苗高观察值(cm)其结果如表6.2，试进行方差分析。 表6.2水稻不同处理苗高(cm) 药剂 苗高观察 总和T 平均乃， A 18212013 18 B 20242622 92 23 10151714 56 14 D 28272932 116 99 T=336 y=21 学 第一步：统计假设0：4=凸2=.=4 过 第二步：整理资料，计算矫正数及各种平方和 总和平方T23362 C= 程 观察值个数mn4x47056 5S8=∑∑x2-c=182+212++322-c=602 72 722+922+.+1162 SS处理 -c= -c=504 4 SS银=SSg-55%里=602-504=98 第三步：列方差分析表并进行F测验 变异来源 Df SS■ MS 20.563.49 5.95 12 98 8.17 总变异 15 604 40.13 第四步：多重比较 首先计算比较标准 LSD法 9
9 教 学 过 程 LSRa k qa df k Sx e , = ( , ) 以上介绍的三种多重比较方法，其检验尺度有如下关系： LSD 法≤新复极差法≤q 检验法 当秩次距 k=2 时，尺度等； 秩次距 k ≥3 时，LSD 法的尺度最小，q 检验法 尺度最大，新复极差法尺度居中。 试验资料，究竟采用哪一种多重比较方法，主要应根据否定一个正确的 H0 和接 受一个不正确的 H0 的相对重要性来决定。 如果否定正确的 H0 是事关重 大或后果严重的，或对试验要求严格时，用 q 法较为妥当 ；如果接受一个不正 确的 H0 是事关重大或后果严重的，则宜用新复极差法。 生物试验中，由于试验误差较大，常采用新复极差法；F 检验显著后，为了 简便，也可采用 LSD 法。 例[6.1]以 A，B，C，D4 种药剂处理水稻种子其中 A 为对照，处理各得 4 个 苗高观察值（cm）其结果如表 6.2，试进行方差分析。 表 6.2 水稻不同处理苗高（cm） 药剂 苗高观察 总和 Ti 平均 i y A 18 21 20 13 72 18 B 20 24 26 22 92 23 C 10 15 17 14 56 14 D 28 27 29 32 116 29 T = 336 y = 21 第一步：统计假设 H0： = = = k . 1 2 第二步：整理资料，计算矫正数及各种平方和 mn T C 2 = = 观察值个数 总和平方 = 7056 4 4 3362 = 602 504 98 504 4 72 92 . 116 18 21 . 32 602 2 2 2 2 2 2 2 2 = − = − = − = + + + − = = = − = + + + − = 机误 总 处理 处 处理 总 SS SS ss c c n T ss SS x c c 第三步：列方差分析表并进行 F 测验 第四步：多重比较 首先计算比较标准 LSD 法 变异来源 Df SS MS F F0.05 F0.01 药剂 误差 3 12 504 98 168 8.17 20.56＊＊ 3.49 5.95 总变异 15 604 40.13
2x817-202 LSD5=t5nS-,=ts2×2.02=2.179x2.02=4.40 LSD1=00u2×2.02=3.055×2.02=6.17 (2)SSR法，新复极差法(Duncan测验) -平-14218 SE=1n LSR =SE.SSRa. (3)q法(Tukey测验) =1.4292≈1.43 LSR。=9pSE 表6.2资料LSR值的计算（复新极差测验） 教 D SSRo.0s SSRaoL LSRao LSRao 3.08 4.32 4.40 6.18 3 3.23 4.55 4.62 6.51 3.33 4.68 4.76 6.69 过 表6.2资料LSR值的计算(q测验) 程 9a05 9a01 LSRoos LSRoo 2 3.08 4.32 4.40 6.18 3.77 5.04 5.39 7.21 4 4.20 5.50 6.01 7.87 其次进行均数间两两比较 1、列梯形表法 处理 平均数 差异 (卫.) 元-14 元-18 元-23 D 15 11产 B 23 “ 18 2、划线法 29cm (D) 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C) 10
10 教 学 过 程 2.02 4 2 2 8.17 2 = − = = n Se S i j x y LSD0.05 = t 0.05, S − = t 0.05,12 2.02 = 2.1792.02 = 4.40 i j dfe x y LSD0.01 = t 0.01,12 2.02 = 3.055 2.02 = 6.17 （2）SSR 法，新复极差法(Duncan 测验) 1.4292 1.43 4 8.17 = = = n MS SE e LSR SE SSR , p . = （3）q 法(Tukey 测验) 1.4292 1.43 4 8.17 = = = n MS SE e LSR = qa;df ; p SE 表 6.2 资料 LSR 值的计算（复新极差测验） p SSR0.05 SSR0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.08 4.32 4.40 6.18 3 3.23 4.55 4.62 6.51 4 3.33 4.68 4.76 6.69 表 6.2 资料 LSR 值的计算（q 测验） p 0.05 q q0.01 LSR0.05 LSR0.01 2 3.08 4.32 4.40 6.18 3 3.77 5.04 5.39 7.21 4 4.20 5.50 6.01 7.87 其次进行均数间两两比较 1、列梯形表法 处理 平均数 （ i y ） 差异 i y -14 i y -18 i y -23 D 29 ** 15 ** 11 * 6 B 23 ** 9 * 5 A 18 4 C 14 2、划线法 29cm（D） 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C)