解直角三角形的 应用
解直角三角形的 应用
温故而知新3 形 系 B ∠A+∠B=90° a +b2 直角 角形 n A=- sin B 三角函数 关系式 COS A S= tan A- tan B
解直角 三角形 ∠A＋ ∠ B＝90° a 2+b 2=c 2 三角函数 关系式 温故而知新 解直角三角形 常用关系： A B a b C ┌ c sin ,sin a b A B c c = = cos ,cos b a A B c c = = tan ,tan a b A B b a = =
温故而知新3 如图,Rt△ABC中,∠C=90°, (1)若∠A=30°,BC=3,则AC=33 (2)若∠B=60°,AC=3,则BC=√3 (3)若∠A=(°,AC=3,则BC=3tana (4)若∠A=°,BC=m,则AC= tan a B
温故而知新 A B C ┌ 如图，Rt△ABC中，∠C=90° ， （1）若∠A=30° ，BC=3，则AC= （2）若∠B=60° ，AC=3，则BC= （3）若∠A=α°，AC=3，则BC= （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= 3 33 3tan tan m
测量中的最远点问题 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变 轨后,就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时,从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置? 这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6400km,结果精确到 0.1km) 分析:从飞船上能最远直接 看到的地球上的点,应是视 线与地球相切时的切点 Q 如图,(O联示 点F是飞船 的位量,的物点 从飞船观测地球时的PO 点,PO 的长就是地面上Q 两点间的距为计PQ的长 先求出∠POQ(即a)
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km） 分析：从飞船上能最远直接 看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点． ·O Q F P 如图，⊙ α O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是 从飞船观测地球时的最远 点． 的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算 的长需 先求出∠POQ（即a） PQ PQ PQ
解:在图中,FQ是⊙O的切线,△FOQ是直角三角形 6400 cos a 0.95 OF6400+350 F ∴a≈18 PQ的长为 18丌 ×6400≈3.14×640=2009.6 180 当飞船在P点正上方时,从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形． 0.95 6400 350 6400 cos + = = OF OQ a a 18 ∴ PQ的长为 6400 3.14 640 2009.6 180 18 = 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km ·O Q F P α
仰角和俯角 在进行测量时,从下向上看,视线与水平线 的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角 视线 铅仰角 直 水平线 线俯角 视线
铅 直 线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角
仰角与俯角 例4:热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距 离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1m) 析:我们知道,在视线与水平线所 仰角 水平线 成的角中视线在水平线上方的是仰角 视线在水平线下方的是俯角,因此, 在图中,a=30°,B=60 Rt△ABC中,a=30°,AD=120 图 四的 所以利用解直角三角形的知识求出 日用 俯角 BD;类似地可以求出CD,进而求出B
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30° ,β=60° Rt△ABC中，a =30° ，AD＝120， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出CD，进而求出BC． A B C α D β 仰角 水平线 俯角
:如图,a=30°,B=60°,AD=120 BD CD '. tan a= tan AD AD BD=AD·tana=120×tan30 =120×-=40 D回自 日世册田 CD=ADtan B=120 x tan 60 20×√3=1203 mm的m ∴BC=BD+CD=40√3+120 =1603≈2771 楼高
解：如图，a = 30° ,β= 60° ， AD＝120． AD CD AD BD tan a = , tan = BD = ADtan a =120 tan 30 40 3 3 3 =120 = CD = ADtan =120tan 60 =120 3 =120 3 BC = BD +CD = 40 3 +120 3 =160 3 277.1 答：这栋楼高约为277.1m A B C α D β
归纳 仰角、俯角的定义 在视线与水平线所成的角中,视线 在水平线上方时形成的角叫做仰角,在 水平线下方形成的角叫做俯角
归纳 仰角、俯角的定义： 在视线与水平线所成的角中，视线 在水平线上方时形成的角叫做仰角，在 水平线下方形成的角叫做俯角
合作与探究5 如图,直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处,此时飞机离地面的高度PO=450米,且A、 B、O三点在一条直线上,测得大桥两端的俯角 分别为∝=30°,B=45°,求大桥的长AB 由题意得,在Rt△PAO与R△PBO中 ∠PAO=30°∠PBO=45° PO =tan30°,O OA OB tan 45 450 OA 450√3 tan30° 450米1 450 OB= =450 tan 45 ∴:AB=OA-OB=(4503-450)(m) B A 答:大桥的长AB为(450√3-450)m
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为α=30° ，β=45°，求大桥的长AB . 450米 合作与探究 解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中 = = PAO PBO 30 , 45 tan 30 , tan 45 PO PO OA OB = = 450 450 3, tan 30 = = OA 450 450 tan 45 OB = = = − = − AB OA OB m (450 3 450)( ) 答：大桥的长AB为 (450 3 450) . − m β P α O B A