2238相二)形的周长与面积
1.三角形相似的判定方法有那些? 定义三个对应角相等,三条对应边的比相等。 (不常用) 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 常」三边对应成比例的两个三角形相似。 用|两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。 2.相似三角形的有哪些性质? 相似三角形的对应角相等各对应边成比例 3相似三角形还有哪些性质?
相似三角形的对应角相等 ———————, 各对应边—————— 成比例。 1.三角形相似的判定方法有那些？ 两个角对应相等的两个三角形相似。 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边对应成比例的两个三角形相似。 2. 相似三角形的有哪些性质? 3.相似三角形还有哪些性质? 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 定义三个对应角相等，三条对应边的比相等。 （不常用） 常 用
考 如果两个三角形相似,它 们的周长之间有什么关系? 两个相似多边形呢? B B 如果△ABC△ABC,相似比为k,那么 Ab BC CA k A B BC CA 因此 AB=kAB, BC=kBC, CA=KC/A AB+bc +Ca kA'B+kBC+kC a' 从而B+BC"+CAAB+BC+C∥Nk 得到: 相似三角形周长的比等于相似比 相似多边形周长的比等于相似比
如果两个三角形相似，它 们的周长之间有什么关系？ 两个相似多边形呢？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 k C A CA B C BC A B AB = = = ' ' ' ' ' ' 因此 AB＝k A'B' ，BC＝kB'C'，CA＝kC'A' 从而 k A B B C C A k A B k B C k C A A B B C C A AB BC CA = + + + + = + + + + ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A B C A' B' C' 相似多边形周长的比等于相似比 得到： 相似三角形周长的比等于相似比
探究 (1)如图,△ABC∽△ABC,相似比为k1,它们的面积比 是多少?A B D C B D 如图,分别作出△ABC和△ABC的高AD和AD′ ∠4DB=∠4DB ∠B=∠B △ABD∽△ABD AD AB BC·AD k·BC"·k·AD k △ABC ADA B △ AB'C'-B'O"·A"D BC·A"D 这样,得到:相似三角形面积的比等于相似比的平方 附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比
探究 （1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比 是多少？ A B C A' B' D C' ' D 如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'． ∵ ∠ADB =∠A/D/B/ ∠B＝∠B' ∴ △ABD∽△A'B'D' k A B AB A D AD = = ' ' ' ' ' ' ' ' 2 1 2 1 ' ' ' B C A D BC AD S S A B C ABC = △ △ 2 ' ' ' ' 2 1 ' ' ' ' 2 1 k B C A D k B C k A D = = 这样，得到： 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比
附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比 A B C B D C 如图,△ABC∽△ABC',相似比为k,AD,AD分别是边 AD BC、BC'上的中线,求证 k 4 AD 思考:若AD,AD 改为角平分线呢 B D B D 结论:相似三角形对应中线的比等于相似比 结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比
如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD，A'D'分别是边 BC、B'C'上的中线，求证 k A D AD = ' ' C' A B C D A' B' D' 思考：若AD，A'D' 改为角平分线呢 A B C A' B' D C' ' D 附加结论:相似三角形对应高的比等于相似比 结论:相似三角形对应中线的比等于相似比 结论:相似三角形对应角平分线的比等于相似比
探究 (2)如图,四边形ABCD相似于四边形ABCD,相似比为 k2,它们的面积比是多少? D D B 分别连接AC,AC′ 则△ABC∽△ABC,△ADC∽△ACD’ △ABC=2 △ABC k S △A"B'C △A"B'C △ACD =k2∴ °△ACD -k s △A"C'D △A"CD 四边形ABCD △ABC+S △ACD k(S4gc +S △AC"D 四边形ABCD 相似多边形面积的比等于相似比的平方
探究 （2）如图，四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'，相似比为 k2，它们的面积比是多少？ A B C D A' B' C' D' 则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'， 相似多边形面积的比等于相似比的平方． 分别连接AC，A'C' 2 ' ' ' ABC A B C S k S = 2 ' ' ' ACD A C D S k S = 2 ABC A B C ' ' ' = S k S 2 ACD A C D ' ' ' = S k S ( ) 2 ABC ACD A B C A C D ' ' ' ' ' ' + = + S S k S S 2 ' ' ' ' =k ABCD A B C D S S 四边形 四边形
例题分析 例6如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF, ∠A=∠D,△ABC的周长是24,面积是48,求△DEF的周长 和面积 解:在△ABC和△DEF中, ∴AB=2DE,AC=2DF D DE DE AB AC 2 B E 又∠D=∠A △DEF∽△ABC,相似比为 1-22 ADE △ADE △ABC 242 △ADE △ADE △ADE 12 4484 △ADE △ABC
例6.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF， ∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长 和面积． 解：在△ABC和△DEF中， ∵ AB＝2DE，AC＝2DF ∴ 2 1 = = AC DF AB DE 又 ∠D＝∠A ∴ △DEF∽△ABC，相似比为 2 1 A B C D E F ADE 1 1 , = L =12 2 24 2 ADE ADE ABC L L L = 1 1 = = =12 4 48 4 ADE ADE ADE ABC S S S S 例题分析
归纳 对应角相等 相 对应边成比例 三「相似比等于对应边的比 角形 对应高的比,对应中线的比、对应 的角平分线的比都等于相似比 性周长的比等于相似比 质 面积的比等于相似比的平方
相 似 三 角 形 的 性 质 对应角相等 对应边成比例 对应高的比，对应中线的比、对应 角平分线的比都等于相似比. 相似比等于对应边的比 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 归纳
练习 1判断 (1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,这个 角形的周长也扩大为原来的5倍 (2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍,这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍 (1)一个三角形各边扩大为原来5倍,相似比为1:5 原周长 扩大5倍周长5 扩大5倍周长=5原周长
1.判断 （1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍． 练习 （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5 1 5 5 原周长 ＝ 扩大 倍周长 扩大5倍周长＝5原周长
(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍,这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍 解:一个三角形各边扩大为原来9倍,相似比为1:9 S原四边形 S扩大9倍四边形(9 边长扩大9倍四边形=81倍原四边形的的面积
解：一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9 2 1 9 9 S S 原四边形 ＝ 扩大 倍四边形 边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积 （2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍．