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情境探究 B 如图,在Rt△ABC中,∠C =90°,当锐角A确定时, 斜边c ∠A的对边与斜边的比就随 对边a 之确定,此时,其他边之 间的比是否也确定了呢? 为什么? 邻边b 当锐角A的大小确定时,∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比 也分别是确定的,我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦( cosIne), 记作cosA,即 ∠A的邻边b COS A 斜边 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切( tangent),记作tanA,即 ∠A的对边 tan 1的邻边 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数
探究 如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，当锐角A确定时， ∠A的对边与斜边的比就随 之确定，此时，其他边之 间的比是否也确定了呢？ 为什么？ A B 邻边b C 对边a 斜边c 当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比 也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine）， 记作cosA，即 c A b A = = 斜边 的邻边 cos 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即 b a A A A = = 的邻边 的对边 tan 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 情 境 探 究
例题示范 例2如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,si4=5,求 B cosA、tanB的值 解:∵SnA、BC AB BC AB Sm6+5 C 又AC=√AB2-BC2=√102-62=8 AC 4 AC 4 COS A tan B AB 5 BC 3
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，BC＝6，sinA＝ ，求 cosA、tanB的值． 5 3 解：∵ AB BC sin A = 10 3 5 6 sin = = = A BC AB 又 10 6 8 2 2 2 2 AC = AB − BC = − = , 5 4 cos = = AB AC A 3 4 tan = = BC AC B A B C 6 例 题 示 范
例题示范 变题:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,c0s=,求 B sinA、tanA的值 Ac 15 解:∵CosA AB 17 设AC=15k,则AB=17k A C 所以BC=√AB2-AC2=√17k)2-(15k)2=8k bc 8k 8 sin a AB 17k 17 bc 8k 8 tan A AC 15k 15
变题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，cosA＝ ，求 sinA、tanA的值． 15 17 解：∵ 15 cos 17 AC A AB = = 8 8 sin , 17 17 BC k A AB k = = = 8 8 tan 15 15 BC k A AC k === A B C 例 题 示 范 设AC=15k，则AB=17k 所以 2 2 2 2 BC AB AC k k k = − = − = (17 ) (15 ) 8
例题示范 例3:如图,在Rt△ABC中,∠C=90° B 1求证:sinA=cosB,sinB=cosA 2求证:tanA sIn sin A= sin Asin a COS A 3.求证:Sin2A+cos2=1 C
例3： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° 例 题 示 范 1.求证：sinA=cosB，sinB=cosA 2.求证： sin tan cos A A A = 3.求证： 2 2 sin cos 1 A+ = A B C 2 sin sin sin A A A =
例题示范 例4:如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若 ∠DPB=a那么CD=(B) AB A sin a.B. cos a C. tana,D I tan a 变题:如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若 AB=10,CD=6,求Sino D sIn a B
例4： 如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若 例 题 示 范 = DPB 那么 ( ) CD AB = 1 .sin , .cos , .tan , . tan A B C D B 变题：如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若 AB=10，CD=6，求 sin . O C D A B P 4 sin 5 =
小结 如图,Rt△ABC中,∠C=90度, 4 BC AB COS A= AC BC sin A= cos B sIn tan A AB AC COs A= Sin B sIn AB COS- BC B AC AC tan b= AB BC tan g I tan B 因为00. tan B>0 所以,对于任何一个锐角a,有 00, sin-a+cos a=I
小结 如图，Rt△ABC中，∠C=90度， 因为0＜sinA ＜1, 0＜sinB ＜1, tan A＞0, tan B＞0 A B C 0＜cosA ＜1, 0＜cosB ＜1, 2 2 sin cos 1 + = 所以，对于任何一个锐角α，有 0＜sin α ＜1， 0＜cos α ＜1， tan α ＞0， sin ,cos , tan BC AC BC AAA AB AB AC === sin ,cos , tan AC BC AC B B B AB AB BC = = = sin cos cos sin 1 tan tan A B A B A B = = =
1.分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值 解:由勾股定理 BC=√AB2-AC2=√132-122=5 sInA BC 5 B AB 13 13 A AC 12 COS A AB 13 SB、AC12 tan=BC5 AB 13 AC 12 BC 5 COS B 4B13 tan B
1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 练 习 解：由勾股定理 2 2 2 2 BC AB AC = − = − = 13 12 5 A B C 13 12 5 sin 13 BC A AB = = 12 cos 13 AC A AB = = 5 tan 12 BC A AC = = 12 sin 13 AC B AB = = 5 cos 13 BC B AB = = 12 tan 5 AC B BC = =
2.在Rt△ABC中,如果各边长都扩大2倍,那么锐角A的正弦值、余 弦值和正切值有什么变化? 解:设各边长分别为a、b、c,∠A的三个三角函数分别为 B sin A=-, Cos A tan A 则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c aa 2c c B 26 b COS A 2c 20
2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余 弦值和正切值有什么变化？ A B C 解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为 sin cos tan a b a A A A c c b = = = ， ， 则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c 2 sin 2 a a A c c = = 2 cos 2 b b A c c = = 2 tan 2 a a A b b = = A B C
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,tanA=-, 求:sinA、cosB的值 B 解: tan BC3 AC 4 ∵.AC=8 BC=-AC=-×8=6 4 4 ∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10 BC 6 3 sin a AB105 COSB、BC63 AB105
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90° ，AC＝8，tanA＝ ， 求：sinA、cosB的值． 4 3 A B C 8 解： 3 tan 4 BC A AC = = AC =8 3 3 8 6 4 4 = = = BC AC 6 3 sin 10 5 BC A AB = = = 2 2 2 2 = + = + = AB AC BC 8 6 10 6 3 cos 10 5 BC B AB = = =