27.2.1相似三角形的判断(第1课时)
27.2.1相似三角形的判断（第1课时）
活动1相似三角形及相关概念 在相似多边形中,最简单的就是相似三角形 在△ABC和△ABC中,如果 如果k=1,这 两个三角形有 怎样的关系? B B △ABC≌△ABC 如果∠A=∠A’,∠B=∠B',∠C=∠C’, Ab BC Ca-k A B B'C C A 我们就说△ABC与△ABC相似, 记作△ABC∽△A"BC.k就是它们的相似比
在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC和△A'B'C'中，如果： 如果 ∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'， 我们就说△ABC与△A'B'C'相似， ' ' ' ' ' ' AB BC CA k A B B C C A === 如果k=1，这 两个三角形有 怎样的关系？ A B C A' B' C' 活动1 相似三角形及相关概念 △ABC≌△A'B'C' 记作△ABC∽△A'B'C'． k 就是它们的相似比．
O思 考 活动2 如图,在△ABC中,点D是 E 边AB的中点,DE∥BC,DE 交AC于点E,△ADE与 △ABC有什么关系? B C 直觉告诉我们,△ADE与△ABC相似 我们通过相似的定义证明这个结论
如图，在△ABC中，点D是 边AB的中点，DE∥BC，DE 交AC于点E ，△ADE与 △ABC有什么关系？ A B C D E 我们通过相似的定义证明这个结论． 活动2 直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似．
先证明两个三角形的对应角相等 在△ADE与△ABC中,∠A=∠A DE∥BC ∠ADE=∠B,∠AED=∠C 再证明两个三角形的对应边的比相等 2 E 过点E作EF∥AB,EF交BC于点F 在BFED中,DE=BF,DB=EF B C AD= BD=-AB AD=EF 又∠A=∠1,∠2=∠C 这样,我们证明了△ADE和△ABC ∴△ADE≌△EFC 的对应角相等,对应边的比相等, 所以它们相似,相似比为 .AE=EC= AC DE=FC=BF=- BC
这样，我们证明了△ADE和△ABC 的对应角相等，对应边的比相等， 所以它们相似，相似比为 先证明两个三角形的对应角相等． 在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A ∵DE∥BC ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C 再证明两个三角形的对应边的比相等． 过点E作EF∥AB，EF交BC于点F． 在 BFED中，DE＝BF，DB＝EF ∵AD＝BD＝ AB ∴AD＝EF 又∠A＝∠1，∠2＝∠C ∴△ADE≌△EFC ∴AE＝EC＝ AC DE＝FC＝BF＝ BC 1 2 1 2 1 2 1 2 A B C D E F 1 2
改变点D在AB上的位置,继续观察图形,进一步想 △ADE与△ABC是否存在着相似关系 平行于三角形一边的直线和其他两边相 交,所构成的三角形与原三角形相似 D E 证明:过点E作EFAB,交BC于点F DE/BC. DF/AB B AD AE FB EC (平行于三角形一边的直线截其它 AB AC BC AC 两边所得的对应线段成比例) 四边形DEFB是平行四边形, DE= FB DE AD BC AB AD AE E AB AC BC
A B C D E 改变点D在AB上的位置，继续观察图形，进一步想 △ADE与△ABC是否存在着相似关系． 平行于三角形一边的直线和其他两边相 交，所构成的三角形与原三角形相似． 证明：过点E作EF//AB，交BC于点F ∵DE//BC,DF//AB AD AE FB EC AB AC BC AC = = ， （平行于三角形一边的直线截其它 两边所得的对应线段成比例） ∵四边形DEFB是平行四边形， = DE FB DE AD BC AB = AD AE DE AB AC BC = = F
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所得 的三角形与原三角形相似 “A”型 “X”型 D E E B C (图1) B (图2)
平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所得 的三角形与原三角形________. 相似 “A”型 “X”型 （图2） D E O B C A B C D E （图1）
活动3 学习三角形全等时,我们知道,除了可以通过证明对应角相等.对应边 相等来判定两个三角形全等外,还有判定的简便方法(SSS、SAS ASA、AAS).类似地,判定两个三角形相似时,是不是对所有的对应 角和对应边都要一一验证呢? 不需要 类似于判定三角形全等的SSS方法,我们能不能通过三边来判断两个三 角形相似呢? 能
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边 相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、 ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应 角和对应边都要一一验证呢？ 类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判断两个三 角形相似呢？ 活动3 不需要 能
探究1 它的各边 角,它 是否有同 这两个三角形是相似的 如图在△ABC和△ABC中, AB BC CA A"B′B"CC'A 求证:△ABC△ABC
探究1 在一张方格纸上任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边 长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它 们相等吗？这两个三角形相似吗？与邻座交流一下，看看是否有同 样的结论． 如图在△ABC和△A'B'C'中， 求证： △ABC∽△A'B'C' ' ' ' ' ' ' AB BC CA A B B C C A = = 这两个三角形是相似的
证明:在线段AB'(或它的延长线)上截取AD=AB,过点D作 DEⅢBC,交AC于点E,根据前面的结论可得△ADE∽△ABC D E B A'B BCI AC A'B B'C ACIA'D=AB C. B A D DE AE AB BC AC AE AC ACAC,∴AE=AC 要证明△ABC∽△ABC’, 可以先作一个与△ABC全 同理DE=BC 等的三角形,证明它与 △ADE△ABC △ABC相似,这里所作 的三角形是证明的中介,把 △ABC~△A"BC △ABC与△ABC联系起来
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D＝AB，过点D作 DE∥B'C'，交A'C'于点E，根据前面的结论可得△A'DE∽△A'B'C' ' ' ' ' ' ' ' ' A C A E B C DE A B A D = = A D AB A C AC B C BC A B AB = = , ' = ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A C AC A C A E = A'E = AC 同理 DE＝BC ∴△A'DE≌△ABC ∴△ABC∽△A'B'C' A' B' C' D E A B C 要证明△ABC∽△A'B'C' ， 可以先作一个与△ABC全 等的三角形，证明它与 △A'B'C'相似，这里所作 的三角形是证明的中介，把 △ABC与△A'B'C'联系起来
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法: AB BC CA k A B BC CIA B C B △ABC∽△ABC 如果两个三角形的三组对应边的比 相等,那么这两个三角形相似
由此我们得到利用三边判定三角形相似的方法： 如果两个三角形的三组对应边的比 相等，那么这两个三角形相似． A' B' C' A B C ' ' ' ' ' ' AB BC CA k A B B C C A === △ABC ∽ △A'B'C