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》知识网络 ☆食☆☆ 对应角相等,对应边成比例;对应线段的比 相似多边形 等于相似比,面积的比等于相似比的平方 相似图形 相似三角形 相似三角形的性质 相似三角形的判定 用 平行线判定法 边的比判 法 两边及其夹角判定法 两角判定法 定 位似图形 用坐标来表示位似变换
》热点题型 热点一分类讨论思想 在相似三角形中,当不确定图形或不清楚图中有多少个对 应相似的三角形时,解决三角形相似问题就需要分不同的情况 讨论 般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点, 将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想;将 事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方 法叫做“分类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的 方法解决下列问题:
热点一 分类讨论思想 在相似三角形中，当不确定图形或不清楚图中有多少个对 应相似的三角形时，解决三角形相似问题就需要分不同的情况 讨论． 一般来说，依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点， 将数学对象分为不同种类的数学思想叫做“分类”的思想；将 事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方 法叫做“分类讨论”的方法．请依据分类的思想和分类讨论的 方法解决下列问题：
【例1】如图27-1,在△ABC中,∠ACB>∠ABC (1)若∠BAC是锐角,请探索在直线AB上有多少个点D, 能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)? (2)请对∠BAC进行恰当的分类,直接写出每一类在直线 AB上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点D的个数 C 图27-1
【例 1】 如图 27－1 ，在△ABC 中，∠ACB>∠ABC. (1)若∠BAC 是锐角，请探索在直线 AB 上有多少个点 D， 能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)? (2)请对∠BAC 进行恰当的分类，直接写出每一类在直线 AB 上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点 D 的个数． 图 27-1
思路点拨:(1)分点D在线段AB上、点D在线段AB的延 长线上和点D在线段AB的反向延长线上三种情况讨论 (2)再分∠BAC为直角和钝角两种情况讨论,并且对每种情 况按照(1)的方法进行分类讨论 解:(1)①若点D在线段AB上, 图27-2
思路点拨：(1)分点 D 在线段 AB 上、点 D 在线段 AB 的延 长线上和点 D 在线段 AB 的反向延长线上三种情况讨论． (2)再分∠BAC 为直角和钝角两种情况讨论，并且对每种情 况按照(1)的方法进行分类讨论． 解：(1)①若点 D 在线段 AB 上， 图 27-2
由于∠ACB>∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD ∠ABC 使得△ACD∽△ABC ②如图27-2(1),若点D在线段AB的延长线上 则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾 因此,这样的点D不存在 ③如图27-2(2),若点D在线段AB的反向延长线上,由于 ∠BAC是锐角,则∠BAC<90°<∠CAD
由 于 ∠ACB>∠ABC ， 可 以 作 一 个 点 D 满 足 ∠ACD ＝ ∠ABC， 使得△ACD∽△ABC. ②如图 27-2(1)，若点 D 在线段 AB 的延长线上， 则∠ACD>∠ACB>∠ABC，与条件矛盾． 因此，这样的点 D 不存在． ③如图 27-2(2)，若点 D 在线段 AB 的反向延长线上，由于 ∠BAC 是锐角，则∠BAC<90°<∠CAD
不可能有△ACD∽△ABC 因此,这样的点D不存在 综上所述,这样的点D有一个 (2)①当∠BAC为直角时,仿照(1)的方法,易求得在线段 AB和线段AB的反向延长线上各有一个点D,使得 △ACD∽△ABC,即这样的点D有两个 ②当∠BAC为钝角时,仿照(2)的方法,易求得只有线段 AB上有一个这样的点D
不可能有△ACD∽△ABC. 因此，这样的点 D 不存在． 综上所述，这样的点 D 有一个． (2)①当∠BAC 为直角时，仿照(1)的方法，易求得在线段 AB 和 线 段 AB 的 反 向 延 长 线 上 各 有 一 个 点 D ， 使 得 △ACD∽△ABC，即这样的点 D 有两个． ②当∠BAC 为钝角时，仿照(2)的方法，易求得只有线段 AB 上有一个这样的点 D
神总结》分类讨论思想是种很重要的数学思想方 法,它贯穿于整个中学数学的全部內容中,需要运用分类讨论 的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为:① 涉及的数学概念是分类定义的(如:有理数的概念);②求解的 数学问题的结论有多种情况或多种可能(如本例);③数学问题 中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同的结果.[如:函 数y=mx2+(m-1)x+2中有参变量m应用分类讨论,往往能使 复杂问题简单化,解题思路清晰,步骤明了
分类讨论思想是一种很重要的数学思想方 法，它贯穿于整个中学数学的全部内容中，需要运用分类讨论 的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：① 涉及的数学概念是分类定义的(如：有理数的概念)；②求解的 数学问题的结论有多种情况或多种可能(如本例)；③数学问题 中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同的结果．[如：函 数 y＝mx2＋(m－1)x＋2 中有参变量 m]应用分类讨论，往往能使 复杂问题简单化，解题思路清晰，步骤明了．
【跟踪训练】 1.如图27-3所示,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D 在AB边上,且AD=4,在AC上取一点P,使以A,P,D为 顶点的三角形与△ABC相似.求AP的长 图27-3
【跟踪训练】 1．如图 27-3 所示，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，点 D 在 AB 边上，且 AD＝4，在 AC 上取一点 P，使以 A，P，D 为 顶点的三角形与△ABC 相似．求 AP 的长． 图 27-3
解:分两种情况讨论: AD AP (1)当∠ADP=∠B时,△ADPO△ABC,AB=AC 4 AP AP=3 (2)当∠ADP=∠C时,△APD∽△ABC,ADAP AC AB 4 AP 16 68 AP- 因此AP=3或AP
解：分两种情况讨论： (1)当∠ADP＝∠B 时，△ADP∽△ABC， AD AB＝ AP AC， ∴ 4 8＝ AP 6 .∴AP＝3. (2)当∠ADP＝∠C 时，△APD∽△ABC， AD AC＝ AP AB， ∴ 4 6＝ AP 8 .∴AP＝ 16 3 . 因此 AP＝3 或 AP＝ 16 3