parent 第二十七章图形的相似 专题五相似三角形的综合应用
第二十七章 图形的相似 专题五 相似三角形的综合应用
、相似三角形与圆的知识的综合 parent 教材母题(教材Ps第8题) 如图,CD是⊙O的弦,AB是直径,且CD⊥AB,垂足为P,求证:PC2=PAAB 解:如图连接ACBC∴AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°,又∵AB⊥CD ∴∠APC=∠CPB=90°,∴.∠CAP+∠ACP=90°,∠BCP+∠ACP=90°,∴ ∠CAP=∠BCP,∴△PCA∽△PBC,∴ PC PA PB PC ∴PC2=PAPB 【规律与方法】证明等积式或者比例式的一般方法为:把等积式或者比例式中的四条线段分别 看做两个三角形的对应边.然后,通过证明这两个三角形相似,从而得到所要证明的等积式或 比例式.特别地,当等积式中的线段的对应关系不容易看出时,也可以把等积式转化为比例式 相似三角形与圆综合通常涉及到利用同弧(等弧)所对的圆周角相等、切线的性质、直径所对的 圆周角为直角等知识来构造三角形相似从而解决问题
一、相似三角形与圆的知识的综合 教材母题 (教材 P58 第 8 题) 如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD⊥AB，垂足为 P，求证：PC2 ＝PA·AB. 解：如图，连接 AC，BC，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，又∵AB⊥CD， ∴∠APC＝∠CPB＝90°，∴∠CAP＋∠ACP＝90°，∠BCP＋∠ACP＝90°，∴ ∠CAP＝∠BCP，∴△PCA∽△PBC，∴ PC PB＝ PA PC，∴PC2＝PA·PB 【规律与方法】证明等积式或者比例式的一般方法为：把等积式或者比例式中的四条线段分别 看做两个三角形的对应边．然后，通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或 比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式， 相似三角形与圆综合通常涉及到利用同弧(等弧)所对的圆周角相等、切线的性质、直径所对的 圆周角为直角等知识来构造三角形相似从而解决问题
parent 变式1(2014陕西)如图,⊙O的半径为4,B是⊙O外一点,连接OB,且OB=6,过点 B作⊙O的切线BD,切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线,垂足为 (1)求证:AD平分∠BAC (2)求AC的长 解:(1)证明:连接OD,∵BD是⊙O的切线,∴OD⊥BD,∵AC⊥BD,∴OD∥AC, ∠2=∠3,∵OA=OD,∴∠1=∠3,∴∠1=∠2,即AD平分∠BAC OD BO (2)解:∵OD∥AC,∴△BOD∽△BAC,∴ ACBA’·AC 解得:AC=3
变式 1.(2014·陕西)如图，⊙O 的半径为 4，B 是⊙O 外一点，连接 OB，且 OB＝6，过点 B 作⊙O 的切线 BD，切点为 D，延长 BO 交⊙O 于点 A，过点 A 作切线 BD 的垂线，垂足为 C. (1)求证：AD 平分∠BAC； (2)求 AC 的长． 解：(1)证明：连接 OD，∵BD 是⊙O 的切线，∴OD⊥BD，∵AC⊥BD，∴OD∥AC， ∴∠2＝∠3，∵OA＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，即 AD 平分∠BAC (2)解：∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴OD AC ＝ BO BA，∴ 4 AC ＝ 6 10，解得：AC＝ 20 3
变式2如图,BD是⊙O的直径,A,C是⊙O上的两点,且AB=AC,AD与BC的延 长线交于点E (1)求证:△ABD∽△AEB:(2)若AD=1,DE=3,求BD的长 E 解:(1)证明:∵AB=AC,∴AB=AC.∴∠ABC=∠ADB,又∵∠BAE=∠DAB,∴△ ABD∽△AEB AB AD (2)∵△ABD∽△AEB,∴ AEAB,∵AD=1,DE=3,∴AE=4,∴AB2=ADAE=1 ×4=4,∴AB=2,∵BD是⊙O的直径,∴∠DAB=90°,在Rt△ABD中,BD2=AB2+ AD2=22+12=5,∴BD=15
变式 2.如图，BD 是⊙O 的直径，A，C 是⊙O 上的两点，且 AB＝AC，AD 与 BC 的延 长线交于点 E. (1)求证：△ABD∽△AEB； (2)若 AD＝1，DE＝3，求 BD 的长． 解：(1)证明：∵AB＝AC，∴AB ︵ ＝AC ︵ .∴∠ABC＝∠ADB，又∵∠BAE＝∠DAB，∴△ ABD∽△AEB (2)∵△ABD∽△ AEB，∴AB AE＝ AD AB，∵AD＝1，DE＝3，∴AE＝4，∴AB2＝AD·AE＝1 ×4＝4，∴AB＝2，∵BD 是⊙O 的直径，∴∠DAB＝90°，在 Rt△ABD 中，BD2＝AB2＋ AD2＝22＋12＝5，∴BD＝ 5
二、相似三角形与四边形知识的综合 parent 变式3(2014泰安)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC与BD交于点E,∠ADB =∠ACB AB AC (1)求证 AE AD (2)若AB⊥AC,AE:EC=1:2,F是BC中点,求证:四边形ABFD是菱形 解:(1)∵∴AB=AD,∴∠ADB=∠ABE,又∵∠ADB=∠ACB,∴∠ABE=∠ACB,又 ∵∠BAE=∠CAB,∴△ABE∽△ACB,·ABAC AE=AB,又∵AB=AD, A AC AD (2)设AE=x,:AE:EC=1:2,∴EC=2x,由(1)得:AB2=AEAC,∴AB=√x,又 ∵BA⊥AC,∴BC=23x,∴∠ACB=30°,F是BC中点,∴BF=√x,∴BF=AB= AD,又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD,∠ADB=∠CBD=30°,∴AD∥BF,∴四边形ABFD 是平行四边形,又∵AD=AB,∴四边形ABFD是菱形
二、相似三角形与四边形知识的综合 变式 3.(2014·泰安)如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，AC 与 BD 交于点 E，∠ADB ＝∠ACB. (1)求证：AB AE＝ AC AD； (2)若 AB⊥AC，AE∶EC＝1∶2，F 是 BC 中点，求证：四边形 ABFD 是菱形． 解：(1)∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE，又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB，又 ∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴AB AE＝ AC AB，又∵AB＝AD，∴AB AE＝ AC AD (2)设 AE＝x，∵AE∶EC＝1∶2，∴EC＝2x，由(1)得：AB2＝AE·AC，∴AB＝ 3x，又 ∵BA⊥AC，∴BC＝2 3x，∴∠ACB＝30°，∵F 是 BC 中点，∴BF＝ 3x，∴BF＝AB＝ AD，又∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABD，∴∠ADB＝∠CBD＝30°，∴AD∥BF，∴四边形 ABFD 是平行四边形，又∵AD＝AB，∴四边形 ABFD 是菱形．
变式4(2014柳州)如图,正方形ABCD的边长为1,AB边上有一动点P,连接PD,线 段PD绕点P顺时针旋转90°后得到线段PE且PE交BC于F连接DF过点E作EQ⊥AB 的延长线于点Q (1)求线段PQ的长; (2)问:点P在何处时,△PFD∽△BFP,并说明理由 E B (1)由题意得:PD=PE,∠DPE=90°,∴∠APD+∠QPE=90°,∵四边形ABCD是 正方形,∴∠A=90°,∴∠ADP+∠APD=90°,∴∠ADP=∠QPE,∵EQ⊥AB,∴∠A =∠Q=90°,又∵PD=PE,∴△ADP≌△QPE(AAS),∴PQ=AD=1 P (2)∵△PFD∽△BFP,∴BF=PF,∵∠ADP=∠EPB,∠CBP=∠A,△DAP△PBF, D AP AP PB BF,∴BF=BF,∴PA=PB,∴PA=方AB=2,∴当PA=2时,△PFDe△BFP
变式 4.(2014·柳州)如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AB 边上有一动点 P，连接 PD，线 段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°后，得到线段 PE，且 PE 交 BC 于 F，连接 DF，过点 E 作 EQ⊥AB 的延长线于点 Q. (1)求线段 PQ 的长； (2)问：点 P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由． (1)由题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠QPE＝90°，∵四边形 ABCD 是 正方形，∴∠A＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A ＝∠Q＝90°，又∵PD＝PE，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ＝AD＝1. (2)∵△PFD∽△BFP，∴PB BF＝ PD PF，∵∠ADP＝∠EPB，∠CBP＝∠A，∴△DAP∽△PBF， ∴ PD PF＝ AP BF，∴AP BF＝ PB BF，∴PA＝PB，∴PA＝ 1 2 AB＝ 1 2 ，∴当 PA＝ 1 2 时，△PFD∽△BFP
变式5如图,某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,为节约资源,现要按图中所示 的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用,当截取的矩形面积最大时,求矩形两 边长x,y Al8 20 C B 24G CG FG 24 解:作DE⊥BC于E.FG∥DE,∴△CFG∽△CDE,∴ CEDE’24-820 4 x+24.∴S矩形=xy=x(-x+24)=-x2+24x=-(x-15)2+180.∴a<0,∴当x= 15时,S矩形最大为180,此时y=12,即当x=15,y=12时,矩形面积最大
变式 5.如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示 的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分)铁片备用，当截取的矩形面积最大时，求矩形两 边长 x，y. 解：作 DE⊥BC 于 E.∵FG∥DE，∴△CFG∽△CDE，∴CG CE＝ FG DE，∴ 24－y 24－8 ＝ x 20，∴y ＝－ 4 5 x＋24.∴S 矩形＝xy＝x(－ 4 5 x＋24)＝－ 4 5 x2＋24x＝－ 4 5 (x－15)2＋180.∵a＜0，∴当 x＝ 15 时，S 矩形最大为 180，此时 y＝12，即当 x＝15，y＝12 时，矩形面积最大．
三、相似三角形的存在性问题 parent 变式6(2014东营)如图,直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交 于点B’把△AOB沿y轴翻折,点A落到点C,过点B的抛物线y x2+bx+c与直线BC交于点D(3,-4) AA JOC (1)求直线BD和抛物线的解析式 (2)在第一象限内的抛物线上,是否存在一点M作MN垂直于x轴 垂足为点N,使得以M,O,N为顶点的三角形与△BOC相似?若存在 求出点M的坐标;若不存在,请说明理由 解:(1)∵y=2x+2,∴当x=0时,y=2,∴B(0,2),当y=0时,x=-1,∴A(-1, 0).∵抛物线y=-x2+bx+c过点B(0,2),D(3,-4),…∴ 解得 jb-1 -4=-9+3b+c, c=2, ∴y=-x2+x+2:设直线BD的解析式为y=kx+b,由题意,得 4=3+b.解得: k=-2 b=2.∴直线BD的解析式为:y=-2x+2 (2)存在,设M(a,-a2+a+2).∵MN垂直于x轴,∴MN=-a2+a+2,ON=a,:y=-2x+2,∴y=0时,x =1,…C(1,O,∴OC=1∴B(0,2),∴OB=2,当△BOC∽△MNO时,∴MNON:-2 BO OC 2+a+ 解得: 1+、331+3 M在第一象限,∴符合条件的点M的坐标为(1,2),( 1+33 ∴M(4 或(
三、相似三角形的存在性问题 变式 6.(2014·东营)如图，直线 y＝2x＋2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交 于点 B，把△AOB 沿 y 轴翻折，点 A 落到点 C，过点 B 的抛物线 y＝－ x 2＋bx＋c 与直线 BC 交于点 D(3，－4)． (1)求直线 BD 和抛物线的解析式； (2)在第一象限内的抛物线上，是否存在一点 M 作 MN 垂直于 x 轴， 垂足为点 N，使得以 M，O，N 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵y＝2x＋2，∴当 x＝0 时，y＝2，∴B(0，2)，当 y＝0 时，x＝－1，∴A(－1， 0)．∵抛物线 y＝－x2＋bx＋c 过点 B(0，2)，D(3，－4)，∴ 2＝c， －4＝－9＋3b＋c， 解得： b＝1， c＝2， ∴y＝－x2＋x＋2；设直线 BD 的解析式为 y＝kx＋b，由题意，得 b＝2， －4＝3k＋b， 解得： k＝－2， b＝2， ∴直线 BD 的解析式为：y＝－2x＋2 (2)存在．设 M(a，－a2＋a＋2)．∵MN 垂直于 x 轴，∴MN＝－a2＋a＋2，ON＝a，∵y＝－2x＋2，∴y＝0 时，x ＝1，∴C(1，0)，∴OC＝1.∵B(0，2)，∴OB＝2，当△ BOC∽△MNO 时，∴BO MN＝ OC ON，∴ 2 －a2＋a＋2 ＝ 1 a ，解得：a1 ＝1，a2＝－2，M(1，2)或(－2，－4)；当△ BOC∽△ONM 时， BO ON＝ OC MN，∴2 a ＝ 1 －a2＋a＋2 ，∴a＝ 1＋ 33 4 或 1－ 33 4 ， ∴M( 1＋ 33 4 ， 1＋ 33 8 )或( 1－ 33 4 ， 1－ 33 8 )．∵M 在第一象限，∴符合条件的点 M 的坐标为(1，2)，( 1＋ 33 4 ， 1＋ 33 8 )