parent 第二十八章锐角三角函数 28.2.2应用举例 第2课时方向角在解直角三角形中的应用
第二十八章 锐角三角函数 28．2.2 应用举例 第2课时 方向角在解直角三角形中的应用
G分钟分 知识点梳理 parent 北 B 方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角.右图中的目标方向 线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示:北偏东60°,南偏东45°或东南方向 南偏西80°,北偏西30°
方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90°的水平角．右图中的目标方向 线 OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示：_ _60°，_ _45°或_ , _ 80°，_ _30°. 北偏东 南偏东 东南方向 南偏西 北偏西
①0分钟分 知识点训练 parent 知识点(1)有关方向角的 1·(6分)在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到A地的北偏东60°方向 的C处,他先沿正东方向走了200m到达B地’再沿北偏东30°方向走,恰能达目的地C(如 图),那么,由此可知,B,C两地相距200m 东 4北 ,第1题图) ,第2题图) 2.(6分2014十堰)如图,轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上,轮船从A 处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行,1小时后到达码头B处,此时,观 测灯塔C位于北偏西25°方向上,则灯塔C与码头B的距离是24海里.(结果精确到个 位,参考数据:V2≈14,√≈1.7,√6≈24) 3·(6分)王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地,再从B地向正南方向走 200m到C地,此时王英同学离A地(D) A·503mB.100mC·150mD.100√3m
解决有关方向角的问题 1．(6 分)在一次夏令营活动中，小明同学从营地 A 出发，要到 A 地的北偏东 60°方向 的 C 处，他先沿正东方向走了 200 m 到达 B 地，再沿北偏东 30°方向走，恰能达目的地 C(如 图)，那么，由此可知，B，C 两地相距_ _m. ,第 1 题图) ,第 2 题图) 2．(6 分)(2014·十堰)如图，轮船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70°方向上，轮船从 A 处以每小时 20 海里的速度沿南偏西 50°方向匀速航行，1 小时后到达码头 B 处，此时，观 测灯塔 C 位于北偏西 25°方向上，则灯塔 C 与码头 B 的距离是_ _海里．(结果精确到个 位，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 6≈2.4) 3．(6 分)王英同学从 A 地沿北偏西 60°方向走 100 m 到 B 地，再从 B 地向正南方向走 200 m 到 C 地，此时王英同学离 A 地( ) A．50 3 m B．100 m C．150 m D．100 3 m 200 24 D
4(6分2014临沂如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西向 的A处’若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在 C处观测到B在C的北偏东60°方向上,则B,C之间的距离为(C) A·20海里B.103海里C·202海里D.30海里 R100 东 200m 南 ,第3题图) 第4题图) 5.(6分)在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A点出发,要到距离A点1000m的C 地去,先沿北偏东70°方向到达B地,然后再沿北 B 东 偏西20°方向走了500m到达目的地C,此时小霞在营地A的(C A·北偏东20°方向上B·北偏东30°方向上 C·北偏东40°方向上D·北偏西30°方向上
4．(6 分)(2014·临沂)如图，在某监测点 B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西 15°方向 的 A 处，若渔船沿北偏西 75°方向以 40 海里/小时的速度航行，航行半小时后到达 C 处，在 C 处观测到 B 在 C 的北偏东 60°方向上，则 B，C 之间的距离为( ) A．20 海里 B．10 3海里 C．20 2海里 D．30 海里 ,第 3 题图) ,第 4 题图) 5．(6 分)在一次夏令营活动中，小霞同学从营地 A 点出发，要到距离 A 点 1000 m 的 C 地去，先沿北偏东 70°方向到达 B 地，然后再沿北 偏西 20°方向走了 500 m 到达目的地 C，此时小霞在营地 A 的( ) A．北偏东 20°方向上 B．北偏东 30°方向上 C．北偏东 40°方向上 D．北偏西 30°方向上 C C
6·(10分)2014张家界加如图,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速在A 点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变, 航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多 长时间’离渔船C的距离最近?(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值) 东 A B 解:作CD⊥AB,交AB的延长线于D,则当渔政310船航行到D处时,离渔船C的距 离最近,设CD长为x,在Rt△ACD中,∠ACD=60°,tan∠ACD=A CD’∴AD=√3x, 在R△BCD中,∵∠CBD=∠BCD=45°,∴BD=CD=x,∴AB=AD一BD=√3x-x=(3 AB BD 1)x,设渔政船从B航行到D需要t小时,则 051:(3-1)x=,:(√3-1)= 0.5 05,解得:v-1ts3+1 0.5 4
6．(10 分)(2014·张家界)如图，我渔政 310 船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在 A 点观测到我渔船 C 在北偏东 60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政 310 船航向不变， 航行半小时后到达 B 点，观测到我渔船 C 在东北方向上．问：渔政 310 船再按原航向航行多 长时间，离渔船 C 的距离最近？(渔船 C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值) 解：作 CD⊥AB，交 AB 的延长线于 D，则当渔政 310 船航行到 D 处时，离渔船 C 的距 离最近，设 CD 长为 x，在 Rt△ACD 中，∵∠ACD＝60°，tan∠ACD＝ AD CD，∴AD＝ 3x， 在 Rt△BCD 中，∵∠CBD＝∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝x，∴AB＝AD－BD＝ 3x－x＝( 3 －1)x，设渔政船从 B 航行到 D 需要 t 小时，则 AB 0.5＝ BD t ，∴ （ 3－1）x 0.5 ＝ x t ，∴( 3－1)t＝ 0.5，解得：t＝ 0.5 3－1 ，∴t＝ 3＋1 4
0)分钟0分 知点整合测练零 、选择题(共10分) 7·(2014苏州)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4m,某船从港口A出发 沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处’此时从观测站O处测得该船位于北偏东60 的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为(C A·4kmB.2√3km C·22mD.(3+1)kwm 北 北 西十东 B 第7题图) 1东,第8题图) 填空题(共10分) 8·如图,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方 向以40海里/小时的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,2小时后相遇在点P处 问乙货船每小时航行202海里
一、选择题(共 10 分) 7．(2014·苏州)如图，港口 A 在观测站 O 的正东方向，OA＝4 km，某船从港口 A 出发， 沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60° 的方向，则该船航行的距离(即 AB 的长)为( ) A．4 km B．2 3 km C．2 2 km D．( 3＋1) km ,第 7 题图) ,第 8 题图) 二、填空题(共 10 分) 8．如图，在东西方向的海岸线上有 A，B 两个港口，甲货船从 A 港沿北偏东 60°的方 向以 40 海里/小时的速度出发，同时乙货船从 B 港沿西北方向出发，2 小时后相遇在点 P 处， 问乙货船每小时航行_ _海里． C 20 2
三、解答题(共40分) parent 75° N 9·(12分)如图所示,MN表示某引水工程的一段设计路线,从M到N的走向为南偏东 30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,以A为圆心,500m为半径的圆形区域为居民 区,取MN上另一点B,测得BA的方向为南偏东75°,已知MB=400m,通过计算回答 如果不改变方向,输水路线是否会穿过居民区? 解:依题意得:∠AMN=30°,∠ABN=45°,过点A作AC⊥MN于点C,在Rt△ ABC中,an∠ABC=BC,∴BC=AC,由MB=MC=BC,得√3AC一AC=40AC=200y3 +1)≈546>500,∴不改变方向,输水路线不会穿过居民区
三、解答题(共 40 分) 9．(12 分)如图所示，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从 M 到 N 的走向为南偏东 30°，在 M 的南偏东 60°方向上有一点 A，以 A 为圆心，500 m 为半径的圆形区域为居民 区，取 MN 上另一点 B，测得 BA 的方向为南偏东 75°，已知 MB＝ 400 m，通过计算回答， 如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？ 解：依题意得：∠AMN＝30°，∠ABN＝45°，过点 A 作 AC⊥MN 于点 C，在 Rt△ ABC 中，tan∠ABC＝ AC BC，∴BC＝AC，由 MB＝MC－BC，得 3AC－AC＝400，∴AC＝200( 3 ＋1)≈546＞500，∴不改变方向，输水路线不会穿过居民区．
parent 10·(13分)(2014泸州)海中两个灯塔A,B,其中B位于A的正东方向上,渔船跟踪鱼 群由西向东航行’在点C处测得灯塔A在西北方向上,灯塔B在北偏东30°方向上,渔船不 改变航向继续冋东航行30海里到达点D这时测得灯塔A在北偏西60°方向上俅求灯塔A, B间的距离.(计算结果用根号表示,不取近似值) 解:过点A作AF⊥CD,垂足为F,过C作CN垂直CD交AB于点N,则∠FAD=60 ∠FAC=∠FCA=45°,∠BCN=30°,∠ADF=30°,∴AF=FC=AN=NC,设AF=FC AF BN X,∴an30=FD=x+30=3,解得:x=13+1),:tan30 BN NC¨15(√3+1) 3,解得:BN=15+53,AB=AN+BN=153+1)+15+593=30+203,答:灯塔 A,B间的距离为30+203海里
10．(13 分)(2014·泸州)海中两个灯塔 A，B，其中 B 位于 A 的正东方向上，渔船跟踪鱼 群由西向东航行，在点 C 处测得灯塔 A 在西北方向上，灯塔 B 在北偏东 30°方向上，渔船不 改变航向继续向东航行 30 海里到达点 D，这时测得灯塔 A 在北偏西 60°方向上，求灯塔 A， B 间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值) 解：过点 A 作 AF⊥CD，垂足为 F，过 C 作 CN 垂直 CD 交 AB 于点 N，则∠FAD＝60°， ∠FAC＝∠FCA＝45°，∠BCN＝30°，∠ADF＝30°，∴AF＝FC＝AN＝NC，设 AF＝FC ＝x，∴tan30°＝ AF FD＝ x x＋30＝ 3 3 ，解得：x＝15( 3＋1)，∵tan30°＝ BN NC，∴ BN 15（ 3＋1） ＝ 3 3 ，解得：BN＝15＋5 3，∴AB＝AN＋BN＝15( 3＋1)＋15＋5 3＝30＋20 3，答：灯塔 A，B 间的距离为(30＋20 3)海里．
parent 【综合运用】 1·(15分)(2014·黃冈)如图,在南北方向的海岸线MN上,有A,B两艘巡逻船,现均 收到故障船C的求救信号.已知AB两船相距1003+1)海里,船C在船A的北偏东60 方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点D,测得船C正好在观测点D的南 偏东75°方向上 (1)分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD(如果运算结果有根号,请保留根号) (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁.若巡逻船A沿直线AC去营救船C,在去 营救的途中有无触暗礁危险?(参考数据:V2≈141,√3≈173) 解:(1)过C作CE⊥AB,由题意得:∠ABC=45°,∠BAC=60°,设AE=x海里, 在Rt△AEC中,CE= AE tan60=3x:在Rt△BCE中,BE=CE=3x∴AE+BE=x+√5x 100y3+1),解得:x=100AC=2x=20,在△ACD中,∠DAC=60°,∠ADC=75°, 则∠ACD=45°,过点D作DF⊥AC于点F,设AF=y,则DF=CF=√3y,…∴AC=y+√3y 200,解得:y=1003-1),∴AD=2y=2003 (2)由(1)可知,DF=√3AF=√3×1003-1)≈127,∵127>100,所以巡逻船A沿直线 AC航线,在去营救的途中没有触暗礁危险
【综合运用】 11．(15 分)(2014·黄冈)如图，在南北方向的海岸线 MN 上，有 A，B 两艘巡逻船，现均 收到故障船 C 的求救信号．已知 A，B 两船相距 100( 3＋1)海里，船 C 在船 A 的北偏东 60° 方向上，船 C 在船 B 的东南方向上，MN 上有一观测点 D，测得船 C 正好在观测点 D 的南 偏东 75°方向上． (1)分别求出 A 与 C，A 与 D 之间的距离 AC 和 AD(如果运算结果有根号，请保留根号)． (2)已知距观测点 D 处 100 海里范围内有暗礁．若巡逻船 A 沿直线 AC 去营救船 C，在去 营救的途中有无触暗礁危险？(参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73) 解：(1)过 C 作 CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设 AE＝x 海里， 在 Rt△AEC 中，CE＝AE·tan60＝ 3x；在 Rt△BCE 中，BE＝CE＝ 3x.∴AE＋BE＝x＋ 3x ＝100( 3＋1)，解得：x＝100，AC＝2x＝200，在△ ACD 中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°， 则∠ACD＝45°，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，设 AF＝y，则 DF＝CF＝ 3y，∴AC＝y＋ 3y ＝200，解得：y＝100( 3－1)，∴AD＝2y＝200( 3－1) (2)由(1)可知，DF＝ 3AF＝ 3×100( 3－1)≈127，∵127＞100，所以巡逻船 A 沿直线 AC 航线，在去营救的途中没有触暗礁危险