parent 第二十八章锐角三角函数 28.1锐角三角函数 第1课时正弦
第二十八章 锐角三角函数 28．1 锐角三角函数 第1课时 正弦
G分钟分 知识点梳理 parent B 斜边 b邻边C 如图,在R△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边边的比叫做∠A 的正弦,记作SnA,即sinA=
如图，在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，我们把锐角 A 的对边与_ _边的比叫做 ∠ A 的正弦，记作_ _，即 sin A ＝_ _. 斜边 sinA ac
①0分钟分 知识点训练 parent 知识点(1)已知直角三角形的边长,求锐角的正 1·(3分)直角三角形ABC中,若各边的长都扩大到原来的5倍,则∠A的正弦值(C) A·扩大大原来的5倍B.缩小到原来的C·不变D.不能确定 2·(3分)2014贵阳)在R△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,则siA的值为(D) 1212 B 1215 13 D 13 3·(3分)在R△ABC中,∠C=90°,smB4 7·则smA的值是(C) A亏B.亓C D 4·(4分)(2014威海)如图,在下列网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,O都在格 点上,则∠AOB的正弦值是(D) A B D B
已知直角三角形的边长，求锐角的正弦值 1．(3 分)直角三角形 ABC 中，若各边的长都扩大到原来的 5 倍，则∠A 的正弦值( ) A．扩大大原来的 5 倍 B．缩小到原来的1 5 C．不变 D．不能确定 2．(3 分)(2014·贵阳)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则 sinA 的值为( ) A. 5 12 B. 12 5 C. 12 13 D. 5 13 3．(3 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinB＝ 4 7 ，则 sinA 的值是( ) A. 4 7 B. 7 4 C. 33 7 D. 7 33 4．(4 分)(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，O 都在格 点上，则∠AOB 的正弦值是( ) A. 3 10 10 B. 1 2 C. 1 3 D. 10 10 C D C D
parent 5.(4分)如图所示,已知点P的坐标是a,b),则sina等于(D A -B -C- D atb Pla,b) O B a C 6·(8分)如图所示,在R△ABC中,∠ACB=90°a:c=2:3,求siA和sinB的值 解:在R△ABC中,∠ACB=90°,a:c=2:3,设a=2k,c=3k,∴b=Ve-a2=5 a sIn B b15k v5 3k 3’S 3k3
5．(4 分)如图所示，已知点 P 的坐标是(a，b)，则 sinα等于( ) A. a b B. b a C. a a 2 ＋b 2 D. b a 2 ＋b 2 6．(8 分)如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，a∶c＝2∶3，求 sinA 和 sinB 的值． 解：在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，a∶c＝2∶3，设 a＝2k，c＝3k，∴b＝ c 2 －a 2 ＝ 5 k，∴sinA＝ a c ＝ 2k 3k＝ 2 3 ，sinB＝ b c ＝ 5k 3k ＝ 5 3 . D
parent 知识点(2已知锐角的正弦值,求直角三角形的边长 7·(3分)在R△ABC中,∠C=90°,BC=6m43,则AB=(C A·8B.9C.10D.12 8·(4分)(2013扬州)在△ABC中,AB=AC=5,sm∠ABC=08,则BC=_6 9·(8分)如图,在△ABC中,∠C=90°mA=4,BC=2,求AC,AB的长 C 1.BC_1 解:∵sA=4'AB4,∴AB=4BC=4×2=8,∴AC=√AB2-BC2=√82-22=V60
已知锐角的正弦值，求直角三角形的边长 7．(3 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ 3 5 ，则 AB＝( ) A．8 B．9 C．10 D．12 8．(4 分)(2013·扬州)在△ABC 中，AB＝AC＝5，sin∠ABC＝0.8，则 BC＝_ _． 9．(8 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ 1 4 ，BC＝2，求 AC，AB 的长． 解：∵sinA＝ 1 4 ，∴BC AB＝ 1 4 ，∴AB＝4BC＝4×2＝8，∴AC＝ AB2－BC2＝ 82－22＝ 60 ＝2 15. C 6
0)分钟了0自分 知识点整合训练 parent 、选择题(每小题5分,共10分) 10·已知锐角A满足关系式2smn2A-7sinA+3=0,则sinA的值为(A) AB.3C或3D.4 11·如图,已知⊙O的半径为1,锐角△ABC内接于⊙O,BD⊥AC于点D,OM⊥AB 于点M,则sim∠CBD的值等于(A) A·OM的长 B·2OM的长 C·CD的长 D·2CD的长 B
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分) 10．已知锐角 A 满足关系式 2sin2A －7sin A ＋3＝0，则 sin A 的值为( ) A.12 B．3 C.12或 3 D．4 11．如图，已知 ⊙ O 的半径为 1，锐角 △ABC 内接于 ⊙ O，BD ⊥AC 于点 D，OM ⊥AB 于点 M，则 sin ∠CBD 的值等于( ) A．OM 的长 B．2OM 的长 C．CD 的长 D．2CD 的长 A A
parent 二、填空题(每小题5分,共10分) 12·(2013台州)如图,在⊙O中,过直线AB延长线上的点C作⊙O的一条切线,切点 为D,若AC=7,AB=4,则sinC的值为 第12题图) ,第13题图) 13.如图,已知直线l1∥2∥l3∥14,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,那么sima= 、解答题(共40分) 14·(8分)如图,菱形ABCD的边长为10cm,DE⊥AB’m43 5求DE的长和菱形 ABCD的面积 解:∵DE⊥AB,∴∠AED=90°在Rt△AED中,sinA= AD,即DE DE 3 10 解得DE=6,∴菱形ABCD的面积为:10×6 e B 60(cm2)
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分) 12．(2013·台州)如图，在⊙O 中，过直线 AB 延长线上的点 C 作⊙O 的一条切线，切点 为 D，若 AC＝7，AB＝4，则 sinC 的值为_ _． ,第 12 题图) ,第 13 题图) 13．如图，已知直线 l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是 1，如果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，那么 sinα＝_ _． 三、解答题(共 40 分) 14．(8 分)如图，菱形 ABCD 的边长为 10cm，DE⊥AB，sinA＝ 3 5 ，求 DE 的长和菱形 ABCD 的面积． 解：∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°.在 Rt△AED 中，sinA＝ DE AD，即 3 5 ＝ DE 10，解得 DE＝6，∴菱形 ABCD 的面积为：10×6 ＝60(cm2) 2 5 5 5
15·(10分)在R△ABC中,有两条边5,12,求两锐角的正弦值 parent 解:①当5,12为直角边时,则斜边为13两锐角的正弦值分别为313 ②当5为直角边,12为斜边时,则另一直角边为y19,两锐角的正弦值分别为2,y19 12 16·(10分)如图,在矩形ABCD中,点E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为 F,连接DE (1)求证:△ABE≌△DFA; (2)如果AD=10,AB=6,求sm∠EDF的值 解:(1)证明:在矩形ABCD中,BC=AD,AD∥BC,∠B=90°,∴∠DAF=∠AEB, ∵DF⊥AE,AE=BC,∴∠AFD=90°=∠B,AE=AD,∴△ABE≌△DFA (2)由(1)知△ABE≌△DFA,∴AB=DF=6,在Rt△ADF中,AF=AD2-DF2= 102-62=8,∴EF=AE-AF=AD-AF=2,在R△DF中,DE=DF2+EF2=√62+22 EF sin∠EDF DE2√1010
15．(10 分)在 Rt△ABC 中，有两条边 5，12，求两锐角的正弦值． 解：①当 5，12 为直角边时，则斜边为 13.两锐角的正弦值分别为12 13， 5 13. ②当 5 为直角边，12 为斜边时，则另一直角边为 119，两锐角的正弦值分别为 5 12， 119 12 16．(10 分)如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为 F，连接 DE. (1)求证：△ABE≌△DFA； (2)如果 AD＝10，AB＝6，求 sin∠EDF 的值． 解：(1)证明：在矩形 ABCD 中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB， ∵DF⊥AE，AE＝BC，∴∠AFD＝90° ＝∠B，AE＝AD，∴△ABE≌△DFA (2)由(1)知△ ABE≌△DFA， ∴AB＝DF＝6，在 Rt△ADF 中，A F＝ AD2－DF2＝ 102－62＝8，∴EF＝AE－AF＝AD－AF＝2，在 Rt△DFE 中，DE＝ DF2＋EF2＝ 62＋22 ＝2 10，∴sin∠EDF＝ EF DE＝ 2 2 10 ＝ 10 10
【综合迳用】 17·(12分)2014上海)如图,已知R△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中 线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH (1)求simB的值; (2)如果CD=V5,求BE的值 解:(1)∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴CD=BD,∴∠B=∠BCD,∵AE ⊥CD,∴∠CAH+∠ACH=90°,∴∠B=∠CAH,∵AH=2CH,∴由勾股定理得AC=√5 CH,∴CH:AC=1:√5,∴sinB :sm12=5.∴AC:AB=1:5,:cD=5,:AB=25,由匀股定理得AC=2 则CE=1,在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,∴BC=4,∴BE=BC一CE=3
【综合运用】 17．(12 分)(2014·上海)如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中 线，过点 A 作 AE⊥CD，AE 分别与 CD，CB 相交于点 H，E，AH＝2CH. (1)求 sinB 的值； (2)如果 CD＝ 5，求 BE 的值． 解：(1)∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∵AE ⊥CD，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∴∠B＝∠CAH，∵AH＝2CH，∴由勾股定理得 AC＝ 5 CH，∴CH∶AC＝1∶ 5，∴sinB＝ 5 5 (2)∵sinB＝ 5 5 ，∴AC∶AB＝1∶ 5，∵CD＝ 5，∴AB＝2 5，由勾股定理得 AC＝2， 则 CE＝1，在 Rt△ABC 中，AC2＋BC2＝AB2，∴BC＝4，∴BE＝BC－CE＝3