parent 第二十八章锐角三角函数 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数 28．2 解直角三角形及其应用 28．2.1 解直角三角形
G分钟分 知识点梳理 parent 1·由直角三角形中除直角外的已知元素,求出未知元素的过程,叫做解直角三角形,解 直角三角形的依据(∠C=90°) (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理) (2)两锐角之间的关系:_∠A+∠B=90°; (3)边角之间关系:sinA sinB COSA- C COS a tana= , tanB 2·解直角三角形的条件是必须知道除直角外的两个元素且至少有一个是边
1．由直角三角形中除直角外的已知元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形，解 直角三角形的依据 (1)三边之间的关系：_ _(勾股定理)； (2)两锐角之间的关系：_ _； (3)边角之间关系：sinA＝ ；sinB＝ ；cosA＝ ，cosB＝ ； tanA＝_ _，tanB＝_ _． 2．解直角三角形的条件是必须知道除直角外的_ _个元素且至少有一个是_ _． (∠C＝90°)； a 2＋b 2＝c 2 ∠A＋∠B＝90° a c b c b c a c a b b a 两 边
①0分钟分 知识点训练 parent 知识点(1)已知两边解直角三角形 4分)在R△ABC中,∠C=90°,BC=V5,AC=V15,则∠A的度数为(D) A·90°B.60°C.4 D.30 2(4分)在△ABC中,∠C=90°AC=3AB=4欲求∠A的值最适宜的做法是(C) A·计算amnA的值求出 B·计算sinA的值求出 C·计算cosA的值求出 D·计算cOsB的值求出 3·(12分)在R△ABC,∠C=90°,已知BC=12,AC=43,解这个直角三角形 BC 12 解::anA=AC-43 √3,∴∠A=60°,∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°, AB=2AC=8. √3
已知两边解直角三角形 1．(4 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝ 5，AC＝ 15，则∠A 的度数为( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 2．(4 分)在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，欲求∠A 的值，最适宜的做法是( ) A．计算 tanA 的值求出 B．计算 sinA 的值求出 C．计算 cosA 的值求出 D．计算 cosB 的值求出 3．(12 分)在 Rt△ABC，∠C＝90°，已知 BC＝12，AC＝4 3，解这个直角三角形． D C 解： ∵tanA ＝ BC AC ＝ 12 4 3＝ 3，∴∠ A ＝60°，∴∠ B ＝90°－ ∠ A ＝90°－60°＝30°， AB ＝2AC ＝8 3
parent 知识点(2)已知一边一角解直角三 4.(4分如图,在R△ABC中,∠C=90°,AB=6,c08B=2,则BC的长为(A) A·4B.2 C N312 D B C,第4题图) A ,第5题图) 5.(4分)如图,A,B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧 的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90°,∠C=40°,则AB等于(C) A·asin40°米B.acos40°米 C·aan40°米D a 米 tan40 6-(4分)如图,在△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,则AC的长等于(C) 2 B 2 3 C. 6 D.2v6 C B
已知一边一锐角解直角三角形 4．(4 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝ 2 3 ，则 BC 的长为( ) A．4 B．2 5 C. 18 13 13 D. 12 3 13 ,第 4 题图) ,第 5 题图) 5．(4 分)如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧 的河岸边选定一点 C，测出 AC＝a 米，∠A＝90°，∠C＝40°，则 AB 等于( ) A．asin40°米 B．acos40°米 C．atan40°米 D. a tan40° 米 6．(4 分)如图，在△ABC 中，若∠A＝75°，∠C＝45°，AB＝2，则 AC 的长等于( ) A．2 2 B．2 3 C. 6 D. 2 3 6 A C C
parent 易拉罐 245° 图头 <8 cme 7.(4分)如图,在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中,若水杯中的水在点P与易 拉罐刚好接触,则此时水杯中的水深为(C) A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm d. 8 cm A B 8·(4分)如图,在平面直角坐标系中,R△OAB的顶点A的坐标为31),若将△OAB 逆时针旋转60°后,B点到达B后,则B点的坐标是(2,5)
7．(4 分)如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点 P 与易 拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 8．(4 分)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点 A 的坐标为( 3，1)，若将△OAB 逆时针旋转 60°后，B 点到达 B′后，则 B′点的坐标是_ _． C ( 3 2 ， 3 2 )
、选择题(每小题5分,共15分) parent 9·如图所示,AC⊥BC,AD=a,BD=b,∠A=a,∠B=β,则AC=(B A. asin a+bcos bB. acos a +bsin B C. asin a +bsin b D. acos a +bcos B 2m BC,第9题图) B,第10题图) 10.如图,是一楼梯示意图,∠B=30°’高AC=2m.现要在楼梯表面铺一层红色地 毯,至少需要红地毯(C A·4mB.5mC·(2+2V3)mD.7m 1·如图,在等腰R△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若m∠DBA 则AD的长为(A) A·2ByCV2D B 点拨:过点D作DE⊥AB于E,在等腰Rt△ABC中,∠A=45°,AC=BC=6,AB √62+62=62,设DE的长为x,tan∠DBA DE=1,∴EB=5Xx,AE=DE=x,∴AB=6x EB 5 =6V2,x=V2,AD=√2x=2
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分) 9．如图所示，AC⊥BC，AD＝a，BD ＝b，∠ A ＝α，∠ B ＝β，则 AC ＝( ) A．asinα＋bcosβ B．acosα＋bsinβ C．asinα＋bsinβ D．acosα＋bcosβ ,第 9 题图) ,第 10 题图) 10．如图，是一楼梯示意图，∠ B ＝30°，高 AC ＝2 m．现要在楼梯表面铺一层红色地 毯，至少需要红地毯( ) A．4m B．5m C．(2＋2 3)m D．7m 11．如图，在等腰 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，AC ＝6，D 是 AC 上一点，若 tan ∠DBA ＝15， 则 AD 的长为( ) A．2 B. 3 C. 2 D．1 点拨：过点 D 作 DE ⊥AB 于 E，在等腰 Rt △ABC 中，∠ A ＝45°，AC ＝BC ＝6，AB ＝ 62＋62＝6 2，设 DE 的长为 x，tan∠DBA＝ DE EB ＝15 ，∴EB ＝5x，AE ＝DE ＝x，∴AB ＝6x ＝6 2，x＝ 2，AD ＝ 2x＝2. B C A
0)分钟了0自分 知点整合测练零 二、填空题(每小题5分,共15分) 12·将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后,得到△ABC, 则图中阴影部分的面积是6cm 13·长为4m的梯子搭在墙上与地面成45° 作业时调整为60°角(如图),则梯子的 顶端沿墙面升高了2( 4或43 14·在等腰三角形ABC中,∠A=30°,AB=8,则AB边上的高CD的长是 或 CD 点拨:①4D4b如图,AD=DC=4, AD tan30°,∴CD 43 3 C如图,AB=BC=8,∠DBC=60°,DC∠sin60 BC 2,DC=4 CD 如图,AB=AC=4, AC sin30 2,∴CD=4
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 12．将直角边长为 5 cm 的等腰直角△ABC 绕点 A 逆时针旋转 15°后，得到△AB′C′， 则图中阴影部分的面积是_ _cm 2 . 13．长为 4m 的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为 60°角(如图)，则梯子的 顶端沿墙面升高了_ m. 14．在等腰三角形 ABC 中，∠A＝30°，AB＝8，则 AB 边上的高 CD 的长是_ 或 _ ． ③ 如图，AB＝AC＝4， CD AC＝sin30°＝ 1 2 ，∴CD＝4. 25 3 6 2( 3－ 2) 4 或 4 3 4 3 3
parent 三、解答题(共30分) 15(14分)2013丽水)一个长方体木箱沿斜面下滑,当木箱滑至如图位置时AB=3m.已 知木箱高BE=√3m,斜面坡角为30°,求木箱端点E距地面AC的高度EE A∠303 C 解:连接AE,在Rt△ABE中,已知AB=3,BE=3,∴AE=AB2+BE2=2√,又 BE tan∠EAB=AB ,∴∠EAB=30°,在Rt△AEF中,∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°, E=AEsn∠EAF=2N3×in60=2N3x2=3m.答:木箱端点E距地面AC的高度是 3m
三、解答题(共 30 分) 15．(14 分)(2013·丽水)一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3 m．已 知木箱高 BE＝ 3 m，斜面坡角为 30°，求木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF. 解：连接 AE，在 Rt△ABE 中，已知 AB＝3，BE＝ 3，∴AE＝ AB2＋BE2＝2 3，又 ∵tan∠EAB＝ BE AB＝ 3 3 ，∴∠EAB＝30°，在 Rt△AEF 中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°， ∴EF＝AE·sin∠EAF＝2 3×sin60°＝2 3× 3 2 ＝3(m)．答：木箱端点 E 距地面 AC 的高度是 3 m
【综合运用】 parent 16·(16分)已知:如图,在△ABC中,AB=BC,D是AC的中点,BE平分∠ABD交 AC于点E,点O是AB上一点,⊙O过B,E两点,交BD于点G,交AB于点F (1)求证:AC与⊙O相切; (2)当BD=6,mC=时,求⊙O的半径 解:(1)证明:连接OE,∵AB=BC且D是AC的中点,∴DB⊥AC,OE=OB,∴∠ OEB=∠OBE,又∵BE平分∠ABD,∴∠EBO=∠DBE,∴∠OEB=∠EBD,∴OE∥DB ∴OE⊥AC,∴AC为⊙O的切线 DB 3 (2)∵DB=6,snC=BC一s,∴BC=10,∴AB=10,设⊙O的半径为r,则AO=10r, OE ∵∠A=∠C,∴sinA OA10-r5∴r≈1s =4,…∴⊙O的半径为15
【综合运用】 16．(16 分)已知：如图，在△ABC 中，AB＝BC，D 是 AC 的中点，BE 平分∠ABD 交 AC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，⊙O 过 B，E 两点，交 BD 于点 G，交 AB 于点 F. (1)求证：AC 与⊙O 相切； (2)当 BD＝6，sinC＝ 3 5 时，求⊙O 的半径． 解：(1)证明：连接 OE，∵AB＝BC 且 D 是 AC 的中点，∴DB⊥AC，∵OE＝OB，∴∠ OEB＝∠OBE，又∵BE 平分∠ABD，∴∠EBO＝∠DBE，∴∠OEB＝∠EBD，∴OE∥DB， ∴OE⊥AC，∴AC 为⊙O 的切线 (2)∵DB＝6，sinC＝ DB BC＝ 3 5 ，∴BC＝10，∴AB＝10，设⊙O 的半径为 r，则 AO＝10－r， ∵∠A＝∠C，∴sinA＝ OE OA＝ r 10－r ＝ 3 5 ，∴r＝ 15 4 ，∴⊙O 的半径为15 4