parent 第二十六章反比例函数 专题一反比例函数与图形的面积
第二十六章 反比例函数 专题一 反比例函数与图形的面积
G分钟分 知识点梳理 parent 教材母题(教材Pε练习第1题) 已知一个反比例函数的图象经过点A(3,-4 1)这个函数的图象位于哪些象限?在图象的每一支上,y随x的增大如何变化? (2)点B(-3,4),C(-2,6),D(3,4)是否在这个函数的图象上?为什么? 解:(1)因为(3,-4)在第四象限,所以这个函数的图象位于第二、第四象限,在图象的 每一支上,y随x的增大而增大 )设这个反比例函数的解析式为y=k 因为图象经过A(3,-4),所以-4=2,k= 12 ,因为B,C的坐标都满足 ,点D的坐标不满足y=,所以B,C 在函数y=-的图象上,点D不在这个函数的图象上 【规律与方法】反比例函数的几何意义:反比例函数图象上的点(x,y)的 横、纵坐标之积为常数(xy=k),即过双曲线上任意一点,向两坐标轴分别作 垂线,两条垂线与两坐标围成的矩形的面积为常数,即s=k
教材母题 (教材P8练习第1题) 已知一个反比例函数的图象经过点A(3，－4)． (1)这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？ (2)点B(－3，4)，C(－2，6)，D(3，4)是否在这个函数的图象上？为什么？ 解：(1)因为(3，－4)在第四象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限，在图象的 每一支上，y 随 x 的增大而增大． (2)设这个反比例函数的解析式为 y＝ k x ，因为图象经过 A(3，－4)，所以－4＝ k 3 ，k＝－ 12，y＝－ 12 x ，因为 B，C 的坐标都满足 y＝ －12 x ，点 D 的坐标不满足 y＝－ 12 x ，所以 B，C 在函数 y＝－ 12 x 的图象上，点 D 不在这个函数的图象上． 【规律与方法】反比例函数的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)的 横、纵坐标之积为常数(xy＝k)，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴分别作 垂线，两条垂线与两坐标围成的矩形的面积为常数，即s＝|k|
parent 变式1.如图,点A在双曲线y=上,点B在双曲线y=(k≠0)上,AB∥x轴,分别过 点A,B向x轴作垂线,垂足分别为D,C若矩形ABCD的面积是8,则k的值为(A) A·12 B.10 C.8 D.6 E h x 变式2如图,点A是反比例函数y=-(x<0)的图象上的一点,过点A作ABCD,使 点B,C在x轴上,点D在y轴上,则口ABCD的面积为(C) A·1 B.3 C.6 D.12 变式2如图,点A是反比例函数y=-(x<0)的图象上的一点,过点A作ABCD使 点B,C在x轴上,点D在y轴上,则ABCD的面积为(C A·1 B.3 D.12
一、反比例函数与矩形的面积 变式 1.如图，点 A 在双曲线 y＝ 4 x 上，点 B 在双曲线 y＝ k x (k≠0)上，AB∥x 轴，分别过 点 A，B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C.若矩形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 变式 2.如图，点 A 是反比例函数 y＝－ 6 x (x＜0)的图象上的一点，过点 A 作▱ABCD，使 点 B，C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则▱ABCD 的面积为( ) A．1 B．3 C．6 D．12 变式 2.如图，点 A 是反比例函数 y＝－ 6 x (x＜0)的图象上的一点，过点 A 作▱ABCD，使 点 B，C 在 x 轴上，点 D 在 y 轴上，则▱ABCD 的面积为( ) A．1 B．3 C．6 D．12 A C C
变式4(2014温州)如图,矩形ABCD的顶点A在第一象限,AB∥x轴, AD∥y轴,且对角线的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD 的变化过程中,若矩形ABCD的周长始终保持不变,则经过动点A的反比例 函数y=(k≠0)中k的值的变化情况是(C) 直增大B.一直减小C·先增大后减小D.先减小后增大 x 点拨:设矩形ABCD中,AB=2a,AD=2b,∵矩形ABCD的周 长不变,即4a+4b=4(a+b)为定值,∵ab为定值,k=ab,当a+b 为定值时,a=b时,ab最大,∴k的值在边AB从小于AD到大于AD 的变化过程中,先增大后减小
变式 4.(2014·温州)如图，矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限，AB∥x 轴， AD∥y 轴，且对角线的交点与原点 O 重合．在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，若矩形 ABCD 的周长始终保持不变，则经过动点 A 的反比例 函数 y＝ k x (k≠0)中 k 的值的变化情况是( ) A．一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 点拨：设矩形 ABCD 中，AB＝2a，AD＝2b，∵矩形 ABCD 的周 长不变，即 4a＋4b＝4(a＋b)为定值，∵ab 为定值，k＝a·b，当 a＋b 为定值时，a＝b 时，ab 最大，∴k 的值在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中，先增大后减小． C
parent 变式5(2014聊城)如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2 A3,A4,…,An分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y=的图象相交于点 P1,P2,P3,P4,…,Pn作P2B1⊥AP1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,…,PBn-1⊥ An=Pn-1,垂足分别为B1,B2,B3,B4…,Bn-1,连接P1P2,P2P3,P3P4,…, Pn-1Pn,得到一组Rt△PBP2,R△P2B2P3,Rt△P3B3P4,…,Rt△Pn-1Bn-1Pn,则 R△Pn-1Bn-Pn的面积为2n(m y 点拨:设OA1=A1A2=A2A3=…=An-2An-1 a,则Pl(a,),P22a,),P3(3a, ∴Rt△ B B PIBP2的面积为=2xa×( 2 ,Rt△P2B2P3的面积为 B O A1 A2 A3 A4 A5 ×a 22a3a ,∴△Pn-1Bn-1Pn的面积 xa1-1 n 2n(n-1)
变式 5.(2014·聊城)如图，在 x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点 A1，A2， A3，A4，…，An 分别过这些点作 x 轴的垂线与反比例函数 y＝ 1 x 的图象相交于点 P1，P2，P3，P4，…，Pn 作 P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，…，PnBn－1⊥ An－1Pn－1，垂足分别为 B1，B2，B3，B4，…，Bn－1，连接 P1P2，P2P3，P3P4，…， Pn－1Pn，得到一组 Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，…，Rt△Pn－1Bn－1Pn，则 Rt△Pn－1Bn－1Pn 的面积为_ _． 点拨：设 OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An－2An－1 ＝a，则 P1(a， 1 a )，P2(2a， 1 2a)，P3(3a， 1 3a)……∴Rt△ P1B1P2 的面积为＝1 2 ×a×(1 a － 1 2a)，Rt△P2B2P3 的面积为 ＝ 1 2 ×a×( 1 2a－ 1 3a)……，∴△Pn－1Bn－1Pn 的面积＝1 2 ×a×[ 1 （n－1）a － 1 na ]＝ 1 2n（n－1） 1 2n（n－1）
二、反比例函数与三角形的面积 parent 变式6反比例函数y=的图象如图所示,点M是该函数图象上一点,MN垂直于x轴 垂足是点N如果S△MON=2,则k的值为(D A·2 B.-2 C.4 D.-4 x=t x 变式7如图,直线x=tt>0)与反比例函数y=5,y=的图象分别交于B,C两点,A 为y轴上任意一点,则△ABC的面积为(C) A·3 B D.不能确定
二、反比例函数与三角形的面积 变式 6.反比例函数 y＝kx 的图象如图所示，点 M 是该函数图象上一点，MN 垂直于 x 轴， 垂足是点 N.如果 S△MON ＝2，则 k 的值为( ) A．2 B．－2 C．4 D．－4 变式 7.如图，直线 x＝t(t＞0)与反比例函数 y＝2x，y＝ －1x 的图象分别交于 B，C 两点，A 为 y 轴上任意一点，则 △ABC 的面积为( ) A．3 B.32t C.32 D．不能确定 DC
parent 变式8(2014黔东南州)如图,正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A,B 两点,BC⊥x轴于点C,则△ABC的面积为(A) A·1 B.2 le 变式9(2014东营)如图,函数y=x和y=一的图象分别是1和2设点P在 1上,PC⊥x轴,垂足为C,交12于点A,PD⊥y轴,垂足为D,交l2于点B, 则三角形PAB的面积为8 点拨:点P的坐标为(a,),则A(a, B(-3a, S△PAB a 4 (-一)×[a-(-3a) -×4a 8
变式 8.(2014·黔东南州)如图，正比例函数 y＝x 与反比例函数 y＝ 1 x 的图象相交于 A，B 两点，BC⊥x 轴于点 C，则△ABC 的面积为( ) A．1 B．2 C. 3 2 D. 5 2 变式 9.(2014·东营)如图，函数 y＝ 1 x 和 y＝－ 3 x 的图象分别是 l1 和 l2.设点 P 在 l1 上，PC⊥x 轴，垂足为 C，交 l2 于点 A，PD⊥y 轴，垂足为 D，交 l2于点 B， 则三角形 PAB 的面积为_ _． 点拨：点 P 的坐标为(a， 1 a )，则 A(a，－ 3 a )，B(－3a， 1 a )，S△PAB＝ 1 2 ×[ 1 a －(－ 3 a )]×[a－(－3a)]＝ 1 2 × 4 a ×4a＝8. A 8
parent 三、反比例函数与其他几何图形 变式10(2014滨州)如图,菱形OABC的顶点O是原点,顶点B在y轴上,菱形的两条 k 对角线的长分别是6和4反比例函数y=(x<0)的图象经过顶点C,则k的值为_6 y A OEx k 变式11如图,已知函数y=2x和函数y=的图象又,AD点点A作AE⊥x轴 于点E若△AOE的面积为4,P是坐标平面上的点,且以点B,O,E,P为顶点的四边形是 平行四边形,则满足条件的P点坐标是0,-4)或(4,4)或(-4,-4) y 点拨:k=8,y=2x,y=y,A(2,4),B(-2,-4).① 以OB,OE为边,P1(0,-4);②以OB为对角线,P2(-4, P2 4);③以OE为对角线,P3(4,4)
三、反比例函数与其他几何图形 变式 10.(2014·滨州)如图，菱形 OABC 的顶点 O 是原点，顶点 B 在 y 轴上，菱形的两条 对角线的长分别是 6 和 4.反比例函数 y＝ k x (x＜0)的图象经过顶点 C，则 k 的值为_ _. 变式 11.如图，已知函数 y＝2x 和函数 y＝ k x 的图象交于 A，B 两点，过点 A 作 AE⊥x 轴 于点 E.若△AOE 的面积为 4，P 是坐标平面上的点，且以点 B，O，E，P 为顶点的四边形是 平行四边形，则满足条件的 P 点坐标是_ ． 点拨：k＝8，y＝2x，y＝ 8 x ，A(2，4)，B(－2，－4)．① 以 OB，OE 为边，P1(0，－4)；②以 OB 为对角线，P2(－4， －4)；③以 OE 为对角线，P3(4，4)． －6 (0，－4)或(4，4)或(－4，－4)
变式12如图,等边△OAB和等边△AF的一边都在x轴上,双曲线y兰0)经过边OB的中点C和AE的中点D,已知等边△OAB的边长为4 (1)求该双曲线所表示的函数解析式 (2)求等边△AEF的边长 B E a F x AHF x 解:(1)过点C作CG⊥OA于点G,∵OC=2,∠AOB=60°,∴OG=1,∴CG 3,∴C(1,√3),∴k=√3 13 (2)过点D作DH⊥AF于点H,设AH=a,则DH=√3a,∴点D的坐标为(4+a, √a),∴(4+a)·√3a=√3,即a2+4a-1=0,解得:a=√5-2,a2=-√-2(舍 去),∴AD=2AH=25-4,∴等边△AEF的边长是2AD=45-8
变式 12.如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在 x 轴上，双曲线 y＝ k x (k ＞0)经过边 OB 的中点 C 和 AE 的中点 D，已知等边△OAB 的边长为 4. (1)求该双曲线所表示的函数解析式； (2)求等边△AEF 的边长． 解：(1)过点 C 作 CG⊥OA 于点 G，∵OC＝2，∠AOB＝60°，∴OG＝1，∴CG ＝ 3，∴C(1， 3)，∴k＝ 3，∴y＝ 3 x (2)过点 D 作 DH⊥AF 于点 H，设 AH＝a，则 DH＝ 3a，∴点 D 的坐标为(4＋a， 3a)，∴(4＋a)· 3a＝ 3，即 a2＋4a－1＝0，解得：a1＝ 5－2，a2＝－ 5－2(舍 去)，∴AD＝2AH＝2 5－4，∴等边△ AEF 的边长是 2AD＝4 5－8