parent 第二十六章反比例函数 专题二反比例函数与不等式
第二十六章 反比例函数 专题二 反比例函数与不等式
反比例函数的大 parent 教材母题(教材P拓广探索第9题) 已知反比例函数y 的图象的一支位于第一象限 (1)图象的另一支位于哪个象限?常数w的取值范围是什么? (2)在这个函数图象上任取点A(x1y1)和B(y1,y2).如果y1>y2,那么x1与x2有怎样的 大小关系? 解:(1)图象的另一支位于第三象限,w-V2>0,w>y (2)若y1,y2同号,w-2>0,y随x的增大而减小,如果y1>y2,则 x1y2,则y1>0,y2<0,由图象可知x1 2 【规律与方法】(1)利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大 小,也可以利用反比例函数的图象比较大小;(2)根据反比例函数的增减性 可以确定反比例函数系数的符号
教材母题 (教材 P9拓广探索第 9 题) 已知反比例函数 y＝ w－ 2 x 的图象的一支位于第一象限． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数 w 的取值范围是什么？ (2)在这个函数图象上任取点 A(x1，y1 )和 B(y1，y2 )．如果 y1＞y2，那么 x1 与 x2有怎样的 大小关系？ 解：(1)图象的另一支位于第三象限，w－ 2＞0，w＞ 2 (2)若 y1，y2 同号，w－ 2＞0，y 随 x 的增大而减小，如果 y1＞y2，则 x1＜x2；若 y1，y2 异号，如果 y1＞y2，则 y1＞0，y2＜0，由图象可知 x1＞ x2. 【规律与方法】(1)利用反比例函数的增减性可以比较反比例函数值的大 小，也可以利用反比例函数的图象比较大小；(2)根据反比例函数的增减性 可以确定反比例函数系数的符号． 一、比较反比例函数的大小
parent 变式1反比例函数y=图象上的两个点分别为(x,y1),(x2,y2),且x10 D. m<
变式 1.反比例函数 y＝ 2 x 图象上的两个点分别为(x1，y1 )，(x2，y2 )，且 x1＜x2，则下列关 系成立的是( ) A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定 变式 2.已知 A(－1，y1 )，B(2，y2 )两点在双曲线 y＝ 3＋2m x 上，且 y1＞y2，则 m 的取值范 围是( ) A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－3 2 D．m＜－3 2 D D
parent 变式3函数y1=x和y2=的图象如图所示,则y1>y2的x取值范围是(C A·x B·x1D·-11D.x<-2或0<x<1
二、利用函数图象解不等式 变式 3.函数 y1＝x 和 y2＝ 1 x 的图象如图所示，则 y1＞y2 的 x 取值范围是( ) A．x＜－1 或 x＞1 B．x＜－1 或 0＜x＜1 C．－1＜x＜0 或 x＞1 D．－1＜x＜0 或 0＜x＜1 变式 4.(2014·聊城)如图，一次函数 y1＝k1x＋b 的图象和反比例函数 y2＝ k2 x 的图象交于 A(1，2)，B(－2，－1)两点，若 y1＜y2，则 x 的取值范围是( ) A．x＜1 B．x＜－2 C．－2＜x＜0 或 x＞1 D．x＜－2 或 0＜x＜1 C D
e 变式5(2014黔西南州)已知如图,一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象相交于 A,B两点,不等式ax+b>的解集为(B A·x1C·x1D.-30)的图象交于点A(2,3) (1)求k,m的值; (2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量ⅹ的取值范围 解:(1把A(2,3)分别代入y=kx和y=x:2=3,k2,32m=6 (2)x>2
变式 5.(2014·黔西南州)已知如图，一次函数 y＝ax＋b 和反比例函数 y＝ k x 的图象相交于 A，B 两点，不等式 ax＋b＞ k x 的解集为( ) A．x＜－3 B．－3＜x＜0 或 x＞1 C．x＜－3 或 x＞1 D．－3＜x＜1 变式 6.如图，正比例函数 y＝kx(x≥0)与反比例函数 y＝ m x (x＞0)的图象交于点 A(2，3)． (1)求 k，m 的值； (2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量 x 的取值范围． 解：(1)把 A(2，3)分别代入 y＝kx 和 y＝ m x 得：2k＝3，k＝ 3 2 ，3＝ m 2 ，m＝6 B (2)x＞2
变式7(2014南充)如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于 点A(2,5和点B,与y轴相交于点C(0,7 (1)求这两个函数的解析式 (2)当x取何值时,y15时,yl<y2
变式 7.(2014·南充)如图，一次函数 y1＝kx＋b 的图象与反比例函数 y2＝ m x 的图象相交于 点 A(2，5)和点 B，与 y 轴相交于点 C(0，7)． (1)求这两个函数的解析式； (2)当 x 取何值时，y1＜y2? 解：(1)∵反比例函数 y2＝ m x 的图象过点 A(2，5)，∴5＝ m 2 ，m＝10 即反比例函数的解析 式为 y＝ 10 x .∵一次函数 y1＝kx＋b 的图象过 A(2，5)和 C(0，7)，∴5＝2k＋7，k＝－1，即一 次函数解析式为 y＝－x＋7 (2)解方程组 y＝－x＋7 y＝ 10 x 得 x1＝2 y1＝5 或 x2＝5 y2＝2 ，∴另一交点 B 的坐标为(5，2)．根据图象可 知，当 x＜2 或 x＞5 时，y1＜y2
变式8如图,一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A,B两点,与反对函数y 的图象在第二象限的交点为C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2,OD=4,△AOB的面 积为1 (1)求一次函数与反比例函数的解析式 (2)直接写出当ⅹ0的解集 D BO I 解:(1)∵△AOB的面积为1,OB=2,∴OA=1,∴A(0,-1),B(-2,0),又∵OD 4,∴OB=2,易证△CDB≌△AOB,∴DC=1,∴C(-4,1),∴m=-4,把(4,1),( 1=-4k+b k 2,0)代入y=kx+b,得 解得 0=-2k+b 次函数解析式为:y= 1,反 4 比例函数解析式为:y=x (2)x<-4
变式 8.如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与坐标轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数 y ＝ m x 的图象在第二象限的交点为 C，CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB＝2，OD＝4，△AOB 的面 积为 1. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当 x＜0 时，kx＋b－ m x ＞0 的解集． 解：(1)∵△AOB 的面积为 1，OB＝2，∴OA＝1，∴A(0，－1)，B(－2，0)，又∵OD＝ 4，∴OB＝2，易证△ CDB≌△AOB，∴DC＝1，∴C(－4，1)，∴m＝－4，把(－4，1)，(－ 2，0)代入 y＝kx＋b，得 1＝－4k＋b 0＝－2k＋b ，解得 k＝－ 1 2 ， b＝－1， 一次函数解析式为：y＝－ 1 2 x－1，反 比例函数解析式为：y＝ －4 x (2)x＜－4
parent 变式9(2014安顺)如图,点A(m,m+1)B(m+3,m-1)是反比例函数y=x>0)与 次函数y=ax+b的交点 (1)求反比例函数与一次函数的解析式 (2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围 y 解:(1)由题意可知,m(m+1)=(m+3)m-1).解得m=3,∴A(3,4),B(6,2);∴k 2 3a+b=4,|a= =4×3=12,∴y X,∵A点坐标为(3,4),B点坐标为(6,2),∴ 6a+b=2, y (2)根据图象得x的取值范围:06
变式 9.(2014·安顺)如图，点 A(m，m＋1)，B(m＋3，m－1)是反比例函数 y＝ k x (x＞0)与一 次函数 y＝ax＋b 的交点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时 x 的取值范围． 解：(1)由题意可知，m(m＋1)＝(m＋3)(m－1)．解得 m＝3，∴A(3，4)，B(6，2)；∴k ＝4×3＝12，∴y＝ 12 x ，∵A 点坐标为(3，4)，B 点坐标为(6，2)，∴ 3a＋b＝4， 6a＋b＝2， ∴ a＝－ 2 3 ， b＝6， ∴y＝－ 2 3 x＋6 (2)根据图象得 x 的取值范围：0＜x＜3 或 x＞6
变式10已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A,B两点.已 知当x>1时,y1>y2;当0<x<1时,y1≤y2 (1)求一次函数的解析式; (2)已知反比例函数图象在第一象限上有一点C到y轴的距离为3,求△ABC的面积 解:()由题意可知点A的横坐标为1,点A在y2=上,则点A的纵坐标为6,∴A(1, 6),把A(1,6)代入y1=x+m得6=1+m,m=5,∴一次函数的解析式为yl=x+5 (2)∵点C到y轴的距离为3,则点C的横坐标为3,点C在y2=上,则C(3,2),联立 x1=1x2==6 解得1 ∴B(-6,-1),过点C作CD∥x轴交直线AB于D, y=x+5 y1=6 y2 则点D的纵坐标为2,点D在y=x+5上,则D(-3,2),CD=3-(-3)=6,点A到CD 的距离为4,点B到DC的距离为3,S△ABC=S△ADC+S△BDC=26×4+2×6×3=21
变式 10.已知一次函数 y1＝x＋m 的图象与反比例函数 y2＝ 6 x 的图象交于 A，B 两点．已 知当 x＞1 时，y1＞y2；当 0＜x＜1 时，y1＜y2. (1)求一次函数的解析式； (2)已知反比例函数图象在第一象限上有一点 C 到 y 轴的距离为 3，求△ABC 的面积． 解：(1)由题意可知点 A 的横坐标为 1，点 A 在 y2＝ 6 x 上，则点 A 的纵坐标为 6，∴A(1， 6)，把 A(1，6)代入 y1＝x＋m 得 6＝1＋m，m＝5，∴一次函数的解析式为 y1＝x＋5 (2)∵点 C 到 y 轴的距离为 3，则点 C 的横坐标为 3，点 C 在 y2＝ 6 x 上，则 C(3，2)．联立 y＝ 6 x y＝x＋5 ，解得 x1＝1 y1＝6 ， x2＝－6 y2＝－1 ，∴B(－6，－1)，过点 C 作 CD∥x 轴交直线 AB 于 D， 则点 D 的纵坐标为 2，点 D 在 y＝x＋5 上，则 D(－3，2)，CD＝3－(－3)＝6，点 A 到 CD 的距离为 4，点 B 到 DC 的距离为 3，S△ABC＝S△ADC＋S△BDC＝ 1 2 ×6×4＋ 1 2 ×6×3＝21