parent 第二十六章反比例函数 专题三反比例函数与一次函数的综合
第二十六章 反比例函数 专题三 反比例函数与一次函数的综合
parent 教材母题(教材P2拓广探索第10题) 在同一直角坐标系中,若正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=、的图象没有交点 试确定k1k2的取值范围 y=klx 解:联立两函数解析式12,得长=x2,若无解,则1<0,…k1k2<0 【规律与方法】 (1)反比例函数图象与一次函数图象的交点问题,把交点的坐标分别代入两函数 表达式计算即可,注意两函数图象的交点可以利用联立两函数表达式,利用解方 程组的方法来解决 (2)反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件,这些 几何图形的边长常常与某些点的坐标有关
教材母题 (教材 P22 拓广探索第 10 题) 在同一直角坐标系中，若正比例函数 y＝k1x 的图象与反比例函数 y＝ k2 x 的图象没有交点， 试确定 k1k2的取值范围． 解：联立两函数解析式 y＝k1x y＝ k2 x ，得 k2 k1＝x2，若无解，则 k2 k1＜0，∴k1k2＜0. 【规律与方法】 (1)反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，把交点的坐标分别代入两函数 表达式计算即可，注意两函数图象的交点可以利用联立两函数表达式，利用解方 程组的方法来解决． (2)反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件，这些 几何图形的边长常常与某些点的坐标有关．
变式1(2014益阳)正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于(D) A·第一象限B.第二象限C·第三象限D.第一、三象限 变式2(2014咸宁)如图,双曲线y=x与直线y=kx+b交于点M,N,并且点M的坐标 为(1,3),点N的纵坐标为-1,根据图象信息可得关于x的方程=kx+b的解为(A B.-3,3 C·-1,1D.-1,3 变式3.如图,直线y=x+a-5与双曲线y=交于A,B两点,则当线段AB的长度取最 小值时,a的值为(D A·0 B.1 D.5
变式 1.(2014·益阳)正比例函数 y＝6x 的图象与反比例函数 y＝6x 的图象的交点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第一、三象限 变式 2.(2014·咸宁)如图，双曲线 y＝ mx 与直线 y＝kx ＋b 交于点 M，N，并且点 M 的坐标 为(1，3)，点 N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于 x 的方程 mx＝kx ＋b 的解为( ) A．－3，1 B．－3，3 C．－1，1 D．－1，3 变式 3.如图，直线 y＝x＋a－5 与双曲线 y＝4x 交于 A，B 两点，则当线段 AB 的长度取最 小值时，a 的值为( ) A．0 B．1 C．2 D．5 D A D
变式4如图,一次函数y=kx-3的图象与反比例函数y=的图象交A,B调点,其中 y A点坐标为(2,1),则k,m的值为(C A·k=1,m=2 B·k=2, C·k=2,m=2 D·k=1 变式5已知直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则xy2+ x2y1的值为(A) A·-6 B C.0 D.9 变式6如图在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的 图象与一次函数y=kx-k的图象的交点为A(m,2) P2\O PI (1)求一次函数的解析式 (2)设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B,若点P是 x轴上一点,且满足△PAB的面积是4,直接写出P点的坐标 解(1)项物y2米入y与的为ea,则,A点姓的众电为.将A(242入 y=SAAQ得S△Pg+2,解得P时22O则4解解析式为则P点坐标为(3,0),(-1,0)
变式 4.如图，一次函数 y＝kx －3 的图象与反比例函数 y＝ mx 的图象交 A，B 两点，其中 A 点坐标为(2，1)，则 k，m 的值为( ) A．k＝1，m＝2 B．k＝2，m＝1 C．k＝2，m＝2 D．k＝1，m＝1 变式 5.已知直线 y＝kx(k＞0)与双曲线 y＝3x 交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 x1y2＋ x2y1 的值为( ) A．－6 B．－9 C．0 D．9 变式 6.如图在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ＝ 4x(x ＞ 0)的 图象与一次函数 y ＝kx － k 的图象的交点为 A(m，2)． (1)求一次函数的解析式； (2)设一次函数 y＝kx－k 的图象与 y 轴交于点 B，若点 P 是 x 轴上一点，且满足 △PAB 的面积是 4，直接写出 P 点的坐标． 解：(1) 将 A(m，2)代入 y＝4x (x ＞0) 得，m ＝2，则 A 点坐标为 A(2，2)．将 A(2，2)代入 y＝kx－k 得，2k－k＝2，解得 k＝2，则一次函数解析式为 y＝2x－2 (2) ∵一次函数 y＝2x －2 与 x 轴的交点为 C(1，0)，与 y 轴的交点为(0，－2)，S△ABP ＝S△ACP ＋S△BPC，∴12×2CP ＋12 ×2CP ＝4，解得 CP ＝2，则 P 点坐标为(3，0)，(－1，0) C A
变式7(2014遂宁已知:如图,反比例函数yk 的图象与一次函 的图象交于点A(1,4)、点B(-4,n) (1)求一次函数和反比例函数的解析式 (2)求△OAB的面积 A(1,4) (-4,n k 1+b=4,解得k=4,b=3,反比例函数的解析式是y、4数y=x+b,得k=1×4, 解:(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数y 次函数 X x’次函数解析式是 =x+3 (2)如图,当x=-4时,y=-1,B(-4,-1),当y=0时,x+3=0,x= 3,C(-3,0),S△AOB=S△AOC+S△BOC=2×3×4+×3×1
变式 7.(2014·遂宁)已知：如图，反比例函数 y＝ k x 的图象与一次函数 y＝x＋b 的图象交于点 A(1，4)、点 B(－4，n)． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAB 的面积． 解：(1)把 A 点(1，4)分别代入反比例函数 y＝ k x ，一次函数 y＝x＋b，得 k＝1×4， 1＋b＝4，解得 k＝4，b＝3，反比例函数的解析式是 y＝ 4 x ，一次函数解析式是 y ＝x＋3 (2)如图，当 x＝－4 时，y＝－1，B(－4，－1)，当 y＝0 时，x＋3＝0，x＝－ 3，C(－3，0)，S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝ 1 2 ×3×4＋ 1 2 ×3×1＝ 15 2
变式82014成都)如图,一次函数y=kx+为常数,且k≠0)的图象与返死例函数y 的图象交于A(-2,b),B两点 (1)求一次函数的表达式; 2)若将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共 点,求m的值 8 8 解:(1)把A(-2,b)代入y=-得b=-==4,所以A点坐标为(-2,4),把A(-2, 4代入y=kx+5得-2k+5=4,解得k=,所以一次函数解析式为y=x+5 (2)将直线AB向下平移m(m>0)个单位长度得直线解析式为y=x+5-m,根据题意方 8 程组 只有一组解,整理得,x2-(m-5)x+8=0,△=(m-5)2-4××8=0,解 y=2x+5-m 得m=9或m=1,即m的值为1或9
变式 8.(2014·成都)如图，一次函数 y＝kx＋5(k 为常数，且 k≠0)的图象与反比例函数 y ＝－ 8 x 的图象交于 A(－2，b)，B 两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若将直线 AB 向下平移 m(m＞0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共 点，求 m 的值． 解：(1)把 A(－2，b)代入 y＝－ 8 x 得 b＝－ 8 －2 ＝4，所以 A 点坐标为(－2，4)，把 A(－2， 4)代入 y＝kx＋5 得－2k＋5＝4，解得 k＝ 1 2 ，所以一次函数解析式为 y＝ 1 2 x＋5 (2)将直线 AB 向下平移 m(m＞0)个单位长度得直线解析式为 y＝ 1 2 x＋5－m，根据题意方 程组 y＝－ 8 x y＝ 1 2 x＋5－m 只有一组解，整理得1 2 x2－(m－5)x＋8＝0，△＝(m－5)2－4× 1 2 ×8＝0，解 得 m＝9 或 m＝1，即 m 的值为 1 或 9
变式9(2014广东)如图,已知A(-△?B(-1,2)是一次函数y=kx+b与反比例函数 y=(m≠0,m<0)图象的两个交点,AC⊥x轴于C,BD⊥y轴于D (1)根据图象直接回答:在第二象限内,当x取何值时,一次函数大于反比例函数的值? (2)求一次函数解析式及m的值; (3)P是线段AB上的一点,连接PC,PD,若△PCA和△PDB面积相等,求点P坐标 解:(1)由图象可知,当-4<x<-1时,一次函数大于反比例函数的值 (2)y=kx+b,y=kx+b的图象过点(-4,,(-1,2),则4+b=5, 解得 k+b=2, b 25-2 次函数的解析式为y=x+5,反比例函数y=、图象过点(-1,2),m=-1×2=-2 (3)连接PC,PD,如图,设Px,x+).由△PCA和△PDB面积相等得×2×(x+4) 5 2×-1×(2-2x-2),得x=-2,y=2x+2=4,∴P点坐标是(-2,4
变式 9.(2014·广东)如图，已知 A(－4， 1 2 )，B(－1，2)是一次函数 y＝kx＋b 与反比例函数 y＝ m x (m≠0，m＜0)图象的两个交点，AC⊥x 轴于 C，BD⊥y 轴于 D. (1)根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ (2)求一次函数解析式及 m 的值； (3)P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点 P 坐标． 解：(1)由图象可知，当－4＜x＜－1 时，一次函数大于反比例函数的值 (2)y＝kx＋b，y＝kx＋b 的图象过点(－4， 1 2 )，(－1，2)，则 －4k＋b＝ 1 2 ， －k＋b＝2， 解得 k＝ 1 2 ， b＝ 5 2 ， 一次函数的解析式为 y＝ 1 2 x＋ 5 2 ，反比例函数 y＝ m x 图象过点(－1，2)，m＝－1×2＝－2 (3)连接 PC，PD，如图， 设 P(x， 1 2 x＋ 5 2 )．由△ PCA 和△ PDB 面积相等得1 2 × 1 2 ×(x＋4) ＝ 1 2 ×|－1|×(2－ 1 2 x－ 5 2 )，得 x＝－ 5 2 ，y＝ 1 2 x＋ 5 2 ＝ 5 4 ，∴P 点坐标是(－ 5 2 ， 5 4 )．