parent 第二十八章锐角三角函数 28.2.2应用举例 第3课时解与坡度有关的问题
第二十八章 锐角三角函数 28．2.2 应用举例 第3课时 解与坡度有关的问题
G分钟分 知识点梳理 parent 坡面与水平面所成的夹角,叫做坡角.把坡面的铅直高度与水平宽度的 比叫做坡度.若坡面的坡度为i’坡角为α’那么i=tanα.即坡度是坡角 的正切值,当坡角越大,坡度也越大
坡面与_ _所成的夹角，叫做坡角．把坡面的铅直高度与_ _的 比叫做坡度．若坡面的坡度为 i，坡角为 α，那么 i＝_ _．即坡度是坡角 的_ _，当坡角越大，坡度也越_ _． 水平面 水平宽度 tan α 正切值 大
①0分钟分 知识点训练 parent 知识点(1)利用度(角解直角三 1·(4分)(2013·成都)如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的 高BC的长为100米 第1题图) ,第2题图) 2.(4分)(2014凉山州)水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1:3,坝高BC 10m,则坡面AB的长度是(D) A·15mB.203mC.103mD.20m 3·(4分)如图,在坡度为1:2的山坡上种树,要求相邻两棵树的水平距离是6m,则斜 坡上相邻两棵树的坡面距离是(B) A·3mB.35mC.12mD.6m 4·(4分)某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度1=1:√,坝外斜坡的坡度i 1:1,则两个坡角的和为(C) A·90°B.60°C.75°D.105° 乎乎单
利用坡度(角)解直角三角形 1．(4 分)(2013·成都)如图，某山坡的坡面 AB＝200 米，坡角∠BAC＝30°，则该山坡的 高 BC 的长为_ _米． ,第 1 题图) ,第 2 题图) 2．(4 分)(2014·凉山州)拦水坝横断面如图所示，迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，坝高 BC ＝10 m，则坡面 AB 的长度是( ) A．15 m B．20 3 m C．10 3 m D．20 m 3．(4 分)如图，在坡度为 1∶2 的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是 6 m，则斜 坡上相邻两棵树的坡面距离是( ) A．3 m B．3 5 m C．12 m D. 6m 4．(4 分)某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度 i1＝1∶ 3，坝外斜坡的坡度 i2 ＝1∶1，则两个坡角的和为( ) A．90° B．60° C．75° D．105° 100 D B C
5.(4分)有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6m,下底长为10高为25 ,那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是(C) A2,60°B3,30°C√3,60°D￥2,30 6·(4分)(2014衡阳)如图,一河坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽10米,坝高12 米,斜坡AB的坡度i=1:1.5,则坝底AD的长度为(D)a15 A·26米B.28米C.30米D.46米 7·(4分)如图,斜坡AC的坡度(坡比)为1:√3,AC=10米,坡顶有一旗杆BC,旗杆 顶端B点与A点有一条彩带AB相连,AB=14米,则旗杆BC的高度是6米 D,第7题图) 有x ,第8题图) 8.(4分)如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便 残疾人士’拟将台阶改为斜坡’设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C’现设计斜坡BC的 坡度i=1:5,则AC的长度是210cm
5．(4 分)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为 6 m，下底长为 10 m，高为 2 3 m，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是( ) A. 3 3 ，60° B. 3，30° C. 3，60° D. 3 3 ，30° 6．(4 分)(2014·衡阳)如图，一河坝的横断面为等腰梯形 ABCD，坝顶宽 10 米，坝高 12 米，斜坡 AB 的坡度 i＝1∶1.5，则坝底 AD 的长度为( ) A．26 米 B．28 米 C．30 米 D．46 米 7．(4 分)如图，斜坡 AC 的坡度(坡比)为 1∶ 3，AC＝10 米，坡顶有一旗杆 BC，旗杆 顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB＝14 米，则旗杆 BC 的高度是_ _米． ,第 7 题图) ,第 8 题图) 8．(4 分)如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18 cm，深为 30 cm，为方便 残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的 坡度 i＝1∶5，则 AC 的长度是_ _cm. C D 6 210
9·(8分)(2014菜芜)如图,一堤坝的坡角∠ABC=62°,坡面长度AB=25图为横截 面),为了使堤坝更加牢固’一施工队欲改变堤坝的坡面’使得坡面的坡角∠ADB=50°·则 此时应将坝底向外拓宽多少米?(结果保留到0.01米)参考数据:sin62°≈0.88co62°≈047 tan50°≈1.20) D B 解:过点A作AE⊥DC于E,An62°,∴AE= AB sine62°BC0s62°,∴BE AB AB = AB cos62°,在Rt△ADE中 DE= tang°,∴DE=-AE AE AB sin62° tan50° DB=DE一BE tango ABS62-AB(c62°=2308-25×0417658米,答:应将坝底向外拓宽638米
9．(8 分)(2014·莱芜)如图，一堤坝的坡角∠ABC＝62°，坡面长度 AB＝25 米(图为横截 面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角∠ADB＝50°，则 此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01米)(参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47， tan50°≈1.20) 解：过点 A 作 AE⊥DC 于 E， AE AB＝sin62°，∴AE＝AB·sin62°，BE AB＝cos62°，∴BE ＝AB·cos62°，在 Rt△ADE 中， AE DE＝tan50°，∴DE＝ AE tan50° ＝ AB·sin62° tan50° ，DB＝DE－BE ＝ AB·sin62° tan50° －AB·cos62°＝ 25×0.88 1.20 －25×0.47≈6.58(米)，答：应将坝底向外拓宽 6.58 米．
0)分钟了0自分 知识点整合训练 parent 、选择题(共8分) D4 mc B 10·如图,河堤横断面是梯形,上底为4m,堤高为6m’斜坡AD的坡比为1:3,斜 坡BC的坡角为45°,则河堤的横断面积是(A) A·96mB.48m C·192 D.84m 二、填空题(每小题8分,共16分) 11·(2014上海)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1:24,如果它把物体送到离地 面10米高的地方,那么物体所经过的路程为26米 12·某水库大坝某段的横断面是等腰梯形,坝顶宽6米,坝底宽126米,斜坡的坡比为 √3,则此处大坝的城角和高分别是30和203米
一、选择题(共 8 分) 10．如图，河堤横断面是梯形，上底为 4 m，堤高为 6 m，斜坡 AD 的坡比为 1∶3，斜 坡 BC 的坡角为 45 °，则河堤的横断面积是( ) A．96 m 2 B．48 m 2 C．192 m 2 D．84 m 2 二、填空题(每小题 8 分，共 16 分) 11．(2014·上海)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地 面 10 米高的地方，那么物体所经过的路程为_ _米． 12．某水库大坝某段的横断面是等腰梯形，坝顶宽 6 米，坝底宽 126 米，斜坡的坡比为 1∶ 3，则此处大坝的坡角和高分别是_ 和 _． A 26 30° 20 3米
三、解答题(共36分) parent ED C L= 45 A MN 13·(10分)(2013·眉山)如图,某防洪指挥部发现长江边一处长500米,高10米,背水坡 的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调査论证,防洪指挥部专家组 制定的加固方案是:沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3米,加固后背水坡EF的 坡比i=1:√3 (1)求加固后坝底增加的宽度AF;(结果保留根号) (2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号) 解:(1)过E,D作EM⊥BF于M,DN⊥BF于N,则MN=DE=3米,EM=DN=10米, 在Rt△AND中,AN tan45。10米,…;EM1 DN FM √3 ∴FM=103米,∴AF=FM+MN AN=(103-7)米 (DE+AF) DN (2)∵S梯形ADEF= 2 =503-20,∴(50y3-20)×500=2500y3-10 000k3).答:完成这项工程需要土石约2500y3-1000米3
三、解答题(共 36 分) 13．(10 分)(2013·眉山)如图，某防洪指挥部发现长江边一处长 500 米，高 10 米，背水坡 的坡角为 45°的防洪大堤(横断面为梯形 ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组 制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 3 米，加固后背水坡 EF 的 坡比 i＝1∶ 3. (1)求加固后坝底增加的宽度 AF；(结果保留根号) (2)求完成这项工程需要土石多少立方米？(结果保留根号) 解：(1)过 E，D 作 EM⊥BF 于 M，DN⊥BF 于 N，则 MN＝DE＝3 米，EM＝DN＝10 米， 在 Rt△AND 中，AN＝ DN tan45° ＝10 米，∵i＝ EM FM＝ 1 3 ，∴FM＝10 3米，∴AF＝FM＋MN－ AN＝(10 3－7)米 (2)∵S 梯形 ADEF＝ （DE＋AF）DN 2 ＝50 3－20，∴(50 3－20)×500＝25 000 3－10 000(米 3)．答：完成这项工程需要土石约 25 000 3－10 000 米 3
14·(12分)如图所示,某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60◎,沿山坡 向上走到P处又测得点C的仰角为45°已知OA=100m,山坡坡度为则 tanZPAB, 且O,A,B在同一条直线上,求电视塔OC的高度以及此人所在的位置点P的铅直高度.(测 倾器的高度忽略不计,结果保留根号形式) 山坡 45 水平地面 解:作PE⊥OC于点E,PF⊥OB于点F,tan∠PAB2PF_1 AF=2,设P为x,则AF 2x,OE=x,∴CE=103x,PE=OF=100+2x,在Rt△PEC中,由∠CPE=45°,∴ CE=E,∴1003-x=100+2x,解得x 100(y3-1) 3 ∴电视塔OC的高度是10y3(m), 此人所在的铅直高度为 100(3
14．(12 分)如图所示，某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 的仰角为 60°，沿山坡 向上走到 P 处又测得点 C 的仰角为 45°，已知 OA＝100 m，山坡坡度为1 2 ，则 tan∠PAB＝ 1 2 ， 且 O，A，B 在同一条直线上，求电视塔 OC 的高度以及此人所在的位置点 P 的铅直高度．(测 倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式) 解：作 PE⊥OC 于点 E，PF⊥OB 于点 F，tan∠PAB＝ 1 2 ，即 PF AF＝ 1 2 ，设 PF 为 x，则 AF ＝2x，OE＝x，∴CE＝100 3－x，PE＝OF＝100＋2x，在 Rt△PEC 中，由∠CPE＝45°，∴ CE＝EP，∴100 3－x＝100＋2x，解得 x＝ 100（ 3－1） 3 ，∴电视塔 OC 的高度是 100 3(m)， 此人所在的铅直高度为100（ 3－1） 3 (m)
parent 【综合用】 15·(14分)如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们 在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方 向走到台阶下的点C处,测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2米,台阶 AC的坡度为1:√3(即AB:BC=1:√3),且B,C,E三点在同一条直线上,请根据以上条 件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计) 解:过点A作AF⊥DE于点F,则四边形ABEF为矩形,∴AF=BE,EF=AB=2设 DE DE AB 1 DE=x米,在Rt△CDE中,CE= x,在Rt△ABC中,∵ tan∠ DCE tan60 BC AB=2,∴BC=2√3,在Rt△AFD中,DF=DE一EF=x-2,∵:AF=BE=BC+CE,∴3(x )=2V3 解得x=6,答:树DE的高度为6米
【综合运用】 15．(14 分)如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树 DE 的高度，他们 在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点 A 处测得树顶端 D 的仰角为 30°，朝着这棵树的方 向走到台阶下的点 C 处，测得树顶端 D 的仰角为 60°，已知 A 点的高度 AB 为 2 米，台阶 AC 的坡度为 1∶ 3(即 AB∶BC＝1∶ 3)，且 B，C，E 三点在同一条直线上，请根据以上条 件求出树 DE 的高度．(测倾器的高度忽略不计) 解：过点 A 作 AF⊥DE 于点 F，则四边形 ABEF 为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2.设 DE＝x 米，在 Rt△CDE 中，CE＝ DE tan∠DCE＝ DE tan60° ＝ 3 3 x，在 Rt△ABC 中，∵AB BC＝ 1 3 ， AB＝2，∴BC＝2 3，在 Rt△AFD 中，DF＝DE－EF＝x－2，∵AF＝BE＝BC＋CE，∴ 3(x －2)＝2 3＋ 3 3 x，解得 x＝6，答：树 DE 的高度为 6 米．