parent 第二十七章图形的相似 27.2.4相似三角形的性质
第二十七章 图形的相似 27．2.4相似三角形的性质
G分钟分 知识点梳理 parent 1·相似三角形对应线段的比等于相似比: ①相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都 等于相似比; ②相似三角形的周长比等于相似比 2·相似三角形面积的比等于相似比的平分
1．相似三角形对应线段的比等于相似比： ①相似三角形对应_ _的比，对应_ _的比与对应_ _的比都 等于相似比； ②相似三角形的周长比等于_ ． 2．相似三角形面积的比等于_ _． 高 中线 角平分线 相似比 相似比的平分
①0分钟分 知识点训练 parent 知识点(1)相似三角形对应线段的比等于相似比 4分)如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为3:4,AD,A′D′分别 是边BC,B′C′上的中线,则AD:A′D′ 4 A B D C B′D′C 2.(4分)若△ABC∽△ ABC!,AB=16cm,A′B′=4cm,AD平分∠BAC A′D′平分∠BAC,A′D′=3cm,则AD=12cm 3·(4分)如图,光源P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影子为CD,AB ∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是27m,则AB与CD间的距离 是 1.8 B
相似三角形对应线段的比等于相似比 1．(4 分)如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为 3∶4，AD，A′D′分别 是边 BC，B′C′上的中线，则 AD∶A′D′＝ . 2．(4 分)若△ABC∽△A′B′C′，AB＝16 cm，A′B′＝4 cm，AD 平分∠BAC， A′D′平分∠B′A′C′，A′D′＝3 cm，则 AD＝_ _ cm. 3．(4 分)如图，光源 P 在横杆 AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为 CD，AB ∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点 P 到 CD 的距离是 2.7 m，则 AB 与 CD 间的距离 是_ m. 3∶4 12 1.8
parent 知识点(2)相 4·(4分)若△ABC的周长为20cm,点D,E,F分别是△ABC三边的中点, 则△DEF的周长为(B) 20 A. 5 cm B. 10 cm C. 15 cm D- cm 5·(4分)如图,在R△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点 D,则△BCD与△ABC的周长之比为1:2 B A 6·(4分)一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6,和它相似的另一个多边 形的最长边为24,则较大多边形的周长为80
相似三角形周长的比等于相似比 4．(4 分)若△ABC 的周长为 20 cm，点 D，E，F 分别是△ABC 三边的中点， 则△DEF 的周长为( ) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D. 20 3 cm 5．(4 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB 于点 D，则△BCD 与△ABC 的周长之比为_ _． 6．(4 分)一个多边形的边长分别为 2，3，4，5，6，和它相似的另一个多边 形的最长边为 24，则较大多边形的周长为_ _． B 1∶2 80
parent 知识点(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方 7·(4分)(2014随州)如图,在△ABC中,两条中线BE, CD相交于点O,则S△DoE:S△COB=(A A·1:4B.2:3C.1:3D.1:2 8.(4分)(2014雅安)在平行四边形ABCD中,点E在 AD上,且AE:ED=3:1,CE的延长线与BA的延长线交 于点F,则S△AF:S 四边形ABCE 为(D) A·3:4B.4:3C.7:9D.9:7 9·(8分)如图所示,在ABCD中,E是BC上一点,AE 交BD于F已知BE:FC=3:1,S△FBE=18cm2,求ABCD 的面积 AD 解:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴△AFD∽△EB,…BE AF BE EF,又∵BE:EC=3:1,∴BE:BC=3:4,即AD q,.S△ AFD AD S△BEF=(BE2=(32,∴S S△ ABF AE4 △AFD=。×18=32,s△BEFF3,∴S△ABF=×18=24,∴S△ABD=S△ABF+S△ AFD=32+24=56, SPABCD=2S△ABD=2×56=112
相似三角形面积的比等于相似比的平方 7．(4 分)(2014·随州)如图，在△ABC 中，两条中线 BE， CD 相交于点 O，则 S△DOE∶S△COB＝( ) A．1∶4 B．2∶3 C．1∶3 D．1∶2 8．(4 分)(2014·雅安)在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，且 AE∶ED＝3∶1，CE 的延长线与 BA 的延长线交 于点 F，则 S△AFE∶S 四边形 ABCE 为( ) A．3∶4 B．4∶3 C．7∶9 D．9∶7 9．(8 分)如图所示，在▱ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 交 BD 于 F.已知 BE∶EC＝3∶1，S△FBE＝18 cm 2 ，求▱ABCD 的面积． 解：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴△AFD∽△EFB，∴AD BE ＝ AF EF，又∵BE∶EC＝3∶1，∴BE∶BC＝3∶4，即 BE AD＝ 3 4 ，∴ S△AFD S△BEF＝( AD BE)2＝( 4 3 )2，∴S △AFD＝ 16 9 ×18＝32， S△ABF S△BEF＝ AE EF＝ 4 3 ，∴S△ABF＝ 4 3 ×18＝24，∴S△ABD＝S△ABF＋S△ AFD＝32＋24＝56，S▱ABCD＝2S△ABD＝2×56＝112. A D
0)分钟0分 知识点整合训练 parent 、选择题(每小题8分,共16分) 10·(2014宁波)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACD=90°,AB=2,DC= 3,则△ABC与△DCA的面积比为(C A·2:3 B.2:5 C.4:9 D 11.如图,△ABC是等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等份,则 图中阴影部分的面积是△ABC的面积的(C) 4 、填空题(每小题8分,共16分) 12·如图,把△PQR沿着PQ的方向平移到△PQR的位置,它们重叠部分的面积是 △PQR面积的一半,若PQ=2,则此三角形移动的距离是PP是 QQ
一、选择题(每小题 8 分，共 16 分) 10．(2014·宁波)如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝ 3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( ) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D. 2∶ 3 11．如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截，AB 被截成三等份，则 图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的( ) A. 1 9 B. 2 9 C. 1 3 D. 4 9 二、填空题(每小题 8 分，共 16 分) 12．如图，把△PQR 沿着 PQ 的方向平移到△P′Q′R′的位置，它们重叠部分的面积是 △PQR 面积的一半，若 PQ＝ 2，则此三角形移动的距离是 PP′是_ _. C C 2－1
13.如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC俞客边 所形成的三个小三角形△12△22△3(图中阴影部分)的面积分别是49和49则△ABC 的面积是_144 点拨:由S△1:S△2:S△3=4:9:49,知△1的边长:△2的 边长:△3的边长=2:3:7因此△ABC的边长:△1的边长= 12:2,所以△ABC的面积为144 三、解答题(共28分) 14·(13分)如图,是一个照相机成像的示意图 (1)如果像高MN是35m,焦距LC是50mm,拍摄的景物高度AB是49m,拍摄点离 景物即LD有多远? (2)如果要完整的拍摄高度是2m的景物,拍摄点离景物有4m,像高不变,则相机的焦 距LC应调整为多少?解:根据物体成像原理知:△LMN∽△LBA, MN LC AB LD MN LC 354.9 (1)∵由题意得MN=35mm,LC=50mm,AB=49m,ABLD’50LD,解得LD =7即拍摄点距离景物(即LD7米 MN LC (2)∵由题意得AB=2m,LD=4m,MN=35mm,AB=DD,…2=4,解得LC=70 即相机的焦距应调整为70mm
13．如图，点 M 是△ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各边， 所形成的三个小三角形△1，△2，△3 (图中阴影部分)的面积分别是4，9和 49，则△ABC 的面积是_ _． 点拨：由 S△1∶S△2∶S△3＝4∶9∶49，知△ 1 的边长∶△2 的 边 长∶△3 的边长＝2∶3∶7.因 此△ ABC 的边长∶△1 的边长＝ 12∶2，所以△ ABC 的面积为 144. 三、解答题(共 28 分) 14．(13 分)如图，是一个照相机成像的示意图． (1)如果像高 MN 是 35 mm，焦距 LC 是 50 mm，拍摄的景物高度 AB 是 4.9 m，拍摄点离 景物(即 LD)有多远？ (2)如果要完整的拍摄高度是 2 m 的景物，拍摄点离景物有 4 m，像高不变，则相机的焦 距 LC 应调整为多少？ 解：根据物体成像原理知：△ LMN∽△LBA，∴MN AB ＝ LC LD (1)∵由题意得 MN＝35 mm，LC＝50 mm，AB＝4.9 m， MN AB＝ LC LD，∴35 50＝ 4.9 LD，解得 LD ＝7.即拍摄点距离景物(即 LD)7 米 (2)∵由题意得 AB＝2 m，LD＝4 m，MN＝35 mm， MN AB＝ LC LD，∴35 2 ＝ LC 4 ，解得 LC＝70. 即相机的焦距应调整为 70 mm. 144
【综合运用】 parent 15·(15分)(2014绍兴课本中有一道作业题:有一块三角形余料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=80mm要把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分 别在AR,AC},问加千成的正方形零件的边长是多少mm B C Q D M Q D M 图2 小颖解得此题的答案为48mm,小颖善于反思’她又提出了如下的问题 (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形,且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成 如图1,此时,这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm?请你计算 (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形,如图2,这样,此矩形零件的两条边长就 不能确定’但这个矩形面积有最大值’求达到这个最大值时矩形零件的两条边长 解:(1)设矩形的边长PN=2ym,则pQ=ymm,由条件可得△APNO△ABC,∴PN BO AD,即22=802,解得y=20,pPN=202=48(m (2)设PN=xmm,由条件可得△APN∽△ABC,PNAE 80-PQ BC AD'120 80 解得PQ 803:s=PNPQ=×803-32+80×=-3×-602+2406的最大值为2400 2 mm2,此时PN=60mm,PQ=80-5×60=40mm)
【综合运用】 15．(15 分)(2014·绍兴)课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC，它的边 BC＝120 mm，高 AD＝80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分 别在 AB，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少 mm? 小颖解得此题的答案为 48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题． (1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成， 如图 1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少 mm？请你计算． (2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图 2，这样，此矩形零件的两条边长就 不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 解：(1)设矩形的边长 PN＝2y mm，则 PQ＝y mm，由条件可得△ APN∽△ABC，∴PN BC ＝ AE AD，即 2y 120＝ 80－y 80 ，解得 y＝ 240 7 ，PN＝ 240 7 ×2＝ 480 7 (mm) (2)设 PN＝x mm，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC＝ AE AD，即 x 120＝ 80－PQ 80 ，解得 PQ ＝80－ 2 3 x.∴S＝PN·PQ＝x(80－ 2 3 x)＝－ 2 3 x2＋80x＝－ 2 3 (x－60)2＋2 400，∴S 的最大值为 2 400 mm2，此时 PN＝60 mm，PQ＝80－ 2 3 ×60＝40(mm)．