parent 第二十七章图形的相似 27.2相似三角形 第3课时由两角判定三角形相似
第二十七章 图形的相似 27．2 相似三角形 第3课时 由两角判定三角形相似
G分钟分 知识点梳理 parent 1·两角分别相等的两个三角形相似 2如果两个直角三角形斜边和一条直角边成比例.那么这两个三角形相似
1．两角分别_ _的两个三角形相似． 2．如果两个直角三角形斜边和一条直角边_ _．那么这两个三角形相似． 相等 成比例
①0分钟分 知识点训练 parent 知识点(1)两角分别相等的两个三角形相似 (4分)下列各组图形中有可能不相似的是(A A·各有一个角是45°的两个等腰三角形B·各有一个角是60°的两个等腰三角形 C·各有一个角是105°的两个等腰三角形D·两个等腰直角三角形 2.(4分)如图,D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且∠1=∠2=∠B,则图中相似 角形有(C A·1对B.2对C.3对D.4对 E 3.(4分)如图,要使△ACD∽△ABC,只需添加条件∠2=∠ACB或∠1=∠B或AC2=ADAB
两角分别相等的两个三角形相似 1．(4 分)下列各组图形中有可能不相似的是( ) A．各有一个角是 45°的两个等腰三角形 B．各有一个角是 60°的两个等腰三角形 C．各有一个角是 105°的两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形 2．(4 分)如图，D，E 分别在△ABC 的边 AB，AC 上，且∠1＝∠2＝∠B，则图中相似 三角形有( ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 3．(4 分)如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件_ _. A C ∠2＝∠ACB 或∠1＝∠B 或 AC2＝AD·AB
e 4·(8分)2014永州)如图,D是△ABC的边AC上的一点,连接BD,已知 ∠ABD=∠C,AB=6,AD=4,求线段CD的长 C 解:在△ABD和△ACB中,∠ABD=∠C,∠A=∠A,∴△ABD∽△ACB, AB AD AB236 AC=AB,AB=6,AD=4,∴AC=AD49,则CD=AC-AD=9-4
4．(8 分)(2014·永州)如图，D 是△ABC 的边 AC 上的一点，连接 BD，已知 ∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段 CD 的长． 解：在△ ABD 和△ ACB 中，∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB， ∴ AB AC＝ AD AB，∵AB＝6，AD＝4，∴AC＝ AB2 AD ＝ 36 4 ＝9，则 CD＝AC－AD＝9－4 ＝5
parent 知识点(2)角三角形相的判定 5·(4分)如图,在R△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,DE⊥AC于点E,则 图中与△ABC相似的三角形有() A·1个B.2个C.3个D.4个 Il F 6.(4分)如图,矩形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且∠BEF=90°,则三角 形Ⅰ,ⅡI,Ⅲ,Ⅳ中一定相似的是(A) A·Ⅰ和ⅢB.Ⅲ和Ⅳ Ⅰ和ⅣD.Ⅱ和Ⅳ 7·(4分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,点E是AD的中点,CF⊥BE于点F 则CF=24
直角三角形相似的判定 5．(4 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点 D，DE⊥AC 于点 E，则 图中与△ABC 相似的三角形有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．(4 分)如图，矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，CD 上，且∠BEF＝90°，则三角 形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中一定相似的是( ) A．Ⅰ和Ⅲ B．Ⅲ和Ⅳ C．Ⅰ和Ⅳ D．Ⅱ和Ⅳ 7．(4 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，点 E 是 AD 的中点，CF⊥BE 于点 F， 则 CF＝_ _. D A 2.4
0)分钟了0自分 知识点整合训练 parent 、选择题(每小题6分,共12分) 9·下列各组条件,不能判定△ABC与△ABC相似的是(C) A·∠A=∠A,∠B=∠B′ B·∠C=∠C=90°,∠A=12°,∠B′=78° C·∠A=∠B,∠B′=∠A′D·∠A+∠B=∠A+∠B',∠A-∠B=∠A-∠B 10·(2014毕节)如图,△ABC中,AE交BC于点D,∠C=∠E,AD:DE=3:5,AE 8,BD=4,则DC的长等于(A 17 B 二、填空题(每小题6分,共6分) 11·如图,等边△ABC的边长为3P为BC上一点,且BP=1为AC上一点,若∠APD 60°,则CD的长为与一
一、选择题(每小题 6 分，共 12 分) 9．下列各组条件，不能判定△ABC 与 △A′B′C′相似的是( ) A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝12°，∠ B′＝78° C．∠A＝∠B，∠B′＝∠A′ D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－ ∠B′ 10．(2014·毕节)如图，△ABC 中，AE 交 BC 于点 D，∠ C ＝ ∠E，AD∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则 DC 的长等于( ) A. 154 B. 125 C. 203 D. 174 二、填空题(每小题 6 分，共 6 分) 11．如图，等边 △ABC 的边长为 3，P 为 BC 上一点，且 BP ＝1，D 为 AC 上一点，若 ∠APD ＝60°，则 CD 的长为_ _． C A 23
8·(8分)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=12,点E在边AD上,且AE=8,EF BE交CD于F (1)求证:△ABE∽△DEF (2)求EF的长 FC B 解:(1)证明:∵EF⊥BE,∴∠FEB=90°,∴∠DEF+∠AEB=90°,在矩形ABCD 中,∠A=90°,∠D=90°,∴∠AEB+∠ABE=90°,∴∠DEF=∠ABE,又∵∠A=∠ D=90°,∴△ABE∽△DEF (2)在△ABE中,∠A=90°,AB=6,AE=8,∴BE=√AB2+AE2=√62+82=10, DE=AD-AE=12-8=4,△ABE∽△DEF,·EFDE,∴EF、BEDE_10×420 BE AB AB
8．(8 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝12，点 E 在边 AD 上，且 AE＝8，EF ⊥BE 交 CD 于 F. (1)求证：△ABE∽△DEF； (2)求 EF 的长． 解：(1)证明：∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF＋∠AEB＝90°，在矩形 ABCD 中，∠A＝90°，∠D＝90°，∴∠AEB＋∠ABE＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，又∵∠A＝∠ D＝90°，∴△ABE∽△DEF (2)在△ ABE 中，∠A＝90°，AB＝6，AE＝8，∴BE＝ AB2＋AE2＝ 62＋82＝10，∵ DE＝AD－AE＝12－8＝4，△ABE∽△DEF，∴BE EF＝ AB DE，∴EF＝ BE·DE AB ＝ 10×4 6 ＝ 20 3
parent 三、解答题(共42分) 12·(10分)如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径作半圆 ⊙O,交AC于点D,连接DB,过点D作DE⊥BC,垂足为E (1)求证:DE为⊙O的切线 (2)求证:DB2=ABBE B (1)证明:连接OD,AB为直径,∴∠ADB=90°,又∵BA=BC,∴∠CBD=∠ABD, 又∵DO=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠ODB=∠CBD,∴OD∥BC,又∵DE⊥BC,∴∠ DEB=90°,∴∠EDO=90°,∴DE为⊙O的切线 DB EB (2)∵∠CDB=∠DEB=90°,∠EBD=∠CBD,∴△DEB∽△CDB,·CBDB,∴DB2 =CBBE,又∵AB=BC,∴DB2=ABBE A 13·(10分)如图,△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,A 是⊙O的直径,试证明:ABAC=ADAE 证明:连接BE,∵AE为⊙O的直径,∴∠ABE=90°,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°, ∴∠ABE=∠ADC,又∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC AB AE ADAC’·AB·AC=ADAE
三、解答题(共 42 分) 12．(10 分)如图，在△ABC 中，BA＝BC，以 AB 为直径作半圆 ⊙O，交 AC 于点 D，连接 DB，过点 D 作 DE⊥BC，垂足为 E. (1)求证：DE 为⊙O 的切线； (2)求证：DB2 ＝AB·BE. (1)证明：连接 OD，∵AB 为直径，∴∠ADB＝90°，又∵BA＝BC，∴∠CBD＝∠ABD， 又∵DO＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，又∵DE⊥BC，∴∠ DEB＝90°，∴∠EDO＝90°，∴DE 为⊙O 的切线 (2)∵∠CDB＝∠DEB＝90°，∠EBD＝∠CBD，∴△DEB∽△CDB，∴ DB CB＝ EB DB，∴DB2 ＝CB·BE，又∵AB＝BC，∴DB2＝AB·BE 13．(10 分)如图，△ABC 内接于⊙O，AD⊥BC 于点 D，AE 是⊙O 的直径，试证明：AB·AC＝AD·AE. 证明：连接 BE，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∴∠ABE＝∠ADC，又∠E＝∠C，∴△ABE∽△ADC，∴AB AD＝ AE AC，∴AB·AC＝AD·AE
14·(10分)如图,∠ACB=90°,四边形DEFG为正方形,且四个顶点D G在 三角形ACB的边上.求证:FG2=AGBF E ∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,又∵四边形DEFG为正方形,∴DE=EF=FG= DG,∠EFB=∠DGA=90°,∴∠B+∠BEF=90°,∴∠A=∠BEF,∴△ADG∽△EBF, ∴DG·EF=BFAG,∴GF2=BF·AG
14．(10 分)如图，∠ACB＝90° ，四边形 DEFG 为正方形，且四个顶点 D，E，F，G 在 三角形 ACB 的边上．求证：FG2 ＝AG·BF. ∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，又∵四边形 DEFG 为正方形，∴DE＝EF＝FG＝ DG，∠EFB＝∠DGA＝90°，∴∠B＋∠BEF＝90°，∴∠A＝∠BEF，∴△ADG∽△EBF， ∴DG·EF＝BF·AG，∴GF2＝BF·AG
【综合运用】 parent 15·(12分)如图,AC是⊙O的直径,AC=10cm,PA,PB是⊙O的切线 A,B为切点,过A作AD⊥BP,交BP于点D,连接AB,BC (1)求证:△ABC∽△ADB; (2)若切线AP的长为12cm,求弦AB的长 B (1)证明:∵PB为⊙O的切线,∴∠ABP=∠C,又∵∠ABC=∠ADB=90°,∴△ABC ∽△ADB (2)连接PO,∵PA,PB为⊙O的切线,∴PO⊥AB,CA⊥AP,又:CB⊥AB,∴OP∥ AP AO 2AC BC,∴∠POA=∠C,∴△ABC∽△PAO,∴ 125 AB BCBC AB BC, 12BC=5AB, BC=1AB,又∵AB2+BC2=AC2,∴AB2+(15AB)2=102,∴AB cm
【综合运用】 15．(12 分)如图，AC 是⊙O 的直径，AC＝10 cm，PA，PB 是⊙O 的切线， A，B 为切点，过 A 作 AD⊥BP，交 BP 于点 D，连接 AB，BC. (1)求证：△ABC∽△ADB； (2)若切线 AP 的长为 12 cm，求弦 AB 的长． (1)证明：∵PB 为⊙O 的切线，∴∠ABP＝∠C，又∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∴△ABC ∽△ADB (2)连接 PO，∵PA，PB 为⊙O 的切线，∴PO⊥AB，CA⊥AP，又∵CB⊥AB，∴OP∥ BC，∴∠POA＝∠C，∴△ABC∽△PAO，∴AP AB＝ AO BC＝ 1 2 AC BC ，∴ 12 AB＝ 5 BC，12BC＝5AB， BC＝ 5 12AB，又∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋( 5 12AB)2＝102，∴AB＝ 120 13 cm