免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 垂直于弦的直径 曾教学目标 【知识与技能】 通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性 2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题 【过程与方法】 通过探索垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法 【情感态度】 1.结合本课特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透 2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】 垂径定理及其推论,会运用垂径定理等结论解决一些有关证明,计算和作图问题 【教学难点】 垂径定理及其推论 教学过程 、情境导入,初步认识 你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧 的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中心 点到弦的距离)为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗?。(图:课本第82页图24.1-7) 【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系,了解我国古代人民的勤劳 与智慧,要解决此问题需要用到这节课的知识,这样较好地调动了学生的积极性,开启 了学生的思维,成功地引入新课 二、思考探究,获取新知 1.圆的轴对称性 问题1用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此 你能得到什么结论? 【教学说明】学生通过自己动手操作,归纳出圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线 都是它的对称轴 2.垂径定理及其推论 问题2请同学们完成下列问题 如右图,AB是⊙0的一条弦,作直径CD.使CD⊥AB,垂足为E (1)右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么呢? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说说理由 【教学说明】问题(1)是对圆的轴对称性这一结论的复习与应用,也是为问题(2)作 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠! 淘宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 垂直于弦的直径 【知识与技能】 1.通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性. 2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题. 【过程与方法】 通过探索垂径定理及其推论的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 【情感态度】 1.结合本课特点,向学生进行爱国主义教育和美育 渗透. 2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望. 【教学重点】 垂径定理及其推论,会运用垂径定理等结论解决一些有关证明,计算和作图问题. 【教学难点】 垂径定理及其推论. 一、情境导入,初步认识 你知道赵州桥吗?它是 1300 多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧 的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m,拱高(弧的中心 点到弦的距离)为 7.2m.你能求出主桥拱的半径吗?(图:课本第 82 页图 24.1-7) 【教学说明】赵州桥问题充分体现了数学与应用数学的关系,了解我国古代人民的勤劳 与智慧,要解决此问题需要用到这节课的知识,这样较好地调动了学生的积极性,开启 了学生的思维,成功地引入新课. 二、思考探究,获取新知 1.圆的轴对称性 问题 1 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?由此 你能得到什么结论? 【教学说明】学生通过自己动手操作,归纳出圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线 都是它的对称轴. 2.垂径定理及其推论 问题 2 请同学们完成下列问题: 如右图,AB 是⊙O 的一条弦,作直径 CD.使 CD⊥AB,垂足为 E. (1)右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么呢? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说说理由. 【教学说明】问题(1)是对圆的轴对称性这一结 论的复习与应用,也是为问题(2)作
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ 下铺垫,垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的问题(2)可由问题(1)得到,问题(2) 由学生合作交流完成,培养他们合作交流和主动参与的意识 【归纳结论】垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧(优弧、劣 数学语言:如上图,在⊙0中,AB是弦,直径CD垂直于弦AB. ∴AE=BE.AC=BC.AD=BD 问(1)一条直线满足:①过圆心.②垂直于弦,则可得到什么结论? 【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论,这样可以加深学生对定 理的理解 问(2)已知直径AB,弦CD且CE=DE(点E在CD上),那么可得到结论有哪些?(可要 学生自己画图) 提示:分E点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即:CD是直径或CD是除直径外的弦来 结论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 问(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,为什么不是直径 的弦? 【教学说明】问题(2)是为了推出垂径定理的推论而设立的,通过学生动手画图,观察 思考,得出结论.问题(3)是对推论进行强调,使学生抓住实质,注意条件,加深印象 3.利用垂径定理及推论解决实际问题 题3如图,用AB表示主桥拱,设AB所在圆的圆心为0,半径为R,经过圆心0作弦 AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,根据垂径定理,D是AB的中点,C是AB 的中点,CD就是拱高,AB=37.4,CD=7.2,则 AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7, OD=0C-CD=R-7.2. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD 即:R2=18.72+(R-7.2)2 解得R≈27.9(m 赵州桥主桥拱半径约为27.9m 【教学说明】教师引导学生分析题意,先把实际问题转化为数学问题,然后画出图形进 行解答.并且在解答过程中,让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用,以及圆的半 径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系 三、运用新知,深化理解 1.如图,AB是⊙0的直径,CD是弦,且CD⊥AB,根据圆的轴对称性可得:CE= BC= AC= 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠! 淘宝网址:jiaoxue5u.taobao.com 下铺垫,垂径定理是根据圆的轴对称性得出来的.问题(2)可由问题(1)得到,问题(2) 由学生合作交流完成,培养他们合作交流和主动参与的意识. 【归纳结论】垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧(优弧、劣 弧). 数学语言:如上图,在⊙O 中,AB 是弦,直径 CD 垂直于弦 AB. ∴AE=BE. AC BC AD BD = = . 。 问(1)一条直线满足:①过圆心.②垂直于弦,则可得到什么结论? 【教学说明】本问题是帮助学生进一步分析定理的题设和结论,这样可以加深学生对定 理的理解. 问(2)已知直径 AB,弦 CD 且 CE=DE(点 E 在 CD 上),那么可得到结论有哪些?(可要 学生自己画图) 提示:分 E 点为“圆心”和“不是圆心”来讨论.即:CD 是直径或 CD 是除直径外的弦来 讨论. 结论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 问(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,为什么不是直径 的弦? 【教学说明】问题(2)是为了推出垂径定理的推论而设立的,通过学生动手画图,观察 思考,得出结论.问题(3)是对推论进行强调,使学生抓住实质,注意条件,加深印象. 3.利用垂径定理及推论解决实际问题 问题 3 如图,用 AB 表示主桥拱,设 AB 所在圆的圆心为 O,半径为 R,经过圆心 O 作弦 AB 的垂线 OC,D 为垂足,OC 与 AB 相交于点 C,根据垂径定理,D 是 AB 的中点,C 是 AB 的中点,CD 就是拱高,AB=37.4,CD=7.2,则 AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7, OD=OC-CD=R-7.2. 在 Rt△OAD 中,由勾股定理,得 OA2 =AD2 +OD2 . 即:R 2 =18.72 +(R-7.2)2 解得 R≈27.9(m) ∴赵州桥主桥拱半径约为 27.9m. 【教学说明】教师引导学生分析题意,先把实际问题转化为数学问题,然后画出图形 进 行解答.并且在解答过程中,让学生意识到勾股定理在这节课中的充分运用,以及圆的半 径、弦、圆心到弦的距离和拱形高之间存在一定的联系. 三、运用新知,深化理解 1.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且 CD⊥AB,根据圆的轴对称性可得:CE=______, BC =______; AC =______
免费下载网址htt: jiaoxue5uys168com 2.如图,在⊙0中,MN为直径,若MN⊥AB,则 若AC=BC,AB不是直径,则 3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中AB),点0是这段弧的圆心,C是AB上 点,OC⊥AB,垂足为D.AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是_m. O 第2题图 第3题图 【教学说明】让学生当堂完成,第1、2题是对垂径定理及其推论的巩固第3题是对垂 径定理的应用,需要将实际问题转化为数学问题 【答案】1. DE BD AD 2. AC=BC AB= BM AN= BN MN LAB AM= BM AN=BN 3.250 四、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你有哪些收获和体会? 【教学说明】教师应让学生交流总结,然后补充说明,强调定理及其推论的应用. 课后作业 1.布置作业:从教材“习题24.1”中选取 2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
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免费下载网址ht:jiaoxue5u.ysl68.com/ 曾学反思 1.这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始,引入课题从实验入手, 得到圆的轴对称性,进而推出垂径定理及推论.教学设计中,从具体、简单、特殊到抽象、 复杂、一般,层层递进,以利于提高学生的数学思维能力,同时,注意加强对学生的启 发和引导,培养学生们大胆猜想,小心求证的科学研究素质 2.本课的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合,将圆的问题转化为直角三角形, 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
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