免费下载网址htt: jiaoxue5u ys168com 一元二次方程 教学目标 【知识与技能】 进一步加深对一元二次方程及其解的理解,能选择恰当的方法解一元二次方程,掌握用 元二次方程解决实际问题的思路方法,加强对应用问题的分析和解决能力. 【过程与方法】 经历分析问题和解决问题的过程,拓展对一元二次方程的认识 【情感态度】 进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力,增强数学应用的兴趣和意识, 感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性,培养开拓创新精神. 【教学重点】 理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式,加强构建一元二次方程 解决应用问题的能力 【教学难点】 综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题 曾教学过程 、知识框图,整体把握 实际问题 设未知数,列方程数学问题 ax2+bx+c=0(a≠0) 解开平方法 方配方法 次 程 公式法 因式分解法 实际问题检验数学问题的解 根的判别 的答案 b±√/b2 式根与系 2a 数的关系 二、释疑解惑,加深理解 1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,且a≠0),这里二次项系数a≠0 是必要条件,而这一点往往在解题过程中易忽视,而致结论出错. 思考若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0有一根为0,则常数m的值为.(参 考答案:m=2) 2.一元二次方程的解法有:开平方法、配方法、公式法和因式分解法对于具体的方程, 定要认真观察,分析方程特征,选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程, 降次思想是它的基本思想 3.根的判别式及根与系数的关系:(1)根的判别式△=b2-4ac与0的大小关系可直接确定 方程的根的情况,当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=b2-4ac=0时, 方程有两个相等的实数根.当△=b2-4ac<0时方程没有实数根.(2)根与系数的关系:若 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 一元二次方程 【知识与技能】 进一步加深对一元二次方程及其解的理解， 能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用 一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力. 【过程与方法】 经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识. 【情感态度】 进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识， 感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神. 【教学重点】 理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程 解决应用问题的能力. 【教学难点】 综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题. 一、知识框图，整体把握 二、释疑解惑，加深理解 1.一元二次方程的一般形式为 ax 2 +bx+c=0(a,b,c 为常数，且 a≠0),这里二次项系数 a≠0 是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错. 思考 若关于 x 的一元二次方程（m-1）x 2 +5x+m2 -3m+2=0 有一根为 0，则常数 m 的值为.（参 考答案：m=2） 2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程， 一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程， 降次思想是它的基本思想. 3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b2 -4ac 与 0 的大小关系可直接确定 方程的根的情况，当Δ=b2 -4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2 -4ac=0 时， 方程有两个相等的实数根.当Δ=b2 -4ac＜0 时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若
免费下载网址htt:jiaoxue5uys168.com 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x,x2,则x+x2=,x1·x2=-.(3)利用根与系 数的关系确定方程的待定字母系数时,千万应注意验证Δ=b2-4ac是否大于等于0,否则 所求出的值就不合题意应舍去,这点应引起学生高度重视 4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现,如解决传播类问题、增长率 类问题、利润问题及几何图形的计算问题等,而解决这些实际问题的关键是弄清题意, 找出其中的等量关系,恰当设未知数,建立方程并予以求解.需注意的是,应根据问题的 实际意义检验结果是否合理. 【教学说明】在对上述知识的回顾过程中,既可师生根据教材的主要知识点进行剖析 也可由教师设置问题,让学生思考后进行总结交流,从而整体上加强对本章知识的理解 同时,对易错点给予强调,引起学生注意 、典例精析,复习新知 例1已知关于x的方程(m+n-1)x(m+n)2+1-(m+n)x+m=0是一元二次方程,则m+n的值 分析:由题意应有(m+n)2+1=2,故m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数 m+n-1≠0,∴m+n≠1,从而可知m+n=-1 例2已知a是方程x2-2014x+1=0的一个根,求代数式a2-2013a+ 2014 的值 解:根据方程根的定义有a2-2014a+1=0,从而a2-2013a=a-1.a2+1=2014a,故原式 a-1+1=a-a+1=2014a-a =2013. a 在评讲本例时,要防止少数学生利用求根公式求出a的值再代入计算的做法,解释这种 解法的弊端,并引导学生学会用整体代入思想解题的方法和技巧. 例3已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个实数根,试求m的最小整数值 解:由题意有△=[-2(m+1)]2-4×1×m=8m+4≥0,∴m≥-1/2,故m的最小整数值为0 例4已知关于x的方程x2-2x-a=0 (1)若方程有两个不相等的实数根,求a的取值范围 (2)若此方程的两个实数根为x,x2,则亠+一的值能等于二吗?如果可以,请求出a 的值:如果不能,请说明理由 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的两个实数根为 x1,x2，则 x1+x2=- b a ,x1·x2= c a .（3）利用根与系 数的关系确定 方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b2 -4ac 是否大于等于 0，否则 所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视. 4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率 类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意， 找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的 实际意义检验结果是否合理. 【教学说明】在对上述知识的回顾过程中，既可师生根据教材的主要知识点进行剖析， 也可由教师设置问题，让学生思考后进行总结交流，从而整体上加强对本章知识的理解， 同时，对易错点给予强调，引起学生注意. 三、典例精析，复习新知 例 1 已知关于 x 的方程（m+n-1）x(m+n)2 +1-(m+n)x+mn=0 是一元二次方程，则 m+n 的值 为 . 分析：由题意应有(m+n)2 +1=2,故(m+n)2 =1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数 m+n-1≠0，∴m+n≠1,从而可知 m+n=-1. 例 2 已知 a 是方程 x 2 -2014x+1=0的一个根，求代数式 a 2 -2013a+ 2 2014 a +1 的值. 解：根据方程根的定义有 a 2 -2014a+1=0, 从 而 a 2 -2013a=a-1.a2 +1=2014a, 故原式 =a-1+ 1 a = 2 a a 1 a − + = 2014a a − a =2013. 在评讲本例时，要防止少数学生利用求根公式求出 a 的值再代入计算的做法，解释这种 解法的弊端，并引导学生学会用整体代入思想解题的方法和技巧. 例 3 已知关于 x 的方程 x 2 -2（m+1）x+m2 =0 有两个实数根，试求 m 的最小整数值. 解：由题意有Δ=［-2(m+1)］ 2 -4×1×m 2 =8m+4≥0，∴m≥-1/2,故 m 的最小整数值为 0. 例 4 已知关于 x 的方程 x 2 -2x-a=0. （1）若方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围； （2）若此方程的两个实数根为 x1,x2，则 1 2 1 1 x x + 的值能等于 2 3 吗？如果可以，请求出 a 的值；如果不能，请说明理由
免费下载网址ht:/ JIaoxue5uys68com/ 解:在(1)中,可直接由△=b2-4ac=4 4a>0,得a>-1:在(2)中,不妨先令1+1= 从而有工+ 3:-a3,解得a=-3.而当 a=-3时,原方程没有实数根,故+-的值不 可能为 例5某零售商购进一批单价为16元的玩具,销售一段时间后,为了获得更多利润,商店 决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元销售时,每月可销售360件;若按每件 25元销售时,每月能卖出210件,假定每月销售件数y(件)是价格x的一次函数 (1)试求y与x之间的关系式 (2)当销售价定为多少时,每月获得1800元利润? (3)每月的利润能达到2000元吗?为什么? 解:在(1)中,设y=kx+b,把(20,360),(25,210)代入,可得y=30x+960(16≤x≤32) 在(2)中,设获利为w(元),则w=(x-16)(-30x+960),当w=1800时,有(x-16 -30x+960)=1800,解得x1=2,x2=26,故销售价定为22元或26元时,每月可获得1800元 利润:在(3)中,令(x-16)(-30x+960)=2000,整理,得3x2-144x+1736=0,此时△=b2-4ac (-144)2-4×3×1736=-96<0,原方程无解,即每月利润不可能为2000元 【教学说明】在具体教学时,教师可根据自己的设想设置例题,对所选例题的处理仍应 先让学生自主探究,尝试着独立完成,让学生边回顾边思考,加深对本章知识的掌握 四、复习训练,巩固提高 1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根为1,则m的值是多少? 2.若方程3x2-5x-2=0有一根为a,则6a2-10a的值是多少? 3.已知关于x的方程a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0,a为何非负整数时,(1)方程只有一个 实数根?(2)方程有两个相等实数根?(3)方程有两个不等实数根? 4.百货商店服装柜在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为 了迎接“六·一”国际儿童节,商店决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利 尽量减少库:存经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天可多售出2件. 要想平均每天销售这种童装盈利1200元,在对顾客利益最大基础上,那么每件童装应降 价多少元? 【教学说明】这4个小题的设置旨在帮助学生复习知识,其中第1、2题较简单,由学生 自主完成,第3、4题可由师生共同完成 【答案】1.m=±√32.43.(1)a=2;(2)a=3:;(3)a=0或a=1 4.每件降价20元 五、师生互动,课堂小结 通过这节课学习,对本章的知识你有哪些新的认识?有何体会? 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 5 某零售商购进一批单价为 16 元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店 决定提高销售价格，经试验发现，若按每件 20 元销售时，每月可销售 360 件；若按每件 25 元销售时，每月能卖出 210 件，假定每月销售件数 y（件）是价格 x 的一次函数. （1）试求 y 与 x 之间的关系式； （2）当销售价定为多少时，每月获得 1800 元利润？ （3）每月的利润能达到 2000 元吗？为什么？ 解：在（1）中，设 y=kx+b，把(20,360),(25,210)代入，可得 y=-30x+960(16≤x≤32); 在（2）中，设获利为 w(元)，则 w=(x-16)(-30x+960),当 w=1800 时，有（x-16） (-30x+960)=1800，解得 x1=22,x2=26,故销售价定为 22元或 26 元时，每月可获得 1800 元 利润；在（3）中，令（x-16)(-30x+960)=2000,整理，得 3x2 -144x+1736=0,此时Δ=b2 -4ac= （-144）2 -4×3×1736=-96＜0，原方程无解，即每月利润不可能为 2000 元. 【教学说明】在具体教学时，教师可根据自己的设想设置例题，对所选例题的处理仍应 先让学生自主探究，尝试着独立完成，让学生边回顾边思考，加深对本章知识的掌握. 四、复习训练，巩固提高 1.若方程(m2 -2)x2 -1=0 有一根为 1，则 m 的值是多少？ 2.若方程 3x2 -5x-2=0 有一根为 a，则 6a2 -10a 的值是多少？ 3.已知关于 x 的方程(a-2)x2 -2(a-1)x+(a+1)=0，a 为何非负整数时，（1）方程只有一个 实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不等实数根？ 4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件，每件盈利40 元.为 了迎接“六·一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利， 尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价 1 元，那么平均每天可多售出 2 件. 要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降 价多少元？ 【教学说明】这 4 个小题的设置旨在帮助学生复习知识，其中第 1、2 题较简单，由学生 自主完成，第 3、4 题可由师生共同完成. 【答案】1.m=± 3 2 .4 3.(1)a=2;(2)a=3;(3)a=0 或 a=1 4.每件降价 20 元. 五、师生互动，课堂小结 通过这节课学习，对本章的知识你有哪些新的认识？有何体会？
免费下载网址ht:/ JIaoxue5uys68com/ 【教学说明】师生共同进行小结反思,让学生进一步加深对本章知识的理解和领悟,积 累解题方法和经验,完善知识体系. 课后作业 1.布置作业:从教材“复习题21”中选取 2.完成本课的热点专题训练 教学反思 1.本节课为复习课,所以首先要让学生了解本章的知识体系,该掌握哪些知识点,所以 教学的展开都以问题的解决为中心,使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索 的学习活动过程,在探索中体现数学思想方法的渗透、应用,巩固知识内容 2.本章的内容,关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中,体会方程是刻画现实世 界的一个有效的数学模型,一元二次方程是初中阶段最重要的方程,它是解答数学问题 的重要工具和方法,并且对学习函数,尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用,它 在中考试题中占有一定的比例 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【教学说明】师生共同进行小结反思，让学生进一步加深对本章知识的理解和领悟，积 累解题方法和经验，完善知识体系. 1.布置作业：从教材“复习题 21”中选取. 2.完成本课的热点专题训练. 1.本节课为复习课，所以首先要让学生了解本章的知识体系，该掌握哪些知识点，所以 教学的展开都以问题的解决为中心，使教学过程成为在老师指导下学生的一种自主探索 的学习活动过程，在探索中体现数学思想方法的渗透、应用，巩固知识内容. 2.本章的内容，关键是在经历和体验知识的形成与应用过程中，体会方程是刻画现实世 界的一个有效的数学模型，一元二次方程是初中阶段最重要的方程，它是解答数学问题 的重要工具和方法，并且对学习函数，尤其是二次函数的综合问题起着决定性作用，它 在中考试题中占有一定的比例