免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 与圆有关的位置关系 教学内容 1.两个圆相离(外离、内含),两个圆相切(外切、内切),两个圆相交等概念 2.设两圆的半径分别为r1、r2,圆心距(两圆圆心的距离)为d,则有两圆的位置关系 d与r1和r2之间的关系. 外离→d>r1+r2 外切→d=r1+r2 相交分|r-r2|<d<r+r2 内切分d=|rr2 内含分0≤d|r-r2(其中d=0,两圆同心) 教学目标 了解两个圆相离(外离、内含),两个圆相切(外切、内切),两圆相交、圆心距等概念 理解两圆的互解关系与d、r、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题 通知复习直线和圆的位置关系和结合操作几何,迁移到圆与圆之间的五种关系并运用它 们解决一些具体的题目 重难点、关键 1.重点:两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用 2.难点与关键:探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题 教学过程 复习引入 请同学们独立完成下题 在你的随堂练习本上,画出直线L和圆的三种位置关系,并写出等价关系 老师点评:直线L和圆的位置关系有三种:相交、相切、相离,如图(a)~(c)所示.(其 中d表示圆心到直线L的距离,r是⊙0的半径) (a)相交分d<r (b)相切分d=r (3)相离分dr 二、探索新知 请每位同学完成下面一段话的操作几何,四人一组讨论你能得到什么结论 (1)在一张透明纸上作一个⊙01,再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2 把两张透明纸叠在一起,固定⊙0,平移⊙O2,⊙01与⊙O2有几种位置关系? (2)设两圆的半径分别为r1和r2(r1<r2),圆心距(两圆圆心的距离)为d,你又能 得到什么结论? 老师用两圆在黑板上运动并点评: 可以发现,可以会出现以下五种情况 (c) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 与圆有关的位置关系 教学内容 1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切）， 两个圆相交等概念． 2．设两圆的半径分别为 r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为 d，则有两圆的位置关系， d 与 r1 和 r2 之间的关系． 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 │r1-r2│r 二、探索新知 请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论． （1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1 半径不等的⊙O2， 把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1 与⊙O2 有几种位置关系？ （2）设两圆的半径分别为 r1 和 r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离）为 d， 你又能 得到什么结论？ 老师用两圆在黑板上运动并点评： 可以发现，可以会出现以下五种情况： O2 O1 (a) O2 O1 (b) O O2 1 (c)
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ (1)图(a)中,两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离; (2)图(b)中,两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切 (3)图(c)中,两个圆有两个公共点,那么就说两个圆相交 (4)图(d)中,两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切.为了区分(e) 和(d)图,把(b)图叫做外切,把(d)图叫做内切 (5)图(e)中,两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,为了区分图(e)和图 (e),把图(a)叫做外离,把图(e)叫做内含 图(f)是(e)甲的一种特殊情况—一圆心相同,我们把它称为同心圆 问题(分组讨论)如果两圆的半径分别为r1和r2(rr1+r2 外切只有一个交点,结合图(a),也很明显d=r1+r2 相交有两个交点,如图两圆相交于A、B两点,连接0A和O2A,很明显r-r1<d<r1+r2 内切是内含加相切,因此d=r2r1;内含是0≤d<r2r1(其中d=0,两圆同心)反之,同样成 立,因此,我们就有一组等价关系(老师填完表格) 例1.两个同样大小的肥皂泡黏在一起,其剖面如图1所示(点0,0′是圆心),分隔 两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线,TP、NP分别为两圆的切线,求∠TPN的大小 分析:要求∠TPN,其实就是求∠OPO′的角度,很明显,∠POO′是正三角形,如图2 所示 解:∵PO=00′=PC △P0′0是一个等边三角形 ∴∠OPO′=60° 又∵TP与NP分别为两圆的切线, ∠TPO=90°,∠NPO′=90 ∠TPN=360°-2×90°-60°=120 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com O1 O2 (d) O2 O1 (e) O1(O2) (f) （1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离； （2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切． （3）图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交． （4）图（d）中，两个圆只有一个公共点， 那么就说这两个圆相切． 为了区分（e） 和（d）图，把（b）图叫做外切，把（d）图叫做内切． （5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离， 为了区分图（e）和图 （e），把图（a）叫做外离，把图（e）叫做内含． 图（f）是（e）甲的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆． 问题（分组讨论）如果两圆的半径分别为 r1 和 r2（r1r1+r2； 外切只有一个交点，结合图（a），也很明显 d=r1+r2； 相交有两个交点，如图两圆相交于 A、B 两点，连接 O1A 和 O2A，很明显 r2-r1<d<r1+r2； 内切是内含加相切，因此 d=r2-r1；内含是 0≤d<r2-r1（其中 d=0，两圆同心）反之，同样成 立， 因此，我们就有一组等价关系（老师填完表格）． 例 1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图 1 所示（点 O，O′是圆心），分隔 两个肥皂泡的肥皂膜 PQ 成一条直线，TP、NP 分别为两圆的切线，求∠TPN 的大小． （1） (2) 分析：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图 2 所示． 解：∵PO=OO′=PO′ ∴△PO′O 是一个等边三角形 ∴∠OPO′=60° 又∵TP 与 NP 分别为两圆的切线， ∴∠TPO=90°，∠NPO′=90° ∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 例2.如图1所示,⊙0的半径为7cm,点A为⊙0外一点,OA=15cm, 求:(1)作⊙A与⊙0外切,并求⊙A的半径是多少? 0 (2)作⊙A与⊙0相内切,并求出此时⊙A的半径 分析:(1)作⊙A和⊙0外切,就是作以A为圆心的圆与⊙0的圆心距d=+r;(2) 作0A与⊙0相内切,就是作以A为圆心的圆与⊙0的圆心距d=rAro 解:如图2所示,(1)作法:以A为圆心,n=15-7=8为半径作圆,则⊙A的半径为8cm (2)作法:以A点为圆心,rA=15+7=22为半径作圆,则⊙A的半径为22cm 、巩固练习 教材P109练习 四、应用拓展 例3.如图1所示,半径不等的⊙O、⊙O2外离,线段0102分别交⊙0、⊙O2于点A、B, MN为两圆的内公切线,分别切⊙01、⊙O2于点M、N,连结MA、NB. (1)试判断∠AMN与∠BNM的数量关系?并证明你的结论 (2)若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN为两圆的外公切线”,其余条件不变,∠AMN 与∠BM是否一定满足某种等量关系?完成下图并写出你的结论 M O O 分析:(1)要说明∠AN与∠BM的数量关系,只要说明∠MAB和∠NBA的数量关系,只 要说明∠O2BN和∠O1M的数量关系,又因为∠O2BN=∠O1NB,∠OMA=∠O1AM,因此,只要连 结O1M,O型N,再说明∠MO4A=∠NO2B,这两个角相等是显然的 (2)画出图形,从上题的解答我们可以得到一个思路,连结OM、O2N,则 ∠OMN+∠O2NM=180°,∴∠MO1A+∠NO2B=180° ∴∠O2NB+∠O1MA=90° ∴∠AMN+∠BNM=90° 解:(1)∠AMN=∠BNM 证明:连结O1M、O2N,如图2所示 MN为两圆的内公切线 OM⊥MN,O2N⊥MN ∴O1M∥O2N ∠MO1A=∠NO2B OM=O,A, O2N=02B 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 2．如图 1 所示，⊙O 的半径为 7cm，点 A 为⊙O 外一点，OA=15cm， 求：（1）作⊙A 与⊙O 外切，并求⊙A 的半径是多少？ O A (1) (2) （2）作⊙A 与⊙O 相内切，并求出此时⊙A 的半径． 分析：（1）作⊙A 和⊙O 外切，就是作以 A 为圆心的圆与⊙O 的圆心距 d=rO+rA；（ •2） 作 OA 与⊙O 相内切，就是作以 A 为圆心的圆与⊙O 的圆心距 d=rA-rO． 解：如图 2 所示，（1）作法：以 A 为圆心，rA=15-7=8 为半径作圆，则⊙A•的半径为 8cm （2）作法：以 A 点为圆心，rA′=15+7=22 为半径作圆，则⊙A 的半径为 22cm 三、巩固练习 教材 P109 练习． 四、应用拓展 例 3．如图 1 所示，半径不等的⊙O1、⊙O2 外离，线段 O1O2 分别交⊙O1、⊙O2 于点 A、B， MN 为两圆的内公切线，分别切⊙O1、⊙O2 于点 M、N，连结 MA、NB． （1）试判断∠AMN 与∠BNM 的数量关系？并证明你的结论． （2）若将“MN”为两圆的内公切线改为“MN 为两圆的外公切线”， 其余条件不变，∠AMN 与∠BNM 是否一定满足某种等量关系？完成下图并写出你的结论． (1) (2) 分析：（1）要说明∠AMN 与∠BNM 的数量关系，只要说明∠MAB 和∠NBA 的数量关系，只 要说明∠O2BN 和∠O1AM 的数量关系，又因为∠O2BN=∠O1NB，∠O1MA=∠O1AM，因此，只要连 结 O1M，O2N，再说明∠MO1A=∠NO2B，这两个角相等是显然的． （2）画出图形，从上题的解答我们可以得到一个思路，连结 O1M、O2N， 则 ∠O1MN+∠O2NM=180° ， ∴∠MO1A+∠NO2B=180° ， ∴∠O2NB+∠O1MA=90° ， ∴∠AMN+∠BNM=90°． 解：（1）∠AMN=∠BNM 证明：连结 O1M、O2N，如图 2 所示 ∵MN 为两圆的内公切线， ∴O1M⊥MN，O2N⊥MN ∴O1M∥O2N ∴∠MO1A=∠NO2B ∵O1M=O1A，O2N=O2B
免费下载网址htt: laoxue5uysl68com/ ∠O1MA=∠O2NB ∠AMN=∠BM AMN+∠BNM=90° 证明:连结OM、O2N ∴MN为两圆的外公切线 OM⊥MN,O2N⊥M OM∥O2N ∴∠MO1A+∠NO2B=180° O,M=0.A, ON=02B ∴∠OMA+∠O2NB=-×180°=90 ∠AMN+∠BNM=180°-90°=90 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握 1.圆和圆位置关系的概念:两个圆相离(外离、内含),相切(外切、内切),相交 2.设两圆的半径为r,r2,圆心距为d(rr1+r2 外切分→d=r1 相交分r2-r1<dr1+r2 内切d=r2r1 内含分0≤d<r2r1(当d=0时,两圆同心) 六、布置作业 1.教材P110复习巩固6、7P111综合运用11、13 2.选用课时作业设计 第四课时作业设计 选择题 1.已知两圆的半径分别为5cm和7cm,圆心距为8cm,那么这两个圆的位置关系是() A.内切 B.相交C.外切D.外离 2.半径为2cm和1cm的⊙01和⊙O2相交于A、B两点,且O1A⊥O2A,则公共弦AB的长 为() √5 3.如图所示,半圆0的直径AB=4,与半圆0内切的动圆01与AB切于点M,设⊙O的 半径为y,AM=x,则y关于x的函数关系式是() 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∴∠O1MA=∠O2NB ∴∠AMN=∠BNM （2）∵∠AMN+∠BNM=90° 证明：连结 O1M、O2N ∵MN 为两圆的外公切线． ∴O1M⊥MN，O2N⊥MN ∴O1M∥O2N ∴∠MO1A+∠NO2B=180° ∵O1M=O1A，O2N=O2B ∴∠O1MA+∠O2NB= 1 2 ×180°=90° ∴∠AMN+∠BNM=180°-90°=90° 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆和圆位置关系的概念：两个圆相离（外离、内含），相切（外切、 内切），相交． 2．设两圆的半径为 r1，r2，圆心距为 d（r1r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 r2-r1<d<r1+r2 内切 d=r2-r1 内含 0≤d<r2-r1（当 d=0 时，两圆同心） 六、布置作业 1．教材 P110 复习巩固 6、7 P111 综合运用 11、13． 2．选用课时作业设计． 第四课时作业设计 选择题． 1．已知两圆的半径分别为 5cm 和 7cm，圆心距为 8cm，那么这两个圆的位置关系是（ ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 2．半径为 2cm 和 1cm 的⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点，且 O1A⊥O2A，则公共弦 AB 的长 为（• ）． A． 5 5 cm B． 2 5 5 cm C． 5 cm D． 4 5 5 cm 3．如图所示，半圆 O 的直径 AB=4，与半圆 O 内切的动圆 O1与 AB 切于点 M， 设⊙O1的 半径为 y，AM=x，则 y 关于 x 的函数关系式是（ ）． A．y= 1 4 x 2 +x B．y=- 1 4 x 2 +x
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ D. y==xX A M 二、填空题 1.如图1所示,两圆⊙O1与⊙02相交于A、B两点,则0O2所在的直线是公共弦AB的 2.两圆半径R=5,r=3,则当两圆的圆心距d满足 时,两圆相交;当d满足 时,两圆不外离 3.如图2所示,⊙01和⊙0内切于T,则T在直线 上,理由是 :若过Q2的弦AB与⊙O交于C、D两点,若AC:CD:BD=2:4:3,则⊙O2 与⊙O半径之比为 、综合提高题. 1.如图3,已知⊙O、⊙O2相交于A、B两点,连结AO1并延长交⊙O于C,连CB并延 长交⊙O2于D,若圆心距0Q2=2,求CD长 2.如图所示,是2004年5月5日2时48分到3时52分在北京拍摄的从初六到十五的月全 食过程 分测國 用数学眼光看图(a),可以认为是地球、月球投影(两个圆)的位置关系发生了从外切 相交到内切的变化;2时48分月球投影开始进入进球投影的黑影(图(b)),接着月球投影 沿直线OP匀速的平行移动进入地球投影的黑影(图24-87(c),3时52分,这时月球投影 全部进入地球投影的(图(d)),设照片中地球投影如图(2)中半径为R的⊙0,月球投影 如图24-87(b)中半径为r的小圆⊙P,这段时间的圆心距为OP=y,求y与时间t(分)的 函数关系式,并写出自变量的取值范围 3.如图所示,点A坐标为(0,3),OA半径为1,点B在x轴上 (1)若点B坐标为(4,0),⊙B半径为3,试判断⊙A与⊙B位置关系: (2)若⊙B过M(-2,0)且与⊙A相切,求B点坐标 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com C．y=- 1 4 x 2 -x D．y= 1 4 x 2 -x 二、填空题． 1．如图 1 所示，两圆⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点，则 O1O2 所在的直线是公共弦 AB 的________． (1) (2) (3) 2．两圆半径 R=5，r=3，则当两圆的圆心距 d 满足______•时， 两圆相交； 当 d•满足 _______时，两圆不外离． 3． 如图 2•所示， ⊙O1 和⊙O2 内切于 T， 则 T•在直线________•上， 理由是 ______________；若过 O2 的弦 AB 与⊙O2 交于 C、D 两点，若 AC：CD：BD=2：4：3，则⊙O2 与⊙O1 半径之比为________． 三、综合提高题． 1．如图 3，已知⊙O1、⊙O2 相交于 A、B 两点，连结 AO1 并延长交⊙O1 于 C，连 CB 并延 长交⊙O2 于 D，若圆心距 O1O2=2，求 CD 长． 2．如图所示，是 2004 年 5 月 5 日 2 时 48 分到 3 时 52 分在北京拍摄的从初六到十五的月全 食过程． 用数学眼光看图（a），可以认为是地球、 月球投影（两个圆）的位置关系发生了从外切、 相交到内切的变化；2 时 48•分月球投影开始进入进球投影的黑影（图（b）），接着月球投影 沿直线 OP 匀速的平行移动进入地球投影的黑影（图 24-87（c），3 时 52 分，这时月球投影 全部进入地球投影的（图（d））， 设照片中地球投影如图（2）中半径为 R 的⊙O，月球投影 如图 24-87（b）中半径为 r 的小圆⊙P，这段时间的圆心距为 OP=y，求 y 与时间 t（分）的 函数关系式，并写出自变量的取值范围． 3．如图所示，点 A 坐标为（0，3），OA 半径为 1，点 B 在 x 轴上． （1）若点 B 坐标为（4，0），⊙B 半径为 3，试判断⊙A 与⊙B 位置关系； （2）若⊙B 过 M（-2，0）且与⊙A 相切，求 B 点坐标．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 答案 1.B2.D3.B 、1.垂直平分线 2.2-2时,√9+x2=x+3,平方化简得:x=0符题意,:B(0,0), 当x-2(舍) ②设⊙B与QA内切,则√9+x2=1x+2|-1, 当x>-2时,√9+x2=x+1,得x=4>-2,∴B(4,0) 当x-2,∴应舍去 综上所述:B(0,0)或B(4,0) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
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