免费下载网址htt:jiaoxuesu.ysl168.com 弧长和扇形面积 教学内容 1.n°的圆心角所对的弧长=饣 2.扇形的概念; R 3.圆心角为n°的扇形面积是Ss360 4.应用以上内容解决一些具体题目 教学目标 了解扇形的概念,理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它 们的应用 r- 通过复习圆的周长、圆的面积公式,探索n°的圆心角所对的弧长L l80和扇形面 积 的计算公式,并应用这些公式解决一些题目 360 重难点、关键 1.重点:n”的圆心角所对的弧长1=nxR,扇形面积SnR及其它们的应用 2.难点:两个公式的应用 3.关键:由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程 教具、学具准备 小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板. 教学过程 、复习引入 (老师口问,学生口答)请同学们回答下列问题 1.圆的周长公式是什么? 2.圆的面积公式是什么? 3.什么叫弧长? 老师点评:(1)圆的周长C=2丌R (2)圆的面积S=丌R2 (3)弧长就是圆的一部分 二、探索新知 (小黑板)请同学们独立完成下题:设圆的半径为R,则: 1.圆的周长可以看作度的圆心角所对的弧 2.1°的圆心角所对的弧长是 3.2°的圆心角所对的弧长是 4.4°的圆心角所对的弧长是 5.n°的圆心角所对的弧长是 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 弧长和扇形面积 教学内容 1．n°的圆心角所对的弧长 L= 180 n R 2．扇形的概念； 3．圆心角为 n°的扇形面积是 S 扇形= 2 360 n R ； 4．应用以上内容解决一些具体题目． 教学目标 了解扇形的概念，理解 n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它 们的应用． 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索 n°的圆心角所对的弧长 L= 2 180 n R 和扇形面 积 S 扇= 2 360 n R 的计算公式，并应用这些公式解决一些题目． 重难点、关键 1．重点：n°的圆心角所对的弧长 L= 180 n R ，扇形面积 S 扇= 2 360 n R 及其它们的应用． 2．难点：两个公式的应用． 3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 教具、学具准备 小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 教学过程 一、复习引入 （老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题． 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？ 老师点评：（1）圆的周长 C=2 R （2）圆的面积 S 图= R 2 （3）弧长就是圆的一部分． 二、探索新知 （小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为 R，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． …… 5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ (老师点评)根据同学们的解题过程,我们可得到: n°的圆心角所对的弧长为 R 例1制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料,试计算如图所示的管道 的展直长度,即AB的长(结果精确到0.1m) 1040m 分析:要求AB的弧长,圆心角知,半径知,只要代入弧长公式即可 解:R=40mm,n=110 AB的长=R2=10×40x≈7.8(m) 180 因此,管道的展直长度约为76.8mm 问题:(学生分组讨论)在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长5m的绳子, 绳子的另一端拴着一头牛,如图所示 v(柱子v (1)这头牛吃草的最大活动区域有多大? (2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域有多大? 学生提问后,老师点评:(1)这头牛吃草的最大活动区域是一个以A(柱子)为圆心, 5m为半径的圆的面积. (2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角,那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半 径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形,如图 像这样,由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形 (小黑板),请同学们结合圆心面积S=R2的公式,独立完成下题 1.该图的面积可以看作是度的圆心角所对的扇形的面积 2.设圆的半径为R,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形= 3.设圆的半径为R,2°的圆心角所对的扇形面积S扁形= 4.设圆的半径为R,5°的圆心角所对的扇形面积S扇形= 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n°的圆心角所对的弧长为 360 n R 例 1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料， 试计算如图所示的管道 的展直长度，即 AB 的长（结果精确到 0.1mm） 40mm www.czsx.com.c A B O 110 分析：要求 AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm，n=110 ∴ AB 的长= 180 n R = 110 40 180 ≈76.8（mm） 因此，管道的展直长度约为 76.8mm． 问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长 5m•的绳子， 绳子的另一端拴着一头牛，如图所示: （1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？ （2）如果这头牛只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域有多大？ 学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以 A（柱子）为圆心， 5m 为半径的圆的面积． （2）如果这头牛只能绕柱子转过 n°角，那么它的最大活动区域应该是 n°圆心角的两个半 径的 n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图: 5 www.czsx.com.c n 像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （小黑板），请同学们结合圆心面积 S= R 2 的公式，独立完成下题： 1．该 图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积． 2．设圆的半径为 R，1°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______． 3．设圆的半径为 R，2°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______． 4．设圆的半径为 R，5°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 5.设圆半径为R,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形= 老师检察学生练习情况并点评 、、F3.s2rR24.Sw3605.Sm=mnR2 5R2 1.3602.S 360 360 因此:在半径为R的圆中,圆心角n°的扇形 例2.如图,已知扇形AOB的半径为10,∠AOB=60°,求AB的长(结果精确到0.1)和 扇形AOB的面积结果精确到0.1) 分析:要求弧长和扇形面积,只要有圆心角,半径的已知量便可求,本题已满足 解:AB的长=10r10=10≈10.5 x×102 丌≈52.3 因此,AB的长为25.1cm,扇形AOB的面积为150.7cm2 三、巩固练习 课本P122练习 四、应用拓展 例3.(1)操作与证明:如图所示,0是边长为a的正方形ABCD的中心,将一块半径足够 长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在0处,并将纸板绕0点旋转,求证:正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a (2)尝试与思考:如图a、b所示,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处,并将纸板绕0旋转,,当扇形纸板的圆心角 为 时,正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a;当扇形纸板的圆心角为 时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com …… 5．设圆半径为 R，n°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______． 老师检察学生练习情况并点评 1．360 2．S 扇形= 1 360 R 2 3．S 扇形= 2 360 R 2 4．S 扇形= 2 5 360 R 5．S 扇形= 2 360 n R 因此：在半径为 R 的圆中，圆心角 n°的扇形 S 扇形= 2 360 n R 例 2．如图，已知扇形 AOB 的半径为 10，∠AOB=60°，求 AB 的长（ 结果精确到 0．1）和 扇形 AOB 的面积结果精确到 0．1） 分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足． 解： AB 的长= 60 180 ×10= 10 3 ≈10.5 S 扇形= 60 360 ×102 = 100 6 ≈52.3 因此， AB 的长为 25.1cm，扇形 AOB 的面积为 150.7cm2． 三、巩固练习 课本 P122 练习． 四、应用拓展 例 3．（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为 a 的正方形 ABC D 的中心，将一块半径足够 长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在 O 处，并将纸板绕 O 点旋转，求证：正方形 ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a． （2）尝试与思考：如图 a、b 所示， 将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为 a 的正三角形或边长为 a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕 O 旋转，，当扇形纸板的圆心角 为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值 a；当扇形纸板的圆心角为_______ 时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值 a．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ B (3)探究与引申:一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n 边形的中心0点处,若将纸板绕0点旋转,当扇形纸板的圆心角为 时,正n边形的 边被纸板覆盖部分的总长度为定值a,这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定 值?若为定值,写出它与正n边形面积S之间的关系(不需证明):若不是定值,请说明理 由 解:(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N,连结 ∵四边形ABCD是正方形 OA=0D,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO, 又∠MON=90°,∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN AM+AN=DN+ANAD=a 特别地,当点M与点A(点B)重合时,点N必与点D(点A重合,此时AM+N仍为定 值 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ;70 (3)360° 正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值,这个定值是 五、归纳小结(学生小结,老师点评) 本节课应掌握 1.n°的圆心角所对的弧长L nTR 2.扇形的概念 3.圆心角为n”的扇形面积是Sm 360 4.运用以上内容,解决具体问题. 六、布置作业 1.教材P124复习巩固1、2、3P125综合运用5、6、7 2.选用课时作业设计 第一课时作业设计 选择题 1.已知扇形的圆心角为120°,半径为6,则扇形的弧长是( A.3丌 B.4丌C.5丌 D.6丌 2.如图1所示,把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上,按顺时针方向绕点 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com D E C B A O (a) (b) （3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为 a 的正 n 边形的中心 O 点处，若将纸板绕 O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正 n 边形的 边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a，这时正 n•边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定 值？若为定值，写出它与正 n 边形面积 S 之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理 由． 解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边 AB、AD•分别交于点 M、N，连结 OA、OD． ∵四边形 ABCD 是正方形 ∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO≌△DNO ∴AM=DN ∴AM+AN=DN+AN=AD=a 特别地，当点 M 与点 A（点 B）重合时，点 N 必与点 D（点 A）重合，此时 AM+AN 仍为定 值 a． 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值 a． （2）120°；70° （3） 360 n ；正 n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是 S n ． 五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握： 1．n°的圆心角所对的弧长 L= 180 n R 2．扇形的概念． 3．圆心角为 n°的扇形面积是 S 扇形= 2 360 n R 4．运用以上内容，解决具体问题． 六、布置作业 1．教材 P124 复习巩固 1、2、3 P125 综合运用 5、6、7． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 选择题 1．已知扇形的圆心角为 120°，半径为 6，则扇形的弧长是（ ）． A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图 1 所示，把边长为 2 的正方形 ABCD 的一边放在定直线 L 上，按顺时针方向绕点
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ D旋转到如图的位置,则点B运动到点B′所经过的路线长度为() C D B O (1) 3.如图2所示,实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都 经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为() A.12丌mB.18丌mC.20丌m D. 24 7 m 二、填空题 1.如果一条弧长等于R,它的半径是R,那么这条弧所对的圆心角度数为 当圆心角增加30°时,这条弧长增加 2.如图3所示,OA=30B,则AD的长是BC的长的。倍. 三、综合提高题 1.已知如图所示,AB所在圆的半径为R,AB的长为xR,⊙o’和OA、OB分别相切于点 C、E,且与⊙0内切于点D,求⊙O′的周长 2.如图,若⊙0的周长为20xcm,⊙A、⊙B的周长都是4丌cm,⊙A在⊙0内沿⊙0滚动, ⊙B在⊙0外沿⊙0滚动,OB转动6周回到原来的位置,而⊙A只需转动4周即可,你能说 出其中的道理吗? 3.如图所示,在计算机白色屏幕上,有一矩形着色画刷ABCD,AB=1,AD=√3,将画刷 以B为中心,按顺时针转动A′B′C′D′位置(A′点转在对角线BD上),求屏幕被着色的 面积 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com D 旋转到如图的位置，则点 B 运动到点 B′所经过的路线长度为（ ） A．1 B． C． 2 D． 2 (1) (2) (3) 3．如图 2 所示，实数部分是半径为 9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都 经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ） A．12 m B．18 m C．20 m D．24 m 二、填空题 1．如果一条弧长等于 4 R，它的半径是 R，那么这条弧所对的圆心角度数为______，• 当圆心角增加 30°时，这条弧长增加________． 2．如图 3 所示，OA=30B，则 AD 的长是 BC 的长的_ ____倍． 三、综合提高题 1．已知如图所示， AB 所在圆的半径为 R， AB 的长为 3 R，⊙O′和 OA、OB 分别相切于点 C、E，且与⊙O 内切于点 D，求⊙O′的周长． 2．如图，若⊙O 的周长为 20 cm，⊙A、⊙B 的周长都是 4 cm，⊙A 在⊙O•内沿⊙O 滚动， ⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动 6 周回到原来的位置，而⊙A 只需转动 4 周即可，你能说 出其中的道理吗？ www.czsx.com.c B A O 3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷 ABCD，AB=1，AD= 3 ，将画刷 以 B 为中心，按顺时针转动 A′B′C′D′位置（A′点转在对角线 BD 上），求屏幕被着色的 面积．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 答案 、1.B2.D3.D 三、1.连结0D、0′C,则0′在OD上 由l R,解得:∠AOB=60 由Rt△00′C解得⊙0′的半径r=-R,所以⊙0′的周长为2xr==mR 2.⊙0、⊙A、⊙B的周长分别为20丌cm,4xcm,4丌cm, 可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm, 所以OA=8cm,OB=12cm, 因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离 所以⊙A滚动回原位置经过距离为2x×8=16丌=4丌×4, 而⊙B滚动回原位置经过距离为2丌×12=24丌=4x×6 因此,与原题意相符 3.设屏幕被着色面积为S 则 连结BD′ 在Rt△A′BD′中 1,A′D′=AD= ∴BD′=BD=2,∠DBD′=60° S=-丌·22+1 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 答案: 一、1．B 2．D 3．D 二、1．45° 1 6 R 2．3 三、1．连结 OD、O′C，则 O′在 OD 上 由 AB l = 3 R，解得：∠AOB=60°， 由 Rt△OO′C•解得⊙O′的半径 r= 1 3 R，所以⊙O′的周长为 2 r= 2 3 R． 2．⊙O、⊙A、⊙B 的周长分别为 20 cm，4 cm，4 cm， 可求出它的半径分别为 10cm、•2cm、2cm， 所以 OA=8cm，OB=12cm， 因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离， 所以⊙A 滚动回原位置经过距离为 2 ×8=16 =4 ×4， 而⊙B 滚动回原位置经过距离为 2 ×12=24 =4 ×6． 因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为 S， 则 S=S△ABD+S 扇形 BDD`+S△BC`D`=S 矩形 ABCD+S 扇形 BDD`， 连结 BD′， 在 Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD= 3 ， ∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°， ∴S= 1 6 ·2 2 +1· 3 = 3 + 2 3 ．