免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 24.2与圆有关的位置关系 教学内容 1.设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外分dr;点P在圆 上分d=r;点P在圆内分→d<r 2.不在同一直线上的三个点确定一个圆 3.三角形外接圆及三角形的外心的概念 4.反证法的证明思路 教学目标 1.理解并掌握设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外→→dr: 点P在圆上分→d=r;点P在圆内分→d<r及其运用 2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用 3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念 4.了解反证法的证明思想 复习圆的两种定理和形成过程,并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及 作图方法,给出不在同一直线上的三个点确定一个圆.接下去从这三点到圆心的距离逐渐引 入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题 重难点、关键 1.重点n点和圆的位置关系的结论:不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的 运用 2.难点:讲授反证法的证明思路 3.关键:由一点、二点、三点、四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定 个圆 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学们口答下面的问题 1.圆的两种定义是什么? 2.你能至少举例两个说明圆是如何形成的? 3.圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何 4.如果在圆外有一点呢?圆内呢?请你画图想一想 老师点评:(1)在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周,另一个端点 A所形成的图形叫做圆:圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长 r的点组成的图形 (2)圆规:一个定点,一个定长画圆 (3)都等于半径 (4)经过画图可知,圆外的点到圆心的距离大于半径:圆内的点到圆心的距离小于半 径 、探索新知 由上面的画图以及所学知识,我们可知: 设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d 则有:点P在圆外→d》r 点P在圆上→d=r 点P在圆内→d<r 反过来,也十分明显,如果dr→点P在圆外;如果d=r→点P在圆上;如果d<r→点 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 24.2 与圆有关的位置关系 教学内容 1．设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外 d>r；点 P 在圆 上 d=r；点 P 在圆内 dr； 点 P 在圆上 d=r；点 P 在圆内 dr 点 P 在圆上 d=r 点 P 在圆内 dr 点 P 在圆外；如果 d=r 点 P 在圆上；如果 d<r 点
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ P在圆内 因此,我们可以得到: 设⊙O的半径为r,点P到圆的距离为d, 则有:点P在圆外→→dr 点P在圆上→→d=r 点P在圆内→d<r 这个结论的出现,对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依 下面,我们接下去研究确定圆的条件: (学生活动)经过一点可以作无数条直线,经过二点只能作一条直线,那么,经过一点 能作几个圆?经过二点、三点呢?请同学们按下面要求作圆 (1)作圆,使该圆经过已知点A,你能作出几个这样的圆? (2)作圆,使该圆经过已知点A、B,你是如何做的?你能作出几个这样的圆?其圆心 的分布有什么特点?与线段AB有什么关系?为什么? (3)作圆,使该圆经过已知点A、B、C三点(其中A、B、C三点不在同一直线上) 你是如何做的?你能作出几个这样的圆? 老师在黑板上演示 (1)无数多个圆,如图1所示 (2)连结A、B,作AB的垂直平分线,则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等,都 满足条件,作出无数个 其圆心分布在AB的中垂线上,与线段AB互相垂直,如图2所示 F (3)作法:①连接AB、BC; ②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG,DE与FG相交于点0 ③以0为圆心,以OA为半径作圆,⊙0就是所要求作的圆,如图3所示 在上面的作图过程中,因为直线DE与FG只有一个交点O,并且点0到A、B、C三个点的距 离相等(中垂线上的任一点到两边的距离相等),所以经过A、B、C三点可以作一个圆,并 且只能作一个圆 即:不在同一直线上的三个点确定一个圆 也就是,经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心 下面我们来证明:经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆 证明:如图,假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆, 设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线L,又 在线段BC的垂直平分线L2,即点P为L与L2点,而L⊥L,L2 解压密码联系q119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com P 在圆内． 因此，我们可以得到： 这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点 P 是否在圆外、圆上、圆内提供了依据． 下面，我们接下去研究确定圆的条件： （学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点 能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆． （1）作圆，使该圆经过已知点 A，你能作出几个这样的圆？ （2）作圆，使该圆经过已知点 A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心 的分布有什么特点？与线段 AB 有什么关系？为什么？ （3）作圆，使该圆经过已知点 A、B、C 三点（其中 A、B、C 三点不在同一直线上）， 你是如何做的？你能作出几个这样的圆？ 老师在黑板上演示： （1）无数多个圆，如图 1 所示． （2）连结 A、B，作 AB 的垂直平分线，则垂直平分线上的点到 A、B 的距离都相等，都 满足条件，作出无数个． 其圆心分布在 AB 的中垂线上，与线段 AB 互相垂直，如图 2 所示． A l A B B A C E D O G F (1) (2) (3) （3）作法：①连接 AB、BC； ②分别作线段 AB、BC 的中垂线 DE 和 FG，DE 与 FG 相交于点 O； ③以 O 为圆心，以 OA 为半径作圆，⊙O 就是所要求作的圆，如图 3 所示． 在上面的作图过程中，因为直线 DE 与 FG 只有一个交点 O，并且点 O 到 A、B、C•三个点的距 离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过 A、B、C 三点可以作一个圆，并 且只能作一个圆． 即：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆． 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心． 下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆． 证明：如图，假设过同一直线 L 上的 A、B、C 三点可以作一个圆， 设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 L1，又 在线段 BC 的垂直平分线 L2， 即点 P 为 L1 与 L2 点，而 L1⊥L，L2 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆的距离为 d， 则有：点 P 在圆外 d>r 点 P 在圆上 d=r 点 P 在圆内 d<r l2 l1 A B C P
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ ⊥L,这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾 所以,过同一直线上的三点不能作圆 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同,它不是直接从命题的已知得出结 论,而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆),由此经过推 理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到命题成立.这种证明方法叫做反证 在某些情景下,反证法是很有效的证明方法 例1.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示.为复制该瓷盘确定其圆心和半径,请 在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心 分析:圆心是一个点,一m个点可以由两条直线交点而成,因此,只要在残缺的圆盘上 任取两条线段,作线段的中垂线,交点就是我们所求的圆心 作法:(1)在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段; (2)作两线段的中垂线,相交于一点 则0就为所求的圆心 三、巩固练习 教材P100练习1、2、3、4. 四、应用拓展 例2.如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AB=48cm,CD=30cm,高27cm,求作一个圆 经过A、B、C、D四点,写出作法并求出这圆的半径(比例尺1:10) 分析:要求作一个圆经过A、B、C、D四个点,应该先选三个点确定一个圆,然后证明 第四点也在圆上即可.要求半径就是求0C或OA或OB,因此,要在直角三角形中进行,不 妨设在Rt△EOC中,设OF=x,则OE=27-x由0C=0B便可列出,这种方法是几何代数解 作法分别作DC、AD的中垂线L、m,则交点0为所求△ADC的外接圆圆 ABCD为等腰梯形,L为其对称轴 ∴OB=0A,∴点B也在⊙0上 ⊙0为等腰梯形ABCD的外接圆 设OE=x,则OF=27-x,∵OC=0B √s+x2=√27-x)2+242 解得:x=20 153+202=25,即半径为2 五、归纳总结(学生总结,老师点评) 本节课应掌握: 点和圆的位置关系:设⊙0的半径为r,点P到圆心的距离为d,则 点P在圆外d>r; 点P在圆上→d=r; 点P在圆内台d<r 2.不在同一直线上的三个点确定一个圆 3.三角形外接圆和三角形外心的概念 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com l www.czsx.com.cn m B A C E D O F ⊥L，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾． 所以，过同一直线上的三点不能作圆． 上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结 论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推 理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法． 在某些情景下，反证法是很有效的证明方法． 例 1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请 在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心． 分析：圆心是一个点，一 个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上 任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心． 作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段； （2）作两线段的中垂线，相交于一点． 则 O 就为所求的圆心． 三、巩固练习 教材 P100 练习 1、2、3、4． 四、应用拓展 例 2．如图，已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高 27cm，求作一个圆 经过 A、B、C、D 四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺 1：10） 分析：要求作一个圆经过 A、B、C、D 四个点，应该先选三个点确定一个圆， 然后证明 第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC 或 OA 或 OB，因此， 要在直角三角形中进行，不 妨设在 Rt△EOC 中，设 OF=x，则 OE=27-x 由 OC=OB 便可列出， 这种方法是几何代数解． 作法分别作 DC、AD 的中垂线 L、m，则交点 O 为所求△ADC 的外接圆圆心． ∵ABCD 为等腰梯形，L 为其对称轴 ∵OB=OA，∴点 B 也在⊙O 上 ∴⊙O 为等腰梯形 ABCD 的外接圆 设 OE=x，则 OF=27-x，∵OC=OB ∴ 2 2 2 2 15 (27 ) 24 + = − + x x 解得：x=20 ∴OC= 2 2 15 20 + =25，即半径为 25m． 五、归纳总结（学生总结，老师点评） 本节课应掌握： 点和圆的位置关系：设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，则 ; ; . P d r P d r P d r = 点 在圆外 点 在圆上 点 在圆内 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆． 3．三角形外接圆和三角形外心的概念．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 4.反证法的证明思想 5.以上内容的应用 六、布置作业 1.教材P110复习巩固1、2、3.2.选用课时作业设计 第一课时作业设计 、选择题 1.下列说法:①三点确定一个圆:②三角形有且只有一个外接圆:③圆有且只有一个 内接三角形;④三角形的外心是各边垂直平分线的交点:⑤三角形的外心到三角形三边的距 离相等:⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内,其中正确的个数有() B.2 D.4 如图,Rt△ABC,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,则它的外心与顶点C的距离为(). A.2.5 B. 2.5cm C. 3cm 4cm B 3.如图,△ABC内接于⊙0,AB是直径,BC=4,AC=3,CD平分∠ACB,则弦AD长为() √2 √2D 、填空题 1.经过一点P可以作个圆;经过两点P、Q可以作 个圆,圆心在 上;经过不在同一直线上的三个点可以作 个圆,圆心是的交点. 2.边长为a的等边三角形外接圆半径为 圆心到边的距离为 3.直角三角形的外心是的中点,锐角三角形外心在三角形,钝角三角形 外心在三角形 三、综合提高题 1.如图,⊙0是△ABC的外接圆,D是AB上一点,连结BD,并延长至E,连结AD,若AB=AC, ∠ADE=65°,试求∠BOC的度数 2.如图,通过防治“非典”,人们增强了卫生意识,大街随地乱扔生活垃圾的人少了,人们 自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中,如图24-49所示,A、B、C为市内的三个住宅小区,环保 公司要建一垃圾回收站,为方便起见,要使得回收站建在三个小区都相等的某处,请问如 果你是工程师,你将如何选址 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 4．反证法的证明思想． 5．以上内容的应用． 六、布置作业 1．教材 P110 复习巩固 1、2、3． 2．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题． 1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆； ③圆有且只有一个 内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距 离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（• ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点 C 的距离为（ ）． A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cm B A C A B C D O 3．如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，BC=4，AC=3，CD 平分∠ACB，则弦 AD 长为（ ） A． 5 2 2 B． 5 2 C． 2 D．3 二、填空题． 1．经过一点 P 可以作_______个圆；经过两点 P、Q 可以作________•个圆， 圆心在 _________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，圆心是________的交点． 2．边长为 a 的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________． 3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形 外心在三角形_________． 三、综合提高题． 1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，D 是 AB 上一点，连结 BD，并延长至 E，连结 AD， 若 AB=AC， ∠ADE=65°，试求∠BOC 的度数． B A C O 2．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们 自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图 24-49 所示，A、B、C•为市内的三个住宅小区，环保 公司要建一垃圾回收站，为方便起见， 要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如 果你是工程师，你将如何选址．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 3.△ABC中,AB=1,AC、BC是关于x的一元二次方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0两个 根,外接圆0的面积为z,求m的值 答案 、1.B2.B3.A 二、1.无数,无数,线段PQ的垂直平分线,一个,三边中垂线 √3 3.斜边内外 2.连结AB、BC,作线段AB、BC的中垂线,两条中垂线的交点即为垃圾回收站所在的 位置 ∵AB=1,∴AB为⊙0直径 ∴AC2+BC2=1,即(AC+BC)2-2AC·BC=1, m+S)2-2·、12 1,m2-18m-40=0,∴m=20或m=-2, m+5 当m=-2时,△<0(舍去), ∴m=20. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
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