免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 24.1.4圆 教学内容 1.圆周角的概念 2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弦所对 的圆心角的一半 推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用 教学目标 1.了解圆周角的概念 2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条 弧所对的圆心角的一半 3.理解圆周角定理的推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对 的弦是直径 4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用 设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予 逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决 些实际问题 重难点、关键 1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理 3.关键:探究圆周角的定理的存在 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学们口答下面两个问题 1.什么叫圆心角? 2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 老师点评:(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角 (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们 所对的其余各组量都分别相等 刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的 位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解 决的问题 、探索新知 问题:如图所示的⊙0,我们在射门游戏中,设E、F是球门,设球员们只能在EF所在的 ⊙0其它位置射门,如图所示的A、B、C点.通过观察,我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ ECF这样的角,它们的顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言 老师点评: 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com O B A C E www.czsx.com.cn F 24.1 .4 圆 教学内容 1．圆周角的概念． 2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弦所对 的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的 应用． 教学目标 1．了解圆周角的概念． 2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条 弧所对的圆心角的一半． 3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对 的弦是直径． 4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用． 设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予 逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决 一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题． 2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理． 3．关键：探究圆周角的定理的存在． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫圆心角？ 2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？ 老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角． （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们 所对的其余各组量都分别相等． 刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的 位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解 决的问题． 二、探索新知 问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设 E、F 是球门， 设球员们只能在 EF 所在的 ⊙O 其它位置射门，如图所示的 A、B、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ E CF 这样的角，它们的顶点在圆上， 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评：
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个 2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的 通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半 下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半 (1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙0的直径,如图所示 ∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO OAEOB ∴∠ABO=∠BAO ∠AOC=∠ABO ∠ABC==∠AOC (2)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两 那么∠ABC=∠AOC吗?请同学们独立完成这道题的说明过 程 D 老师点评:连结B0交⊙0于D同理∠AOD是△ABO的外角 COD是△BOC的外角,那么就有∠AOD=2∠ABO,∠DOC=2∠CB0 此∠AOC=2∠ABC C (3)如图,圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同 侧,那么∠ABC=∠AOC吗?请同学们独立完成证明 老师点评:连结OA、OC,连结B0并延长交⊙0于D,那么∠ AOD=2∠ABD,∠COD=2∠CBO,而∠ABC=∠ABD∠CBO=-∠AOD--∠ COD=-∠AOC 现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半 因此,同弧上的圆周角是相等的 从(1)、(2)、(3),我们可以总结归纳出圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半 进一步,我们还可以得到下面的推导 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目 例1.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙0的弦,延长BD到C,使AC=AB,BD与C的大 小有什么关系?为什么? 分析:BD=CD,因为AB=AC,所以这个△ABC是等腰,要证明D是BC的中点,只要连结 AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可 解:BD=CD 理由是:如图24-30,连接AD AB是⊙0的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB BDECD 解压密码联系qq11139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com O B A C O B A C D www.czsx.com.cn 1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个． 2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且它的度数 恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．” （1）设圆周角∠ABC 的一边 BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC= 1 2 ∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两 侧， 那么∠ABC= 1 2 ∠AOC 吗？请同学们独立完成 这道题的说明过 程． 老师点评：连结 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角， ∠ COD 是△BOC 的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO， 因 此∠AOC=2∠ABC． （3）如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的同 侧，那么∠ABC= 1 2 ∠AOC 吗？请同学们独立完成证明． 老师点评：连结 OA、OC，连结 BO 并延长交⊙O 于 D，那么∠ AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= 1 2 ∠AOD- 1 2 ∠ COD= 1 2 ∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C， 同样可证得它等于同弧上圆心角一半， 因此，同弧上的圆周角是相等的． 从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 进一步，我们还可以得到下面的推导： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目． 例 1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到 C，使 AC=AB，BD 与 CD 的大 小有什么关系？为什么？ 分析：BD=CD，因为 AB=AC，所以这个△ABC 是等腰，要证明 D 是 BC 的中点， 只要连结 AD 证明 AD 是高或是∠BAC 的平分线即可． 解：BD=CD 理由是：如图 24-30，连接 AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即 AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD O B A C D O B A C D www.czsx.com.cn
免费下载网址htt: jiaoxuesu. ys1.68 、巩固练习 1.教材P92思考题 2.教材P93练习 四、应用拓展 例2.如图,已知△ABC内接于⊙0,∠A、∠B、∠C的对边分别设为a,b,c,⊙0半径为R, 求证: b C sin a sinb sin c 分析:要证明a C=2;,只要证明=2R,b AbR B sin B 2R,c sinA=—,sinB ,因此,十分明显要在直角三角形中进行 2R 证明:连接C0并延长交⊙0于D,连接DB ∵CD是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在Rt△DC中,SimC,即2R~a 同理可证 sin C sin a sinb sin c 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握 1.圆周角的概念 2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都相等这条弧所 对的圆心角的一半; 3.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径 4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题 六、布置作业 1.教材P95综合运用9、10、11拓广探索12、13 2.选用课时作业设计 第三课时作业设计 、选择题 1.如图1,A、B、C三点在⊙0上,∠AOC=100°,则∠ABC等于() A.140°B.110°C.120°D.130° 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com O B A C D www.czsx.com.cn 三、巩固练习 1．教材 P92 思考题． 2．教材 P93 练习． 四、应用拓展 例 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O，∠A、∠B、∠C 的对边分别设为 a，b，c，⊙O 半径为 R， 求证： sin a A = sin b B = sin c C =2R． 分析：要证明 sin a A = sin b B = sin c C =2R，只要证明 sin a A =2R， sin b B =2R， sin c C =2R， 即 sinA= 2 a R ，sinB= 2 b R ，sinC= 2 c R ，因此，十分明显要在直角三角形中进行． 证明：连接 CO 并延长交⊙O 于 D，连接 DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D 在 Rt△DBC 中，sinD= BC DC ，即 2R= sin a A 同理可证： sin b B =2R， sin c C =2R ∴ sin a A = sin b B = sin c C =2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念； 2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都相等这条弧所 对的圆心角的一半； 3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题． 六、布置作业 1．教材 P95 综合运用 9、10、11 拓广探索 12、13． 2．选用课时作业设计． 第三课时作业设计 一、选择题 1．如图 1，A、B、C 三点在⊙O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ）． A．140° B．110° C．120° D．130° O B A C www.czsx.com.cn 2 1 4 3 O B A C D
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ysl168.com 2.如图2,∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是(,) D.∠4<∠1<∠3=∠2 3.如图3,AD是⊙0的直径,AC是弦,OB⊥AD,若OB=5,且∠CAD=30°,则BC等于 B.3 D.5 填空题 1.半径为2a的⊙0中,弦AB的长为23a,则弦AB所对的圆周角的度数是 2.如图4,A、B是⊙0的直径,C、D、E都是圆上的点,则∠1+∠2= A B 如图5,已知△ABC为⊙0内接三角形,BC=1,∠A=60°,则⊙0半径为 三、综合提高题 1.如图,弦AB把圆周分成1:2的两部分,已知⊙0半径为1,求弦长AB. 2.如图,已知AB=AC,∠APC=60° (1)求证:△ABC是等边三角形 (2)若BC=4cm,求⊙0的面积 3.如图,⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4) M是圆上一点,∠BMO=120 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com (1) (2) (3) 2．如图 2，∠1、∠2、∠3、∠4 的大小关系是（ ） A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2 C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2 3．如图 3，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB⊥AD，若 OB=5，且∠CAD=30°，则 BC 等于 （ ）． A．3 B．3+ 3 C．5- 1 2 3 D．5 二、填空题 1．半径为 2a 的⊙O 中，弦 AB 的长为 2 3 a，则弦 AB 所对的圆周角的度数是________． 2．如图 4，A、B 是⊙O 的直径，C、D、E 都是圆上的点，则∠1+∠2=_______． O A B C 2 1 E D O B A C www.czsx.com.cn (4) (5) 3．如图 5，已知△ABC 为⊙O 内接三角形，BC=•1， ∠A=•60•°， 则⊙O•半径为_______． 三、综合提高题 1．如图，弦 AB 把圆周分成 1：2 的两部分，已知⊙O 半径为 1，求弦长 AB． O A B 2．如图，已知 AB=AC，∠APC=60° （1）求证：△ABC 是等边三角形． （2）若 BC=4cm，求⊙O 的面积． O B A C P 3．如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为（0，4）， M 是圆上一点，∠BMO=120°．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ (1)求证:AB为⊙C直径 (2)求⊙C的半径及圆心C的坐标 答案 1.120°或60°2.90°3. √3 1.√32.(1)证明:∵∠ABC=∠APC=60° 又AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形 (2)解:连结OC,过点0作OD⊥BC,垂足为D, 在Rt△ODC中,DC=2,∠OCD=30 设0D=x,则0c2x,∴:4x2-x=4,:C=43 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （1）求证：AB 为⊙C 直径． （2）求⊙C 的半径及圆心 C 的坐标． B O A C y x M 答案: 一、1．D 2．B 3．D 二、1．120°或 60° 2．90° 3． 3 3 三、1． 3 2．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°， 又 AB AC = ，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC 为等边三角形． （2）解：连结 OC，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D， 在 Rt△ODC 中，DC=2，∠OCD=3 0°， 设 OD=x，则 OC=2x，∴4x2 -x 2 =4，∴OC= 4 3 3 3．（1）略 （2）4，（-2 3 ，2）