免费下载网址htt:jiaoxuesu.ysl168.com 与圆有关的位置关系 教学内容 1.切线长的概念 2.切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心 的连线平分两条切线的夹角 3.三角形的内切圆及三角形内心的概念 教学目标 了解切线长的概念 理解切线长定理,了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念,熟练掌握它的应用 复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线 长定理,然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念,最 后应用它们解决一些实际问题 重难点、关键 1.重点:切线长定理及其运用 2.难点与关键:切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题 教学过程 、复习引入 1.已知△ABC,作三个内角平分线,说说它具有什么性质? 2.点和圆有几种位置关系?你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识? 3.直线和圆有什么位置关系?切线的判定定理和性质定理,它们如何? 老师点评:(1)在黑板上作出△ABC的三条角平分线,并口述其性质:①三条角平分 线相交于一点;②交点到三条边的距离相等 (2)(口述)点和圆的位置关系有三种,点在圆内dr;点在圆上分d=r:点在圆 外分dr:不在同一直线上的三个点确定一个圆:;反证法的思想 (3)(口述)直线和圆的位置关系同样有三种:直线L和⊙0相交分→d<r:直线L和⊙ 相切分d=r:直线L和⊙0相离分d》r:切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于半 径的直线是圆的切线:切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径 二、探索新知 从上面的复习,我们可以知道,过⊙0上任一点A都可以作一条切线,并且只有一条 根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题. 问题:在你手中的纸上画出⊙0,并画出过A点的唯一切线PA,连结PO,沿着直线 PO将纸对折,设圆上与点A重合的点为B,这时,OB是⊙0的一条半径吗?PB是⊙O的切线 吗?利用图形的轴对称性,说明圆中的PA与PB,∠APO与∠BP0有什么关系? 学生分组讨论,老师抽取3~4位同学回答这个问题 老师点评:OB与OA重叠,OA是半径,OB也就是半径了.又因为OB是半径,PB为OB 的外端,又根据折叠后的角不变,所以PB是⊙O的又一条切线,根据轴对称性质,我们很 容易得到PA=PB,∠APO=∠BPO 我们把PA或PB的长,即经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫 做这点到圆的切线长 从上面的操作几何我们可以得到 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角 下面,我们给予逻辑证明 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewt九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com www.czsx.com.cn O B A P 与圆有关的位置关系 教学内容 1．切线长的概念． 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等， 这一点和圆心 的连线平分两条切线的夹角． 3．三角形的内切圆及三角形内心的概念． 教学目标 了解切线长的概念． 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用． 复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线 长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最 后应用它们解决一些实际问题． 重难点、关键 1．重点：切线长定理及其运用． 2． 难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？ 2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？ 3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？ 老师点评：（1）在黑板上作出△ABC 的三条角平分线，并口述其性质： ①三条角平分 线相交于一点；②交点到三条边的距离相等． （2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内 dr；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想． （3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线 L 和⊙O 相交 dr；切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于半 径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、探索新知 从上面的复习，我们可以知道，过⊙O 上任一点 A 都可以作一条切线， 并且只有一条， 根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题． 问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过 A 点的唯一切线 PA， 连结 PO， 沿着直线 PO 将纸对折，设圆上与点 A 重合的点为 B，这时，OB 是⊙O 的一条半径吗？PB 是⊙O 的切线 吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的 PA 与 PB，∠APO 与∠BPO 有什么关系？ 学生分组讨论，老师抽取 3～4 位同学回答这个问题． 老师点评：OB 与 OA 重叠，OA 是半径，OB 也就是半径了．又因为 OB 是半径，PB 为 OB• 的外端，又根据折叠后的角不变，所以 PB 是⊙O 的又一条切线，根据轴对称性质， 我们很 容易得到 PA=PB，∠APO=∠BPO． 我们把 PA 或 PB 的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长， 叫 做这点到圆的切线长． 从上面的操作几何我们可以得到： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角． 下面，我们给予逻辑证明．
免费下载网址htr:/ JIaoxue5u.ys168com/ 例1.如图,已知PA、PB是⊙0的两条切线 求证:PA=PB,∠OPA=∠OPB. 证明:∵PA、PB是⊙0的两条切线 ∴OA⊥AP,OB⊥BP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP PA=PB,∠OPA=∠OPB 因此,我们得到切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角 我们刚才已经复习,三角形的三条角平分线于一点,并 且这个点到三条边的距离相等 (同刚才画的图)设交点为I,那么I到AB、AC、BC的距 离相等,如图所示,因此以点I为圆心,点I到BC的距离 ID为半径作圆,则⊙I与△ABC的三条边都相切 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切B 圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内 例2.如图,已知⊙0是△ABC的内切圆,切点为D、E、F,如果AE=1,CD=2,BF=3 且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r 分析:直接求内切圆的半径有困难,由于面积是已知的,因此要转化为面积法来求.就 需添加辅助线,如果连结AO、BO、CO,就可把三角形ABC分为三块,那么就可解决 解:连结AO、BO、CO0 ⊙0是△ABC的内切圆且D、E、F是切点 AF=AE=l, BD=BF=3, CE=CD=2 ∴AB=4,BC=5,AC=3 又∵S△ABC=6 (4+5+3)r=6 ∴r=1 答:所求的内切圆的半径为1 三、巩固练习 教材P106练习 四、应用拓展 例3.如图,⊙0的直径AB=12cm,MM、BN是两条切线,DC切⊙0于E,交AM于D, 交BN于C,设AD=x,BC=y (1)求y与x的函数关系式,并说明是什么函数? (2)若x、y是方程2t2-30+m=0的两根,求x,y的值 (3)求△COD的面积 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com B A C E D O F 例 1．如图，已知 PA、PB 是⊙O 的两条切线． 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 证明：∵PA、PB 是⊙O 的两条切线． ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又 O A=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB 因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角． 我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并 且这个点到三条边的距离相等． （同刚才画的图）设交点为 I，那么 I 到 AB、AC、BC 的距 离相等，如图所示，因此以点 I 为圆心，点 I 到 BC 的距离 ID 为半径作圆，则⊙I 与△ABC 的三条边都相切． 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切 圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内 心． 例 2．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，切点为 D、E、F，如果 AE=1，CD=2，BF=3， 且△ABC 的面积为 6．求内切圆的半径 r． 分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的， 因此要转化为面积法来求．就 需添加辅助线，如果连结 AO、BO、CO，就可把三角形 ABC 分为三块， 那么就可解决． 解：连结 AO、BO、CO ∵⊙O 是△ABC 的内切圆且 D、E、F 是切点． ∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2 ∴AB=4，BC=5，AC=3 又∵S△ABC=6 ∴ 1 2 （4+5+3）r=6 ∴r=1 答：所求的内切圆的半径为 1． 三、巩固练习 教材 P106 练习． 四、应用拓展 例 3．如图，⊙O 的直径 AB=12cm，AM、BN 是两条切线，DC 切⊙O 于 E，交 AM 于 D， 交 BN 于 C，设 AD=x，BC=y． （1）求 y 与 x 的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若 x、y 是方程 2t2 -30t+m=0 的两根，求 x，y 的值． （3）求△COD 的面积． l B www.czsx.com.cn A C
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 分析:(1)要求y与x的函数关系,就是求BC与AD的关系, 根据切线长定理:DE=AD=x,CE=CB=y,即DC=x+y, 又因为AB=12,所以只要作DF⊥BC垂足为F, 根据勾股定理,便可求得 (2)∵x,y是2t2-30tm=0的两根, 那么xx=30+、9008+30-9008m=60,x=m,便可求得、y的值 (3)连结OE,便可求得 解:(1)过点D作DF⊥BC,垂足为F,则四边形ABFD为矩形. ∵⊙0切AM、BN、CD于A、B、E ∴DE=AD,CE=CB CF=y-x, CD=X+y 在Rt△DCF中,DC2=DF+CF 为反比例函数 (2)由x、y是方程2t-30tm=0的两根,可得 30+√302-8m30-√302-8 同理可得:xy=36 x=3,y=12或x=12,y=3 (3)连结OE,则OE⊥CD OE=×(AD+BC)·一AB =-×15×一×12 45cm2 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆的切线长概念 2.切线长定理; 3.三角形的内切圆及内心的概念 六、布置作业 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com www.czsx.com.cn B A C E D O N M 分析：（1）要求 y 与 x 的函数关系，就是求 BC 与 AD 的关系， 根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即 DC=x+y， 又因为 AB=12，所以只要作 DF⊥BC 垂足为 F， 根据勾股定理，便可求得． （2）∵x，y 是 2t2 -30t+m=0 的两根， 那么 x1+x2= 30 900 8 30 900 8 60 4 4 4 + − − − m m + = ，x1x2= 2 m ，便可求得 x、y 的值． （3）连结 OE，便可求得． 解：（1）过点 D 作 DF⊥BC，垂足为 F，则四边形 ABFD 为矩形． ∵⊙O 切 AM、BN、CD 于 A、B、E ∴DE=AD，CE=CB ∵AD=x，CB=y ∴CF=y-x，CD=x+y 在 Rt△DCF 中，DC2 =DF2 +CF2 即（x+y） 2 =（x-y） 2 +122 ∴xy=36 ∴y= 36 x 为反比例函数； （2）由 x、y 是方程 2t-30t+m=0 的两根，可得： x+y= 2 2 30 30 8 30 30 8 4 4 + − − − m m + =15 同理可得：xy=36 ∴x=3，y=12 或 x=12，y=3． （3）连结 OE，则 OE⊥CD ∴S△COD= 1 2 CD·OE= 1 2 ×（AD+BC）· 1 2 AB = 1 2 ×15× 1 2 ×12 =45cm2 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的切线长概念； 2．切线长定理； 3．三角形的内切圆及内心的概念． 六、布置作业
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 1.教材P117综合运用5、6、7、8 2.选用课时作业设计 第三课时作业设计 选择题. 1.如图1,PA、PB分别切圆0于A、B两点,C为劣弧AB上一点,∠APB=30°,则∠ ACB=() A.60°B.75 C.105° D.120° B (1) 2.从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,从这点到圆的最短距离为 () √3B.9(√3-1)c.9(√-1) 3.圆外一点P,PA、PB分别切⊙0于A、B,C为优弧AB上一点,若∠ACB=a,则∠APB= A.180°-aB.90 C.90°+aD.180°-2 二、填空题 1.如图2,PA、PB分别切圆0于A、B,并与圆0的切线,分别相交于C、D,已知PA=7cm, 则△PCD的周长等于 2.如图3,边长为a的正三角形的内切圆半径是 如图4,圆0内切Rt△ABC,切点分别是D、E、F,则四边形OECF是 三、综合提高题 1.如图所示,EB、EC是⊙0的两条切线,B、C是切点,A、D是⊙0上两点,如果∠E=46°, ∠DCF=32°,求∠A的度数 2.如图所示,PA、PB是⊙0的两条切线,A、B为切点 求证∠ABO==∠APB. 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1．教材 P117 综合运用 5、6、7、8． 2．选用课时作业设计． 第三课时作业设计 一、选择题． 1．如图 1，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B 两点，C 为劣弧 AB 上一点，∠APB=30°，则∠ ACB=（ ）． A．60° B．75° C．105° D．120° B A C P O B A C D P O B A C B A C E D O F (1) (2) (3) (4) 2．从圆外一点向半径为 9 的圆作切线，已知切线长为 18， 从这点到圆的最短距离为 （ ）． A．9 3 B．9（ 3 -1） C．9（ 5 -1） D．9 3．圆外一点 P，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，C 为优弧 AB 上一点，若∠ACB=a，则∠APB= （ ） A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a 二、填空题 1．如图 2，PA、PB 分别切圆 O 于 A、B，并与圆 O 的切线，分别相交于 C、D， 已知 PA=7cm， 则△PCD 的周长等于_________． 2．如图 3，边长为 a 的正三角形的内切圆半径是_________． 3．如图 4，圆 O 内切 Rt△ABC，切点分别是 D、E、F，则四边形 OECF 是_______． 三、综合提高题 1．如图所示，EB、EC 是⊙O 的两条切线，B、C 是切点，A、D 是⊙O 上两点，• 如果∠E=46°， ∠DCF=32°，求∠A 的度数． B A E C D O F 2．如图所示，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点， 求证∠ABO= 1 2 ∠APB
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 3.如图所示,已知在△ABC中,∠B=90°,0是AB上一点,以0为圆心,OB为半径的 圆与AB交于点E,与AC切于点D (1)求证:DE∥OC OB (2)若AD=2,DC=3,且AD=AE·AB,求一的值 答案 1.14cm2.ya3.正方形 三、1.解:∵EB、EC是⊙0的两条切线 ∴EB=EC,∴∠ECB=∠EBC, 又∠E=46°,而∠E+∠EBC+∠ECB=180°,∠ECB=67° 又∠DCF+∠ECB+∠DCB=180 ∴∠BCD=180°-67°-32°=81°, 又∠A+∠BCD=180° ∠A=180°-81°=99° 2.证明:连结OP、OA,OP交AB于C, B是切点,∴∠OBP=90°,∠OAP=90°, ∴∠BOP=∠APO, ∵OA=OB,∴∠BOP=∠AOC,∴∠OCB=90° ∴∠OBA=∠OPB,∴∠OBA=∠APB 3.(1)证明:连结OD 则∠ODC=Rt∠,∠ODE=∠OED 由切线长定理得:CD=CB, ∴Rt△ODC≌Rt△OBC ∠COB=∠COD ∵∠DOE+2∠AOED=180°, 又∠DOE+2∠COB=180°,∴∠OED=∠COB,∴DE∥OC (2)由AD=2,DC=3得:BC=3,AB=4 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com www.czsx.com.cn B A P O 3．如图所示，已知在△ABC 中，∠B=90°，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，OB•为半径的 圆与 AB 交于点 E，与 AC 切于点 D． （1）求证：DE∥OC； （2）若 AD=2，DC=3，且 AD 2 =AE·AB，求 OB BC 的值． www.czsx.com.cn A B C E D O 答案: 一、1．C 2．C 3．D 二、1．14cm 2． 3 6 a 3．正方形 三、1．解：∵EB、EC 是⊙O 的两条切线， ∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC， 又∠E=46°，而∠E+∠EBC+∠ECB=180°，∠ECB=67°， 又∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°， ∴∠BCD=180°-67°-32°=81°， 又∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=180°-81°=99° 2．证明：连结 OP、OA，OP 交 AB 于 C， ∵B 是切点，∴∠OBP=90°，∠OAP=90•°， ∴∠BOP=∠APO， ∵OA=OB，∴∠BOP=∠AOC，∴∠OCB=90°， ∵∠OBA=∠OPB，∴∠OBA= 1 2 ∠APB． 3．（1）证明：连结 OD， 则∠ODC=Rt∠，∠ODE=∠OED， 由切线长定理得：CD=CB， ∴Rt△ODC≌Rt△OBC，∴∠COB=∠COD， ∵∠DOE+2∠OED=180°， 又∠DOE+2∠COB=180°， ∴∠OED=∠COB，∴DE∥OC （2）由 AD=2，DC=3得：BC=3，AB=4
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 又∵AD=AE·AB,∴AE=1, 13.OB1 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 又∵AD2 =AE·AB，∴AE=1， ∴BE=3，OB= 1 2 BE= 3 2 ，∴ OB BC = 1 2 ．