免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 垂直于弦的直径 教学内容 1.圆的有关概念 2.垂径定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧及其它 们的应用 教学目标 了解圆的有关概念,理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,讲授圆的有关概念.利用操作几何 的方法,理解圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得 出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解 重难点、关键 1.重点:垂径定理及其运用 2.难点与关键:探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学口答下面两个问题(提问一、两个同学) 1.举出生活中的圆三、四个 2.你能讲出形成圆的方法有多少种? 老师点评(口答):(1)如车轮、杯口、时针等.(2)圆规:固定一个定点,固定一个 长度,绕定点拉紧运动就形成一个圆 、探索新知 从以上圆的形成过程,我们可以得出 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周,另一个端点所形成的图形叫 做圆.固定的端点0叫做圆心,线段OA叫做半径 以点0为圆心的圆,记作“⊙0”,读作“圆0 学生四人一组讨论下面的两个问题 问题1:图上各点到定点(圆心0)的距离有什么规律 问题2:到定点的距离等于定长的点又有什么特点? 老师提问几名学生并点评总结 (1)图上各点到定点(圆心0)的距离都等于定长(半径r); (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 因此,我们可以得到圆的新定义:圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的 距离等于定长r的点组成的图形 同时,我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB ②经过圆心的弦叫做直径,如图24-1线段AB ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以A、C为端点的弧记作AC”,读作“圆 弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧(如图所示ABC叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示) AC或BC叫做劣弧 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 垂直于弦的直径 教学内容 1．圆的有关概念． 2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其它 们的应用． 教学目标 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题． 从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何 的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得 出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解． 重难点、关键 1．重点：垂径定理及其运用． 2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学） 1．举出生活中的圆三、四个． 2．你能讲出形成圆的方法有多少种？ 老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个 长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆． 二、探索新知 从以上圆的形成过程，我们可以得出： 在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周， 另一个端点所形成的图形叫 做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径． 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”． 学生四人一组讨论下面的 两个问题： 问题 1：图上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？ 问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？ 老师提问几名学生并点评总结． （1）图上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的 距离等于定长 r 的点组成的图形． 同时，我们又把 ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段 AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图 24-1 线段 AB； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以 A、C 为端点的弧记作 AC ”，读作“圆 弧 AC ”或“弧 AC”．大于半圆的弧（如图所示 ABC 叫做优弧， 小于半圆的弧（如图所示） AC 或 BC 叫做劣弧．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆 (学生活动)请同学们回答下面两个问题 1.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴? 2.你是用什么方法解决上述问题的?与同伴进行交流 (老师点评)1.圆是轴对称图形,它的对称轴是直径,我能找到无数多条直径 3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的 因此,我们可以得到 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线 (学生活动)请同学按下面要求完成下题 如图,AB是⊙0的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 0 (1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由 (老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD (2)AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ADB 这样,我们就得到下面的定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下 已知:直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M 求证:AM=BM,AC=BC,AD=BD 分析:要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此,只要连结OA、 或AC、BC即可 证明:如图,连结OA、OB,则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中 OA=OB OM=OM Rt△OAM≌Rt△OBM AM=BM 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com B A C O ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （学生活动）请同学们回答下面两个问题． 1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 你能找到多少条对称轴？ 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流． （老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径． 3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的． 因此，我们可以得到： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线． （学生活动）请同学按下面要求完成下题： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 CD⊥AB，垂足为 M． A B C D O M （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是 CD． （2）AM=BM， AC BC = ， AD BD = ，即直径 CD 平分弦 AB，并且平分 AB 及 ADB ． 这样，我们就得到下面的定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径 CD、弦 AB 且 CD⊥AB 垂足为 M 求证：AM=BM， AC BC = ， AD BD = . 分析：要证 AM=BM，只要证 AM、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结 OA、•OB 或 AC、BC 即可． 证明：如图，连结 OA、OB，则 OA=OB 在 Rt△OAM 和 Rt△OBM 中 OA OB OM OM = = ∴Rt△OAM≌Rt△OBM ∴AM=BM A B C O M
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ ∴点A和点B关于CD对称 ⊙0关于直径CD对称 当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,AC与BC重合,AD与BD重合 AC=BC, AD= BD 进一步,我们还可以得到结论: 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (本题的证明作为课后练习) 例1.如图,一条公路的转弯处是一段圆弦(即图中CD,点0是CD的圆心,其中 CD=600m,E为CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径 分析:例1是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解决几何 问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握 解:如图,连接OC 设弯路的半径为R,则OF=(R-90) ∵OE⊥CD CF=CD=×600=300(m) 根据勾股定理,得:0C=CF+0F2 即R2=3003+(R-90)2解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m 三、巩固练习 教材P86练习P88练习 四、应用拓展 例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图24-5所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱 顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由 分析:要求当洪水到来时,水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施,只要求出DE的长 因此只要求半径R,然后运用几何代数解求 解:不需要采取紧急措施 设OA=R,在Rt△AOC中,AC=30,CD=18 R2=302+(R-18)2R2=900+R2-36R+324 M N 解得R=34(m) 连接OM,设DE=x,在Rt△MOE中,ME=16 342=162+(34-x)2 162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0 解得x1=4,x2=64(不合设) ∴DE=4 ∵.不需采取紧急措施 五、归纳小结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握 1.圆的有关概念 2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com C E D O F A B C E D O M N ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称 ∵⊙O 关于直径 CD 对称 ∴当圆沿着直线 CD 对折时，点 A 与点 B 重合， AC 与 BC 重合， AD 与 BD 重合． ∴ AC BC = ， AD BD = 进一步，我们还可以得到结论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （本题的证明作为课后练习） 例 1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中 CD ，点 O 是 CD 的圆心， 其中 CD=600m，E 为 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径． 分析：例 1 是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何 问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接 OC 设弯路的半径为 R，则 OF=（R-90）m ∵OE⊥CD ∴CF= 1 2 CD= 1 2 ×600=300（m） 根据勾股定理，得：OC2 =CF2 +OF2 即 R 2 =3002 +（R-90）2 解得 R=545 ∴这段弯路的半径为 545m． 三、巩固练习 教材 P86 练习 P88 练习． 四、应用拓展 例 2．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图 24-5 所示，正常水位下水面宽 AB=•60m，水面到拱 顶距离 CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽 MN=32m 时是否需要采取紧急措施？请说明理由． 分析：要求当洪水到来时，水面宽 MN=32m•是否需要采取紧急措施， 只要求出 DE 的长， 因此只要求半径 R，然后运用几何代数解求 R． 解：不需要采取紧急措施 设 OA=R，在 Rt△AOC 中，AC=30，CD=18 R 2 =302 +（R-1 8）2 R 2 =900+R2 -36R+324 解得 R=34（m） 连接 OM，设 DE=x，在 Rt△MOE 中，ME=16 342 =162 +（34-x）2 162 +342 -68x+x2 =342 x 2 -68x+256=0 解得 x1=4，x2=64（不合设） ∴DE=4 ∴不需采取紧急措施． 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆的有关概念； 2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 3.垂径定理及其推论以及它们的应用 六、布置作业 1.教材P94复习巩固1、2、 2.车轮为什么是圆的呢? 3.垂径定理推论的证明. 4.选用课时作业设计 第一课时作业设计 选择题 1.如图1,如果AB为⊙0的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中,错误的是() A.CE=DEB.BC=BDC.∠BAC=∠BADD.AC>AD C E (1) 3) 2.如图2,⊙0的直径为10,圆心0到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是() 3.如图3,在⊙0中,P是弦AB的中点,CD是过点P的直径,则下列结论中不正确的是() A.AB⊥CI B.∠AOB=4∠ACDC.AD=BDD.PO=PD 二、填空题 1.如图4,AB为⊙0直径,E是BC中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC 0 2.P为⊙0内一点,OP=3cm,⊙0半径为5cm,则经过P点的最短弦长为 最长 弦长为 3.如图5,OE、OF分别为⊙0的弦AB、CD的弦心距,如果OE=OF,那么 (只需写一 个正确的结论 三、综合提高题 1.如图24-11,AB为⊙0的直径,C为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交AB 于N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3．垂径定理及其推论以及它们的应用． 六、布置作业 1．教材 P94 复习巩固 1、2、3． 2．车轮为什么是圆的呢？ 3．垂径定理推论的证明． 4．选用课时作业设计． 第一课时作业设计 一、选择题． 1．如图 1，如果 AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，那么下列结论中， 错误的是（ ）． A．CE=DE B． BC BD = C．∠BAC=∠BAD D．AC>AD B A C E D O A B O M A B C D P O (1) (2) (3) 2．如图 2，⊙O 的直径为 10， 圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则弦 AB 的长是（ ） A．4 B．6 C．7 D．8 3．如图 3，在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，则下列结论中不正确的是（ ） A．AB⊥CD B．∠AO B=4∠ACD C． AD BD = D．PO=PD 二、填空题 1．如图 4，AB 为⊙O 直径，E 是 BC 中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则 AC=_____． A B C E D O B A C E D O F (4) (5) 2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm，⊙O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为________； 最长 弦长为_______． 3．如图 5，OE、OF 分别为⊙O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，那么_______（只需写一 个正确的结论） 三、综合提高题 1．如图 24-11，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过 C、D 分别作 CN⊥CD、DM•⊥CD， 分别交 AB 于 N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ B 2.如图,⊙0直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长 3.(开放题)AB是⊙0的直径,AC、AD是⊙0的两弦,已知AB=16,AC=8,AD=8,求∠DAC 的度数 谷案: 、1.D2.D3.D 二、1.82.8103.AB=CD 三、1.AN=BM理由:过点0作OE⊥CD于点E,则CE=DE,且CN∥OE∥DM ON=OM,∴OA-ON=OB-OM, ∴AN=BM. 2.过0作OF⊥CD于F,如右图所示 ∴AE=2,EB=6,∴OE=2 ∴EF=√3,OF=1,连结OD 在Rt△ODF中,4=12+DF,DF=√5,:CD=2√15 3.(1)AC、AD在AB的同旁,如右图所示 AB=16,AC=8,AD=8√3, AC=-(一AB),∴∠CAB=60 同理可得∠DAB=30 ∴∠DAC=30° (2)AC、AD在AB的异旁,同理可得:∠DAC=60°+30°=90 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com B A C E D O F B A C D O N M 2．如图，⊙O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦 CD 长． B A C E D O 3．（开放题）AB 是⊙O 的直径，AC、AD 是⊙O 的两弦，已知 AB=16，AC=8，AD=•8， 求∠DAC 的度数． 答案: 一、1．D 2．D 3．D 二、1．8 2．8 10 3．AB=CD 三、1．AN=BM 理由：过点 O 作 OE⊥CD 于点 E，则 CE=DE，且 CN∥OE∥DM． ∴ON=OM，∴OA-ON=OB-OM， ∴AN=BM． 2．过 O 作 OF⊥CD 于 F，如右图所示 ∵AE=2，EB=6，∴OE=2， ∴EF= 3 ，OF=1，连结 OD， 在 Rt△ODF 中，4 2 =12 +DF2，DF= 15 ，∴CD=2 15 ． 3．（1）AC、AD 在 AB 的同旁，如右图所示: ∵AB=16，AC=8，AD=8 3 ， ∴ 1 2 AC= 1 2 （ 1 2 AB），∴∠CAB=60°， 同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°． （2）AC、AD 在 AB 的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°． _D _O _B _A _C