免费下载网址htt:/ jiaoxue5u.ys68com/ 公式法 教学目标 【知识与技能】 1.理解并掌握求根公式的推导过程 2.能利用公式法求一元二次方程的解 【过程与方法】 历探索求根公式的过程,加强推理技能,进一步发展逻辑思维能力 【情感态度】 用公式法求解一元二次方程的过程中,锻炼学生的运算能力,养成良好的运算习惯,培 养严谨认真的科学态度 【教学重点】 用公式法解一元二次方程. 【教学难点】 推导一元二次方程求根公式的过程 教学过程 情境导入,初步认识 我们知道,对于任意给定的一个一元二次方程,只要方程有解,都可以利用配方法求出 它的两个实数根.事实上,任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式,我们是 否也能用配方法求出它的解呢?想想看,该怎样做? 【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程,从而尝试着求ax2+bx+c (a≠0)的方程的解,导入新课,教学时,应给予足够的思考时间,让学生自主探究 二、思考探究,获取新知 通过问题情境思考后,师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 由ax2+bx+c=0(a≠0),移项,ax2+bx=-c.二次项系数化为1,得x2+-x=-.配方,得 )2,即(x+ 6--4ac 至此,教师应作适当停顿,提出如下问题,引导学生分析、探究: 1)两边能直接开平方吗?为什么? (2)你认为下一步该怎么办?谈谈你的看法 【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为,引导学生正确 认识代数式b2-4ac的取值与此方程的解之间的关系,加深认知教学时,应让学生积极主 动思考,畅所欲言,在相互交流中促进理解. 师生共同完善认知 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 公式法 【知识与技能】 1.理解并掌握求根公式的推导过程； 2.能利用公式法求一元二次方程的解. 【过程与方法】 经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力. 【情感态度】 用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培 养严谨认真的科学态度. 【教学重点】 用公式法解一元二次方程. 【教学难点】 推导一元二次方程求根公式的过程. 一、情境导入，初步认识 我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出 它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成 ax 2 +bx+c=0 的形式，我们是 否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？ 【教学说明】让学生回顾用配方法解一元二次方程的一般过程，从而尝试着求 ax 2 +bx+c=0 （a≠0）的方程的解，导入新课，教学时，应给予足够的思考时间，让学生自主探究. 二、思考探究，获取新知 通过问题情境思考后，师生共同探讨方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的解. 由 ax 2 +bx+c=0(a≠0),移项，ax 2 +bx=-c.二次项系数化为 1，得 x 2 + b a x=- c a .配方，得 x 2 + b a x+ 2 ( ) 2 b a =- c a + 2 ( ) 2 b a ，即 2 2 2 4 ( 2 4 ) b a a a b x − c + = . 至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究： （1）两边能直接开平方吗？为什么？ （2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法. 【教学说明】设置停顿并提出两个问题的目的在于纠正学生的盲目行为，引导学生正确 认识代数式 b 2 -4ac 的取值与此方程的解之间的关系，加深认知.教学时，应让学生积极主 动思考，畅所欲言，在相互交流中促进理解. 师生共同完善认知：
免费下载网址htt:/ jiaoxue5u.ys68com (1)当b2-4ac>0时,两边可直接开平方, 得 ac b+V62-4ac--b-Vb--4 2 (2)当b2-4c=0时,有(x+2)2=0.∴x (注意防止出现 的错误认识) (3)当b2-40时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根;当△=b2-4ac=0时 方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根;当Δ=b2-4ac0,∴原方程有两个不相等实数根 (3)原方程可化为3x2-√2x-2=0,∴a=3 2,c=-2,∴Δ=b2-4ac=(-√2)2-4×3 (-2)=2+24=26>0.∴原方程有两个不相等的实数根 例2用公式法解下列方程 (1)x2-4x-7=0;(2)2x2-2√2x+1=0:(3)5x2-3x=x+1;(4)x2+17=8x 分析:将方程化为一般形式后,找出a、b、c的值并计算b-4ac后,可利用公式求出方 程的解 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 一般地，式子 b 2 -4ac 叫做一元二次方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示， 即Δ=b2 -4ac.从而有： ①当Δ=b2 -4ac＞0 时，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2 -4ac=0 时， 方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2 -4ac＜0 时，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 没有实数解； ②当Δ≥0 时，方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成 x= 2 4 2 b b ac a − − ，这个 式子叫做一元二次方程 ax 2 +bx+ c=0(a≠0)的求根公式. 三、典例精析，掌握新知 例 1 不解方程，判别下列各方程的根的情况. (1)x2 +x+1=0; (2)x2 -3x+2=0; (3)3x2 - 2 x=2. 分析:找出方程中二次项系数、一次项系数和常数项，利用 b 2 -4ac 与 0 的大小关系可得结 论.注意：在确定方程中 a、b、c 的值时，一定要先把方程化为一般式后才能确定，否则 会出现失误. 解：（1）∵a=1,b=1,c=1,∴Δ=b2 -4ac=12 -4×1×1=-3＜0,∴原方程无实数解; (2)∵a=1,b=-3,c=2,∴Δ=b2 -4ac=(-3)2 -4×1×2=1＞0,∴原方程有两个不相等实数根； （3）原方程可化为 3x2 - 2 x-2=0,∴a=3,b=- 2 ,c=-2,∴Δ=b 2 -4ac=(- 2 ) 2 -4×3× (-2) =2+24=26＞0.∴原方程有两个不相等的实数根. 例 2 用公式法解下列方程： (1)x2 -4x-7=0; (2)2x2 -2 2 x+1=0; (3)5x2 -3x=x+1; (4)x2 +17=8x 分析：将方程化为一般形式后，找出 a、b、c 的值并计算 b 2 -4ac 后，可利用公式求出方 程的解
免费下载网址ht: JIaoxue5uysl68com/ 解:(1)∵a=1,b=-4,c=-7,Δ=b2 4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0,方程的 两个实数根为x=44-2,即x,=2 (2)∵a=2,b=-2,c=1,且Δ=b2 4ac=(-2)2-4×2×1=0,方程有两个相 等的实数根x1=x2=-2a-2 (3)方程可化为5x2-4x-1=0.此时a= 5,b=-4,c=-1,△=b2-4ac=36>0,∴方程 有两个不相等的实数根x= b士\b2-4ac 4±√364±6 即x,=1 10 (4)方程可化为x2-8x+17=0.此时a= 1.b=-8,c=17.△=b2-4ac=64-68=-4 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【教学说明】以上两例均可让学生自主完成，同时选派同学上黑板演算.教师巡视，针对 学生的困惑及时予以指导，最后共同评析黑板上作业，一方面引导学生关注其解答是否 正确，同时还应注意其解答格式是否规范，查漏补缺，深化理解.教师接着引导学生阅读 第 12 页有关引言中问题的解答，向学生提问：（1）什么情况下根的取值为正数？（2） 列方程解决实际问题在取值时应注意什么？ 四、运用新知，深化理解 1.关于 x 的方程 x 2 -2x+m=0 有两个实数根，则 m 的取值范围是 . 2.如果关于 x 的一元二次方程 k 2 x 2 -（2k+1）x+1=0 有两个不相等实数根，那么 k 的取值 范围是（ ） A.k＞- 1 4
免费下载网址ht: JIaoxue5uysl68com/ B.k>--且k≠0 D.k≥--且k≠0 3.方程√2x+4√3x+6√2=0的根是() B.x=6,x=√2 D.x1=x2=- √6 4.关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0,试求m的值 (注:56题为教材第12页练习) 5解下列方程: (2)x2-√3x-14-0 (3)3x2-6x-2=0; (4)4x2-6x=0; (5)x2+4x+8=4x+11 (6)x(2x-4)=5-8x 6.求第21.1节中问题1的答案 【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识,在学中练、练中学的活动中得到 巩固和提高 【答案】1.m≤1 2.B 3.D 4.把x=0代入方程,得m2+2m-3=0,解得m=1,m=-3,又∵m1≠0,即m≠1,故m的值为-3 56略 五、师生互动,课堂小结 通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?说说看 【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中,进一步完善认知,师生共同归纳 总结 课后作业 1.布置作业:从教材“习题21.2”中选取 2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分 曾教学反思 1.本课容量较大,难度较大,计算的要求较高,因此在教学设计各环节均围绕着利用公 式法解一元二次方程这一重点内容展开,问题设计,课堂学习有利于学生强化运算能力, 掌握基本技能,也有利于教师发现教学中存在的问题. 2.在教学设计中,引导学生自主探索一元二次方程的求根公式,在师生讨论中发现求根 公式,并学会利用公式解一元二次方程 3.整个课堂都以学生动手训练为主,让学生积极介入探索活动,体验到成功的喜悦 4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法,它使解一元二次 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com B.k＞- 1 4 且 k≠0 C.k＜- 1 4 D.k≥- 1 4 且 k≠0 3.方程 2 x 2 +4 3 x+6 2 =0 的根是（ ） A.x1= 2 ，x2= 3 B.x1=6, x2= 2 C.x1=2 2 , x2= 2 D.x1=x2=- 6 4.关于 x 的一元二次方程（m-1）x 2 +x+m2 +2m-3=0 有一个根为 0，试求 m 的值. （注：5~6 题为教材第12 页练习） 5.解下列方程： （1）x 2 +x-6=0; （2）x 2 - 3 x-14=0; （3）3x2 -6x-2=0; （4）4x2 -6x=0; （5）x 2 +4x+8=4x+11; （6）x(2x-4)=5-8x. 6.求第 21.1 节中问题 1 的答案. 【教学说明】通过练习可进一步理解和掌握本节知识，在学中练、练中学的活动中得到 巩固和提高. 【答案】1.m≤1 2.B 3.D 4.把 x=0 代入方程，得 m 2 +2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3,又∵m-1≠0，即 m≠1,故 m 的值为-3. 5~6 略 五、师生互动，课堂小结 通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看. 【教学说明】在学生回顾与反思本节课的学习过程中，进一步完善认知，师生共同归纳 总结. 1.布置作业：从教材“习题 21.2”中选取. 2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分. 1.本课容量较大，难度较大，计算的要求较高，因此在教学设计各环节均围绕着利用 公 式法解一元二次方程这一重点内容展开，问题设计，课堂学习有利于学生强化运算能力， 掌握基本技能，也有利于教师发现教学中存在的问题. 2.在教学设计中，引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，在师生讨论中发现求根 公式，并学会利用公式解一元二次方程. 3.整个课堂都以学生动手训练为主，让学生积极介入探索活动，体验到成功的喜悦. 4.公式法是在配方法的基础上推出的一种解一元二次方程的基本方法，它使解一元二次
免费下载网址htt:jiaoxue5uys68.com 方程更加简便,在公式的运用中,涉及到根的判别式,使公式法解一元二次方程得到延 续和深化 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 方程更加简便，在公式的运用中，涉及到根的判别式，使公式法解一元二次方程得到延 续和深化