免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 弧、弦、圆心角 教学内容 1.圆心角的概念 2.有关弧、弦、圆心角关系的定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等. 3.定理的推论:在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所 对的弦相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 教学目标 了解圆心角的概念:掌握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用 通过复习旋转的知识,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量 都分别相等,最后应用它解决一些具体问题 重难点、关键 1.重点:定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对弦也相等及其 两个推论和它们的应用 2.难点与关键:探索定理和推导及其应用 教学过程 、复习引入 (学生活动)请同学们完成下题 已知△OAB,如图所示,作出绕0点旋转30°、45°、60°的图形 老师点评:绕0点旋转,O点就是固定点,旋转30°,就是旋转角∠BOB′=30° 探索新知 如图所示,∠AOB的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角 (学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题 如图所示的⊙0中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心0旋转 到∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 弧、弦、圆心角 教学内容 1．圆心角的概念． 2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等． 3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所 对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 教学目标 了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可 以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用． 通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等 圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量 都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键 1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对弦也相等及其 两个推论和它们的应用． 2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下题． 已知△OAB，如图所示，作出绕 O 点旋转 30°、45°、60°的图形． B A O 老师点评：绕 O 点旋转，O 点就是固定点，旋转 30°，就是旋转角∠BOB′=30°． 二、探索新知 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． B A O （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转 到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ B AB=A'B',AB=A′B′ 理由:∵半径OA与0′A′重合,且∠AOB=∠A′OB′ 半径OB与OB′重合 ∴点A与点A′重合,点B与点B′重合 AB与A"B'重合,弦AB与弦A′B′重合 Ab=AB, AB=AB 因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等 在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢?请同学们现在动 手作一作 (学生活动)老师点评:如图1,在⊙0和⊙0中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′0′ B′得到如图2,滚动一个圆,使0与0′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋转一个角度, 使得OA与0′A′重合 0 你能发现哪些等量关系?说一说你的理由? 我能发现:AB=A'B',AB=AB 现在它的证明方法就转化为前面的说明了,这就是又回到了我们的数学思想上去呢 一化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等 (学生活动)请同学们现在给予说明一下 请三位同学到黑板板书,老师点评 例1.如图,在⊙0中,AB、CD是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为EF (1)如果∠AOB=∠COD,那么OE与0F的大小有什么关系?为什么? 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com B' B A A' O AB = A B' ' ，AB=A′B′ 理由：∵半径 OA 与 O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径 OB 与 OB′重合 ∵点 A 与点 A′重合，点 B 与点 B′重合 ∴ AB 与 A B' ' 重合，弦 AB 与弦 A′B′重合 ∴ AB = A B' ' ，AB=A′B′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 请同学们现在动 手作一作． （学生活动）老师点评：如图 1，在⊙O 和⊙O′中， 分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A′O′ B′得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度， 使得 OA 与 O′A′重合． O' O(O') O B' A' B B ' O(O') O' O B A A A ' (1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现： AB = A B' ' ，AB=A/ B /． 现在它的证明方法就转化为前面的说明了， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢─ ─化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧也相等． （学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评． 例 1．如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为 EF． （1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ (2)如果OE=0F,那么AB与CD的大小有什么关系?AB与CD的大小有什么关系?为什 么?∠AOB与∠COD呢? 分析:(1)要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,即 说明AB=CD,因此,只要运用前面所讲的定理即可 (2)∵OE=OF,∴在Rt△AOE和Rt△COF中, 又有AO=C0是半径,∴Rt△AOE≌Rt△COF ∴AE=CF,∴AB=CD,又可运用上面的定理得到AB=CD 解:(1)如果∠AOB=∠COD,那么OE=OF 理由是:∵∠AOB=∠COD ∵OE⊥AB,OF⊥CD AE=-AB, CF AE=CF 又∵0A=0C ∴Rt△OAE≌Rt△OCF (2)如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,∠AOB=∠COD 理由是 ∵OA=0C,OE=OF Rt△OAE≌Rt△OCF 又∵OE⊥AB,OF⊥CD ∴AE=一AB,CF=-CD ∴AB=2AE,CD=2CF ∴AB=CD AB=CD,∠AOB=∠COD 三、巩固练习 教材P89练习1教材P90练习2 四、应用拓展 例2.如图3和图4,MN是⊙0的直径,弦AB、CD相交于MN上的一点P,∠APM=∠ 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （2）如果 OE=OF，那么 AB 与 CD 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？ 为什 么？∠AOB 与∠COD 呢？ O B A C E D F 分析：（1）要说明 OE=OF，只要在直角三角形 AOE 和直角三角形 COF 中说明 AE=CF，即 说明 AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可． （2）∵OE=OF，∴在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中， 又有 AO=CO 是半径，∴Rt△AOE≌Rt•△COF， ∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到 AB =CD 解：（1）如果∠AOB=∠COD，那么 OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= 1 2 CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴OE=OF （2）如果 OE=OF，那么 AB=CD， AB =CD ，∠AOB=∠COD 理由是： ∵OA=OC，OE=OF ∴Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AE=CF 又∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴AE= 1 2 AB，CF= 1 2 CD ∴AB=2AE，CD=2CF ∴AB=CD ∴ AB =CD ，∠AOB=∠COD 三、巩固练习 教材 P89 练习 1 教材 P90 练习 2． 四、应用拓展 例 2．如图 3 和图 4，MN 是⊙O 的直径，弦 AB、CD•相交于 MN•上的一点 P， ∠APM=∠
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ CPM (1)由以上条件,你认为AB和CD大小关系是什么,请说明理由 (2)若交点P在⊙0的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明 理由 (3) 分析:(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等,只要说明它们的一半 相等. 上述结论仍然成立,它的证明思路与上面的题目是一模一样的 解:(1)AB=CD 理由:过0作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB 根据垂径定理可得:AB=CD (2)作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F APM=∠CPN且OP=0P.,∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF 连接OA、OB、OC、OD 易证Rt△OBE≌Rt△ODF,Rt△OAE≌Rt△OCF ∴AB=CD 五、归纳总结(学生归纳,老师点评) 本节课应掌握: 1.圆心角概念 2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都部分相等,及其它们的应用 六、布置作业 1.教材P94-95复习巩固4、5、6、7、8 2.选用课时作业设计 第二课时作业设计 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com CPM． （1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点 P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明 理由． B A C E D P O N M F B A C E D P N M F (3) (4) 分析：（1）要说明 AB=CD，只要证明 AB、CD 所对的圆心角相等， 只要说明它们的一半 相等． 上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD 理由：过O 作 OE、OF 分别垂直于 AB、CD，垂足分别为 E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结 OD、OB 且 OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作 OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为 E、F ∵∠APM=∠CPN 且 OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接 OA、OB、OC、OD 易证 Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD 五、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念． 2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所 对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 六、布置作业 1．教材 P94-95 复习巩固 4、5、6、7、8． 2．选用课时作业设计． 第二课时作业设计
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ 、选择题 1.如果两个圆心角相等,那么() A.这两个圆心角所对的弦相等;B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D.以上说法都不对 2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB与CD关系是() A.AB=2CDB.AB>CDC.AB2AC (5) 二、填空题 1.交通工具上的轮子都是做圆的,这是运用了圆的性质中的 2.一条弦长恰好为半径长,则此弦所对的弧是半圆的 3.如图6,AB和D是⊙0的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE 三、解答题 1.如图,在⊙0中,C、D是直径AB上两点,且AC=BD,MC⊥AB,N⊥AB,M、N在⊙0 上 (1)求证:AM=BN; (2)若C、D分别为OA、OB中点,则AM=MN=NB成立吗? 2.如图,以口ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作圆,分别交BC、AD于E、F,若∠D=50 求BE的度数和EF的度数 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 一、选择题． 1．如果两个圆心角相等，那么（ ） A．这两个圆心角所对的弦相等;B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧 AB 与 CD 关系是（ ） A． AB =2 CD B． AB > CD C． AB 2AC O B A C O A B C E D (5) (6) 二、填空题 1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________． 3．如图 6，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，则弦 CE=________． 三、解答题 1．如图，在⊙O 中，C、D 是直径 AB 上两点，且 AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O 上． （1）求证： AM = BN ； （2）若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则 AM MN NB = = 成立吗？ O A B C D www.czsx.com.cn M N 2．如图，以 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交 BC、AD 于 E、F，若∠D=50°， 求 BE 的度数和 EF 的度数．
免费下载网址htt:jiaoxuesu.ys1.68.com/ E 3.如图,∠AOB=90°,C、D是AB三等分点,AB分别交0C、OD于点E、F,求证:AE=BF=CD 答案 1.D2. 、1.圆的旋转不变形2.或二3.3 三、1.(1)连结OM、ON,在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON,OA=0B ∵AC=DB,∴OC=OD,∴Rt△OCM≌Rt△ODN, ∠AOM=∠BON,∴AM=NB (2) AM= MN= NB 2.BE的度数为80°,EF的度数为50 3.连结AC、BD,∵C、D是AB三等分点 AC=CD=DB,且∠AOC=-×90 ∵OA=0C,∴∠OAC=∠OCA=75° 又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°, ∴AE=AC 同理可证BF=BD,∴AE=BF=CD 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com B A E C D www.czsx.com.cn F 3．如图，∠AOB=90°，C、D 是 AB 三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证：AE=BF=CD． 答案: 一、1．D 2．A 3．C 二、1．圆的旋转不变形 2． 1 3 或 5 3 3．3 三、1．（1）连结 OM、ON，在 Rt△OC M 和 Rt△ODN 中 OM=ON，OA=OB， ∵AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN， ∴∠AOM=∠BON，∴ AM NB = （2） AM MN NB = = 2．BE 的度数为 80°，EF 的度数为 50°． 3．连结 AC、BD，∵C、D 是 AB 三等分点， ∴AC=CD=DB，且∠AOC= 1 3 ×90°=30°， ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°， 又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC， 同理可证 BF=BD，∴AE=BF=CD