免费下载网址ht:/ Jiaoxie5uys68com 圆周角 曾教学目标 【知识与技能】 解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系,并会用圆周角定理及推 论进行有关计算和证明 【过程与方法】 经历探索圆周角定理的过程,初步体会分类讨论的数学思想,渗透解决不确定的探索型 问题的思想和方法,提高学生的发散思维能力 【情感态度】 通过积极引导,帮助学生有意识地积累活动经验,获得成功的体验 【教学重点】 圆周角定理及其推论的探究与应用 【教学难点】 圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及 圆周角定理及推论的应用 教学过程 、情境导入,初步认识 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看 窗内的海洋动物,同学甲站在圆心0的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C, 他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D 和E,他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗? 丙 C 玻璃 丁E 相同,2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB] 【教学说明】教师出示海洋馆图片,引导学生思考,引出课题,学生观察图形、分析 初步感知角的特征 二、思考探究,获取新知 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 圆周角 【知识与技能】 理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推 论进行有关计算和证明. 【过程与方法】 经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型 问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力. 【情感态度】 通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验. 【教学重点】 圆周角定理及其推论的探究与应用. 【教学难点】 圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及 圆周角定理及推论的应用. 一、情境导入，初步认识 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗 AB 观看 窗内的海洋动物，同学甲站在圆心 O 的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C， 他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置 D 和 E，他们的视角（∠ADB 和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？ ［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］ 【教学说明】教师出示海洋馆图片，引导学生思考，引出课题，学生观察图形、分析， 初步感知角的特征. 二、思考探究，获取新知
免费下载网址ht:/ Jiaoxie5uys68com 1.圆周角的定义 探究1观察下列各图,图(1)中∠APB的顶点P在圆心0的位置,此时∠APB叫做圆心 角,这是我们上节所学的内容.图(2)中∠APB的顶点P在⊙0上,角的两边都与⊙0相 交,这样的角叫圆周角.请同学们分析(3)、(4)、(5)、(6)是圆心角还是圆周角 【教学说明】设计这样的一个判断角的问题,是再次强调圆周角的定义,让学生深刻体 会定义中的两个条件缺一不可 (P) (1) (2) (3) ·O B B (4) (5) (6) 【归纳结论】圆周角必须具备两个条件:①顶点在圆上:②角的两边都与圆相交.二者缺 不可. 2.圆周角定理 探究2如图,(1)指出⊙0中所有的圆心角与圆周角,并指出这些角所对的是哪一条弧? (2)量一量∠D、∠C、∠AOB的度数,看看它们之间有什么样的关系? (3)改变动点C在圆周上的位置,看看圆周角的度数有没有变化?你发现其中有规律吗? 若有规律,请用语言叙述 解:(1)圆心角有:∠AOB圆周角有:∠C、∠D,它们所对的都是AB 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 1.圆周角的定义 探究 1 观察下列各图，图（1）中∠APB 的顶点 P 在圆心 O 的位置，此时∠APB 叫做圆心 角，这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB 的顶点 P 在⊙O 上，角的两边都与⊙O 相 交，这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角. 【教学说明】设计这样的一个判断角的问题，是再次强调圆周角的定义，让学生深刻体 会定义中的两个条件缺一不可. 【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺 一不可. 2.圆周角定理 探究 2 如图，（1）指出⊙O 中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？ （2）量一量∠D、∠C、∠AOB 的度数，看看它们之间有什么样的关系？ （3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？ 若有规律，请用语言叙述. 解：（1）圆心角有：∠AOB 圆周角有：∠C、∠D，它们所对的都是 AB
免费下载网址ht: JIaoxue5uysl68com (2)∠C=∠D=1/2∠AOB (3)改变动点C在圆周上的位置,这些圆周角的度数没有变化,并且圆周角的度数恰 好等于同弧所对圆心角度数的一半 【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小,移动点C,让学生观察当C点位置发生改 变过程中,图中有哪些不变,从而交流总结,找出规律,同时引导学生观察圆心与圆周 角的位置关系,为定理分情况证明作铺垫 为了进一步研究上面发现的结论,如图,在⊙0上任取一个圆周角∠ACB,将圆对折,使 折痕经过圆心0和∠ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同,这时折痕可能会: (1)在圆周角的一条边上 (2)在圆周角的内部 (3)在圆周角的外部 (1) (2) (3) 已知:在⊙0中,AB所对的圆周角是∠ACB,圆心角是∠AOB,求证:∠ACB=1/2∠AOB. 提示分析:我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.] 如图(1),圆心0在∠ACB的边上,∵OB=0C,∴∠B=∠C,而∠BOA=∠B+∠C ∴∠B=∠C=1/2∠AOB. 图(2)(3)的证明方法与图(1)不同,但可以转化成(1)的基本图形进行证明,证明 过程请学生们讨论完成 得出圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半 注意:①定理应用的条件是“同圆或等圆中”,而且必须是“同弧或等弧”,如下图(1) ②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的 圆周角有两种情况,它们一般不相等(而是互补).如下图(2). 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com （2）∠C=∠D=1/2∠AOB .（3）改变动点 C 在圆周上的位置，这些圆周角的度数没有变化，并且圆周角的度数恰 好等于同弧所对圆心角度数的一半. 【教学说明】教师利用几何画板测量角的大小，移动点 C，让学生观察当 C 点位置发生改 变过程中，图中有哪些不变，从而交流总结，找出规律，同时引导学生观察圆心与圆周 角的位置关系，为定理分情况证明作铺垫. 为了进一步研究上面发现的结论，如图，在⊙O 上任取一个圆周角∠ACB，将圆对折，使 折痕经过圆心 O 和∠ACB 的顶点 C.由于点 C 的位置的取法可能不同，这时折痕可能会： （1）在圆周角的一条边上； （2）在圆周角的内部； （3）在圆周角的外部. 已知：在⊙O 中， AB 所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，求证：∠ACB=1/2∠AOB. ［提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.］ 如图（1），圆心 O 在∠ACB 的边上，∵OB=OC，∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C， ∴∠B=∠C=1/2∠AOB. 图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明 过程请学生们讨论完成. 得出圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半. 注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）. ②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的 圆周角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.com/ O (1)∠1=∠2 (2)∠C1与∠C2都是 但AB≠CD 弦AB所对的圆周 角很明显∠C1≠∠C2 【教学说明】在定理的证明过程中,要使学生明确,要不要分情况来证明.若要分情况证 明,必须要明白按什么标准来分情况,然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过 程中,第(1)种情况是特殊情况,是比较容易证明的,经过添加直径这条辅助线将(2 种情况转化为第(1)种情况,体现由一般到特殊的思想方法。对于后面要学生注 两个问题,是为了加强学生对圆周角定理的理解,使学生能准确的掌握好圆周角定 3.圆周角定理的推论 议一议(1)特殊的弧一一半圆,它所对的圆周角是多少度呢? 2)如果一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是多少呢? 结论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.(圆周角定 理的推论) 【教学说明】这个推论是圆中很重要的性质,为在圆中确定直角,构成垂直关系创造了 条件.同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据 4.圆内接四边形 定义:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这 个圆叫做这个多边形的外接圆 如图,四边形ABCD是⊙0的内接四边形 ⊙0是四边形ABCD的外接圆 连接OB、OD,由圆周角定理可知 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 【教学说明】在定理的证明过程中，要使学生明确，要不要分情况来证明.若要分情况证 明，必须要明白按什么标准来分情况，然后针对各种不同的情况逐个进行证明.在证明过 程中，第（1）种情况是特殊情况，是比较容易证明的，经过添加直径这条辅助线将（2）、 （3）种情况转化为第（1）种情况，体现由一般到特殊的思想方法。对于后面要学生注 意的两个问题，是为了加强学生对圆周角定理的理解，使学生能准确的掌握好圆周角定 理。 3.圆周角定理的推论 议一议（1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度呢？ （2）如果一条弧所对的圆周角是 90°，那么这条弧所对的圆心角是多少呢？ 结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直 角，90°的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定 理的推论） 【教学说明】这个推论是圆中很重要的性质，为在圆中确定直角，构成垂直关系创造了 条件.同时这一结论为在圆中证明直径提供了重要依据. 4.圆内接四边形 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这 个圆叫做这个多边形的外接圆. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形. ⊙O 是四边形 ABCD 的外接圆. 连接 OB、OD，由圆周角定理可知：
免费下载网址htt: JIaoxue5uys68cm ∠A=1/2∠1,∠C=1/2∠2 而∠1+∠2=360°,∴∠A+∠C=2 2=180 ∠A与∠C互补,同理可得∠ADC+∠ABC=180° 由此可知在⊙0的内接四边形ABCD中,对角∠A与∠C,∠ADC与∠ABC互补 若延长BC至E,使得四边形ABCD有一个外角∠DCE,则∠DCE+∠BCD=180° ∴∠A=∠DCE.即:外角∠DCE与内对角∠A相等. 由此可知圆内接四边形有如下性质: 圆内接四边形的对角互补,外角等于内对角 【教学说明】从圆内接四边形的定义出发,可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角 再由圆周角定理,把圆周角与相应的圆心角联系起来,就很容易得出圆内接四边形的性 质定理.对于这个性质,学生要能分清这个命题的题设和结论,并结合图形写出已知和求 三、典例精析,获取新知 例1如图,⊙0的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙0于D 求BC、AD、BD的长 B 分析:由直径AB可知△ACB和△ADB为直角三角形,进而可用勾股定理求BC,又由CD 平分∠ACB可知∠1=∠2,从而得到AD、BD.再次用勾股定理求出AD、BD的长 解:∵AB为⊙0的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°,∴△ACB和△ADB为直角三角形 在R△C中, L VAB2-AC=√102-62=8(m) CD平分∠ACB,∴∠1=∠2,∴AD=BD,∴AD=BD 又在Rt△ABD中,AD=BD=√2/2AB=5√2(cm) 【教学说明】利用圆周角定理及其推论,将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题 上来 例2如图.AB为⊙0的直径,点C、D在⊙0上,∠AOD=30°.求∠BCD的度数 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com ∠A=1/2∠1，∠C=1/2∠2 而∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C= ∴∠A 与∠C 互补，同理可得∠ADC+∠ABC=180°. 由此可知在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，对角∠A 与∠C，∠ADC 与∠ABC 互补. 若延长 BC 至 E，使得四边形 ABCD 有一个外角∠DCE，则∠DCE+∠BCD=180°. ∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE 与内对角∠A 相等. 由此可知圆内接四边形有如下性质： 圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角. 【教学说明】从圆内接四边形的定义出发，可知圆内接四边形的四个内角都是圆周角， 再由圆周角定理，把圆周角与相应的圆心角联系起来，就很容易得出圆内接四边形的性 质定理.对于这个性质，学生要能分清这个命题的题设和结论，并结合图形写出已知和求 证. 三、典例精析，获取新知 例 1 如图，⊙O 的直径 AB 为 10cm，弦 AC 为 6cm，∠ACB 的平分线交⊙O 于 D. 求 BC、AD、BD 的长. 分析：由直径 AB 可知△ACB 和△ADB 为直角三角形，进而可用勾股定理求 BC，又由 CD 平分∠ACB 可知∠1=∠2，从而得到 AD、BD.再次用勾股定理求出 AD、BD 的长. 解：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴△ACB 和△ADB 为直角三角形. 在 Rt△ABC 中，BC= =8（cm）. ∵CD 平分∠ACB，∴∠1=∠2，∴AD=BD，∴ AD BD = .又在 Rt△ABD 中，AD=BD= 2 /2 AB=5 2 （cm） 【教学说明】利用圆周角定理及其推论，将求线段长的问题转化到解直角三角形的问题 上来. 例 2 如图.AB 为⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，∠AOD=30°.求∠BCD 的度数
免费下载网址ht:/ Jiaoxie5uys68com 30 B 分析:这题有两种解答思路,可用圆周角定理,∠C=(180°+∠AOD)×1/2,也可由圆 内接四边形的对角互补知:∠C+∠A=180°,而∠A=∠D,是等腰△OAD的两底角,从而可 求出∠C.两种方法都不难求出∠C=105° 【教学说明】教师提示,学生可自主选择方法,并由学生板书解答过程,发展学生的数 学符号语言能力 四、运用新知,深化理解 1.如图(1)所示,⊙0的直径AE=10cm.∠B=∠EAC,求AC的长 2.如图(2)所示,AB是⊙0的直径,以AO为直径的⊙C与⊙0的弦AD相交于点E.(1) 你认为图中有哪些相等的线段?(2)连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的? 3.如图(3)所示,两圆相交于A、B两点,小圆经过大圆的圆心0,点C、D分别在两圆 上,若∠ADB=100°,求∠ACB的度数 【教学说明】让学生通过习题巩固本节知识点,同时体会这节常见题型及常见辅助线的 作法在解题过程中,教师要对没有找到方法的学生进行点拨. 【答案】1.5√2cm 2.(1)0A=OB,AC=0C,AE=DE(2)OE=1/2BD且OE∥BD 3.40° 五、师生互动,课堂小结 师生共同回顾本节所学的知识点有哪些?常见的辅助线有哪些? 【教学说明】学生自主交流小结,教师加以补充和点评,营造轻松愉悦的氛围. 课后作业 1.布置作业:从教材“习题24.1”中选取 2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分 教学反思 1.这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探索圆周角与圆心角关系过程中,要求 学生学会分类讨论,以及转化的数学思想解决问题,同时也培养了学生勇于探索的精神. 其次,本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质,通过例题和习题训练, 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分析：这题有两种解答思路，可用圆周角定理，∠C=（180°+∠AOD）×1/2，也可由圆 内接四边形的对角互补知：∠C+∠A=180°.而∠A=∠D，是等腰△OAD 的两底角，从而可 求出∠C.两种方法都不难求出∠C=105°. 【教学说明】教师提示，学生可自主选择方法，并由学生板书解答过程，发展学生的数 学符号语言能力. 四、运用新知，深化理解 1.如图（1）所示，⊙O 的直径 AE=10cm.∠B=∠EAC，求 AC 的长. 2.如图（2）所示，AB 是⊙O 的直径，以 AO 为直径的⊙C 与⊙O 的弦 AD 相交于点 E.（1） 你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接 OE、BD.你认为 OE 与 BD 之间的关系是怎样的？ 3.如图（3）所示，两圆相交于 A、B 两点，小圆经过大圆的圆心 O，点 C、D 分别在两圆 上，若∠ADB=100°，求∠ACB 的度数. 【教学说明】让学生通过习题巩固本节知识点，同时体会这节常见题型及常见辅助线的 作法.在解题过程中，教师要对没有找到方法的学生进行点拨. 【答案】1. 5 2 cm 2.(1)OA=OB，AC=OC，AE=DE (2)OE=1/2BD 且 OE∥BD 3.40° 五、师生互动，课堂小结 师生共同回顾本节所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？ 【教学说明】学生自主交流小结，教师加以补充和点评，营造轻松愉悦的氛围. 1.布置作业：从教材“习题 24.1”中选取. 2.完成创优作业中本课时 练习的“课时 作业”部分. 1.这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探索圆周角与圆心角关系过程中，要求 学生学会分类讨论，以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探索的精神. 其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练
免费下载网址http:/jiaoxue5u.ys168.co 可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识,从中获取成功的经验,建立学 习的自信心 2.圆周角定理的证明分了三种情况探讨,这里蕴含着重要的数学思想一一分类思想,教 材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等,故教学过程中要整理相互 解压密码联系qq1139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠! 淘宝网址: JIaoxue5 u taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！ 淘宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取 成功的经验，建立学 习的自信心. 2.圆周角定理的证明分了 三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教 材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互