parent 第二十七章图形的相似 27.2相似三角形 第2课时由三边和两边夹角判定三角形相似
第二十七章 图形的相似 27．2 相似三角形 第2课时 由三边和两边夹角判定三角形相似
G分钟分 知识点梳理 parent 三边成比例的两个三角形相似 2·两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
1．三边_ _的两个三角形相似． 2．两边_ _且_ _相等的两个三角形相似． 成比例 成比例 夹角
①0分钟分 知识点训练 parent 知识点(1)三边成比例的两个三角形相 1·(4分)有甲、乙两个三角形木框,甲三角形木框的三边长分别为1,V,√5,乙三角 形木框的三边长分别为5,√5,√10,则甲、乙两个三角形(A) A·一定相似B.一定不相似C·不一定相似D.无法判断 2·(4分)如图,4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点 上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是(B) }--+-1 A B C D 3.(4分)如图,若 A B C,P:Q,甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点,为使△ABC∽△PQR 则点R应是甲、乙、丙、丁点中的(C :";"“; A·甲 B·乙 C·丙 D.丁 .B
3．(4 分)如图，若 A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸的格点，为使△ABC∽△PQR， 则点 R 应是甲、乙、丙、丁点中的( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 三边成比例的两个三角形相似 1．(4 分)有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为 1， 2， 5，乙三角 形木框的三边长分别为 5， 5， 10，则甲、乙两个三角形( ) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 2．(4 分)如图，4×4 的正方形网格中，小正方形的边长均为 1，三角形的顶点都在格点 上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( ) A B C
AB BC AC parent 4·(6分)如图,已知 ADDE=AE,∠BAD=20°,求∠CAE的大小 E AB BC AC 解:· AD DE AE’∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,又∠DAC是公共角, ∠CAE=∠BAD=20°
4．(6 分)如图，已知AB AD ＝ BC DE ＝ AC AE ，∠BAD＝20° ，求∠CAE 的大小． 解：∵ AB AD＝ BC DE＝ AC AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，又∠DAC 是公共角， ∴∠CAE＝∠BAD＝20°
parent 知识点(2)两边成比例且角相等的两个三角形相 5·(4分)如图,∠DAB=∠CAE,AB·AD=AEAC,则∠D=∠C E D 6.(4分)如图,AB·AE=ACAD,则△ADE∽△ABC_,∠D=∠B 7(4分)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①、② ③、④四个三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定正确的是(B) A·①和②相似B.①和③相似C·①和④相似D.②和④相似 A D 8.(4分)如图,下列条件中,能使△ACD∽△ABC的是(D) AC AB CD AD CD BC BC AC C·CD= AD.BD.AC=ADAB
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 5．(4 分)如图，∠DAB＝∠CAE，AB·AD＝AE·AC，则∠D＝_ _． 6．(4 分)如图，AB·AE＝AC·AD，则△ADE∽_ _，∠D＝_ _． 7．(4 分)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，且将这个四边形分成①、②、 ③、④四个三角形．若 OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( ) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．②和④相似 8．(4 分)如图，下列条件中，能使△ACD∽△ABC 的是( ) A. AC CD＝ AB BC B. CD BC＝ AD AC C．CD2 ＝AD·BD D．AC2 ＝AD·AB ∠C △ABC ∠B B D
parent 9·(6分)如图,D是△ABC的边BC上的一点,AB=2,BD=1,DC=3, 求证:△DBA∽△ABC B 1 D AB BD 证明:∵AB=2,BD=1,DC=3,∴BC=BD+DC=4,∴ BC=AB=5,又∵∠B=∠B, ∴△DBA∽△ABC
9．(6 分)如图，D 是△ABC 的边 BC 上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3， 求证：△DBA∽△ABC. 证明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，∴BC＝BD＋DC＝4，∴AB BC＝ BD AB＝ 1 2 ，又∵∠B＝∠B， ∴△DBA∽△ABC
0)分钟了 日日清 知识点整合训练 parent 、选择题(每小题8分,共8分) 10·如左图所示,在正方形网格上有6个三角形 ①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK其中②~⑥中与①相 似的是(B) A.②③④B.③④⑤C·④⑤⑥D.②③⑥ 4) E C 二、填空题(每小题8分,共16分) AD AE 11·如中图,已知∠DAB=∠CAE,请补充一个条件:AB_AC,使△ABC∽△ADE 12.如右图,已知△ABC中,∠ABC=90,在△BCD中,∠BDC=90°,且AC=5, 1216 BC=4,则BD=飞 时,图中的两个直角三角形相似
一、选择题(每小题 8 分，共 8 分) 10．如左图所示，在正方形网格上有 6 个三角形： ①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥中与①相 似的是( ) A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥ 二、填空题(每小题 8 分，共 16 分) 11．如中图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：_ _，使△ABC∽△ADE. 12．如右图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，在△BCD 中，∠BDC＝90°，且 AC＝5， BC＝4，则 BD＝_ _时，图中的两个直角三角形相似． B AD AB ＝ AE AC 12 5 或 16 5
三、解答题(共36分) parent 13·(10分)如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形 (1)当AC,CD,BD满足什么数量关系时,△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数 CD 解:(1)当CD2=AC·BD时,△ACP△PDB提示:由CD2=ACBD,得AC BD PD BD CD’即AC=PC,又∠ACP=∠PDB=120°,∴△ACPe△PDB (2)∠APB=120°x
三、解答题(共 36 分) 13．(10 分)如图，点 C，D 在线段 AB 上，△PCD 是等边三角形． (1)当 AC，CD，BD 满足什么数量关系时，△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB 时，求∠APB 的度数． 解：(1)当 CD2＝AC·BD 时，△ACP∽△PDB.提示：由 CD2＝AC·BD，得 CD AC ＝ BD CD，即 PD AC＝ BD PC，又∠ACP＝∠PDB＝120°，∴△ACP∽△PDB (2)∠APB＝120° x
14·(12分)个钢筋三脚架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘*,现在 再做一个与其相似的钢筋三脚架,而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋,要 求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截 法有多少种?写出你的设计方案 解:①30厘米与60厘米的两根钢筋为对应边.把50厘米的钢筋按10厘米与25 1025301 厘米两部分截,则有 2050602 从而两个三角形相似 ②30厘米与50厘米长的两根钢筋为对应边.把50厘米分截出12厘米和36 2050605 厘米两部分,则有 1230363 从而两三角形相似
14．(12 分)一个钢筋三脚架三边长分别是 20 厘米、50 厘米、60 厘米，现在 再做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为 30 厘米和 50 厘米的两根钢筋，要 求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截 法有多少种？写出你的设计方案． 解：①30 厘米与 60 厘米的两根钢筋为对应边．把 50 厘米的钢筋按 10 厘米与 25 厘米两部分截，则有10 20＝ 25 50＝ 30 60＝ 1 2 ，从而两个三角形相似 ②30 厘米与 50 厘米长的两根钢筋为对应边．把 50 厘米分截出 12 厘米和 36 厘米两部分，则有20 12 ＝ 50 30 ＝ 60 36 ＝ 5 3 ，从而两三角形相似．
【综合运用】 parent 15·(14分)(2014淄博)如图,四边形ABCD中,AC⊥BD交BD于点E,点 F,M分别是AB,BC的中点,BN平分∠ABE交AM于点N,AB=AC=BD 连接MF,NF (1)判断△BMN的形状,并证明你的结论; (2)判断△MFN和△BDC之间的关系,并说明理由 解:(1)△BMN是等腰直角三角形.证明:∵AB=AC,点M是BC的中 点,∴AM⊥BC,AM平分∠BAC,∵BN平分∠ABE,AC⊥BD,∴∠AEB=90° ∴∠EAB+∠EBA=90°,∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=5(∠BAE+∠ABE)= 45°,∴△BMN是等腰直角三角形 (2)△MFN∽△BDC.证明:∵点F,M分别是AB,BC的中点,∴FM∥AC, FM=AC, . AC=BD, . FM=BD, BoKI ∴NM=BM=2BC,即BC2·:上MM分D5,△BMN是等腰直角三角形, NM BDBC=5,∵AM⊥BC,∴∠NMF+∠FMB =90°,∵FM∥AC,∴∠ACB=∠FMB,∠CEB=90°,∴∠ACB+∠CBD =90°,∴∠CBD+∠FMB=90°,∴∠NMF=∠CBD,∴△MFN∽△BDC
【综合运用】 15．(14 分)(2014·淄博)如图，四边形 ABCD 中，AC⊥BD 交 BD 于点 E，点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，BN 平分∠ABE 交 AM 于点 N，AB＝AC＝BD. 连接 MF，NF. (1)判断△BMN 的形状，并证明你的结论； (2)判断△MFN 和△BDC 之间的关系，并说明理由． 解：(1)△ BMN 是等腰直角三角形． 证明：∵AB＝AC，点 M 是 BC 的中 点，∴AM⊥BC，AM 平分∠BAC，∵BN 平分∠ABE，AC⊥BD，∴∠AEB＝90°， ∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝ 1 2 (∠BAE＋∠ABE)＝ 45°，∴△BMN 是等腰直角三角形 (2)△ MFN∽△BDC. 证明：∵点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，∴FM∥AC， FM＝ 1 2 AC，∵AC＝BD，∴FM＝ 1 2 BD，即 FM BD＝ 1 2 ，∵△BMN 是等腰直角三角形， ∴NM＝BM＝ 1 2 BC，即 NM BC＝ 1 2 ，∴FM BD＝ NM BC＝ 1 2 ，∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB ＝90°，∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB，∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD ＝90°，∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，∴△MFN∽△BDC