parent 第二十七章图形的相似 27.2.5相似三角形应用举例
第二十七章 图形的相似 27．2.5 相似三角形应用举例
G分钟分 知识点梳理 parent 利用三角形相似解决实际问题的一般步骤: (1)根据题意画出示意图; (2)将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的已知线段、已知角或 它们之间的关系; (3)利用相似三角形建立线段之间的关系,求出未知量 (4)写出_答案
利用三角形相似解决实际问题的一般步骤： (1)根据题意画出_ _； (2)将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的_ _或 它们之间的关系； (3)利用相似三角形建立线段之间的关系，求出_ _； (4)写出 ． 示意图 已知线段、已知角 未知量 答案
①0分钟分 知识点训练 parent 知识点(1)测量物高 1·(4分)如图,测量小玻璃管口径的量具ABC上,AB的长为10mm,AC被分成60等 份.如果小管口DE正好对着量具30份处(DE∥AB),那么小管口直径DE的长是5mm C1020D4050 0 6m D 12m B 2.(4分)(2014娄底)如图,小明用长为3m的竹竿CD做测量工作,测量学校旗杆AB 的高度’移动竹竿,使竹竿与旗杆的距离DB=12m,则旗杆AB的高为9m 3·(5分)已知有两堵墙AB,CD,AB墙高2米,两墙之间的距离BC为8米,小明将 架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时,木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E旋转90° 靠向墙CD时,木梯刚好达到墙的顶点,则墙CD的高为75米 B E
测量物高 1．(4 分)如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC 上，AB 的长为 10 mm，AC 被分成 60 等 份．如果小管口 DE 正好对着量具 30 份处(DE∥AB)，那么小管口直径 DE 的长是_ _． 2．(4 分)(2014·娄底)如图，小明用长为 3 m 的竹竿 CD 做测量工作，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB＝12 m，则旗杆 AB 的高为_ . 3．(5 分)已知有两堵墙 AB，CD，AB 墙高 2 米，两墙之间的距离 BC 为 8 米，小明将一 架木梯放在距 B 点 3 米的 E 处靠向墙 AB 时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点 E 旋转 90° 靠向墙 CD 时，木梯刚好达到墙的顶点，则墙 CD 的高为_ ． 5mm 9m 7.5米
e 4.(5分)如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图,光线与地面所成角 ∠AMC=30°,在教室地面的影长MN=23米.若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米 则窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米 B P 5·(8分)如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平 面镜’光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD CD⊥BD,且测得AB=14米,BP=21米,PD=12米.那么该古城墙CD的高度是多少米? ABBP1.42.1 解:∵∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP,∴△ABP∽△CDP,∴ CD PDCD 12 解得CD=8,答:该古城墙CD的高度是8米
4．(5 分)如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角 ∠AMC＝30°，在教室地面的影长 MN＝2 3米．若窗户的下檐到教室地面的距离 BC＝1 米， 则窗户的上檐到教室地面的距离 AC 为_ ． 5．(8 分)如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点 P 处放一水平的平 面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处．已知 AB⊥BD， CD⊥BD，且测得 AB＝1.4 米，BP＝2.1 米，PD＝12 米．那么该古城墙 CD 的高度是多少米？ 解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，∴△ABP∽△CDP，∴AB CD＝ BP PD，即 1.4 CD＝ 2.1 12， 解得 CD＝8，答：该古城墙 CD 的高度是 8 米． 3米
parent 知识点(2) 6·(4分)如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的两岸边每隔5米有一棵树 在北岸边每隔60米有一根电线杆.小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸,发现北岸 相邻的两根电线杄恰好被南岸的两棵树遮住’并且在这两棵树之间还有三棵树’则河宽 为30米 北岸 南岸 P 7.(5分)如图,身高为1.7m的小明AB站在河的一岸,利用树的倒影去测量河对岸 棵树CD的高度,CD在水中的倒影为CD,A,E,C′在一条视线上,已知河BD的宽度为 12m,BE=3m,则树CD的高为51m 8·(5分)如图,已知零件的外径为25mm,现用一个交叉卡 钳(两条尺长AC和BD相等,OC=OD)量零件的内孔直径AB 若OC:OA=1:2,量得CD=10mm,则零件的厚度x=25mm 25
测量距离 6．(4 分)如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的两岸边每隔 5 米有一棵树， 在北岸边每隔 60 米有一根电线杆．小丽站在离南岸边 15 米的点 P 处看北岸，发现北岸 相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽 为_ _米． 7．(5 分)如图，身高为 1.7 m 的小明 AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一 棵树 CD 的高度，CD 在水中的倒影为 C′D，A，E，C′在一条视线上，已知河 BD 的宽度为 12 m，BE＝3 m，则树 CD 的高为_ _． 8．(5 分)如图，已知零件的外径为 25 mm，现用一个交叉卡 钳(两条尺长 AC 和 BD 相等，OC＝OD)量零件的内孔直径 AB. 若 OC∶OA＝1∶2，量得 CD＝10 mm，则零件的厚度 x＝_ _. 30 5.1m 2.5mm
0)分钟了0自分 知点整合测练零 、选择题(每小题8分,共16分) 9·(2013·柳州)小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图) 然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为(A) A·10米B.12米C.15米D.225米 C A B 楼 10.如图所示’某超市在一楼至二楼之间安装有电梯’天花板与地面平行.张强扛着箱 孑(人与箱子的总高度约为22m)乘电梯刚好完全通过’请你根据图中数据回答,两层楼之间 的高约为(A A·5.5mB.6.2mC.1lmD.2.2m 二、填空题(每小题8分,共8分) B 11·(2014牡丹江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示,其中木竿AB=2m 它的影子BC=16m,木竿PQ的影子有一部分落在了墙上,PM=1.2m,MN=0.8m,则木 竿PQ的长度为_23m
一、选择题(每小题 8 分，共 16 分) 9．(2013·柳州)小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长 BA 为 15 米(如图)， 然后在 A 处树立一根高 2 米的标杆，测得标杆的影长 AC 为 3 米，则楼高为( ) A．10 米 B．12 米 C．15 米 D．22.5 米 10．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．张强扛着箱 子(人与箱子的总高度约为 2.2 m)乘电梯刚好完全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间 的高约为( ) A．5.5 m B．6.2 m C．11 m D．2.2 m 二、填空题(每小题 8 分，共 8 分) 11．(2014·牡丹江)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿 AB＝2 m， 它的影子 BC＝1.6 m，木竿 PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2 m，MN＝0.8 m，则木 竿 PQ 的长度为_ . A A 2.3m
解答题(共36分) parent 12·(10分)如图是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图.AC,BC表示铁夹 的两个面,O点是轴,OD⊥AC于点D已知AD=15mm,DC=24mm,OD=10mm已知文 件夹是轴对称图形,求图中A,B两点的距离.(V676=26) B 10 D 15}—24 解:连接AB,与CO延长线交于点E,∵夹子是轴对称图形,对称轴是CE,A,B为 一组对称点,∴CE⊥AB,AE=EB在Rt△AEC和Rt△ODC中,∠AEC=∠ODC,∠OCD AE OD 公用,∴Rt△AEC∽Rt△ODC,…∴AC=0C,又OC=OD2+DC2=102+242=26,…AE ACOD39×10 OC 26 15,∴AB=2AE=30mm)
三、解答题(共 36 分) 12．(10 分)如图是夹文件用的铁(塑料)夹子在常态下的侧面示意图．AC，BC 表示铁夹 的两个面，O 点是轴，OD⊥AC 于点 D.已知 AD＝15 mm，DC＝24 mm，OD＝10 mm.已知文 件夹是轴对称图形，求图中 A，B 两点的距离．( 676＝26) 解：连接 AB，与 CO 延长线交于点 E，∵夹子是轴对称图形，对称轴是 CE，A，B 为 一组对称点，∴CE⊥AB，AE＝EB.在 Rt△AEC 和 Rt△ODC 中，∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD 公用，∴Rt△AEC∽Rt△ODC，∴AE AC＝ OD OC，又 OC＝ OD2＋DC2＝ 102＋242＝26，∴AE ＝ AC·OD OC ＝ 39×10 26 ＝15，∴AB＝2AE＝30(mm)
13·(12分)2013滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图婳圖所宗,賽 中BA=CD,BC=20cm,BC,EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm,8cm, 为使板凳两腿底端A,D之间的距离为50cm,那么横梁EF应为多长?(材质及其厚度等忽 略不计) 解:过点C作CM∥AB,交EF,AD于N,M,作CP⊥AD,交EF,AD 于Q,P由题意,得四边形ABCM是平行四边形,∴EN=AM=BC= 20(cm).∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).由题意知CP=40cm,PQ=8cm, NF CO NF 32 CQ=32cm,∵EF∥AD,∴△CNF∽△CMD,∴ MD=CP,即30=40解得 NF=24(cm),∴EF=EN+NF=20+24=44cm),答:横梁EF应为44cm
13．(12 分)(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示，其 中 BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40 cm，8 cm， 为使板凳两腿底端 A，D 之间的距离为 50 cm，那么横梁 EF 应为多长？(材质及其厚度等忽 略不计) 解：过点 C 作 CM∥AB，交 EF，AD 于 N，M，作 CP⊥AD，交 EF，AD 于 Q，P.由题意，得四边形 ABCM 是平行四边形， ∴EN＝AM＝BC＝ 20(cm)．∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知 CP＝40 cm，PQ＝8 cm， ∴CQ＝32cm，∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，∴NF MD＝ CQ CP，即 NF 30＝ 32 40.解得 NF＝24(cm)，∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)，答：横梁 EF 应为 44 cm
【综合运用】 parent 14·(14分)甲、乙、丙三个同学同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.甲测 得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm乙测得学校旗杆的影长为900cm丙测 得校园景灯(灯罩视为球体灯杆为圆柱体’其粗细忽略不计)的高度为200c-m影长为156cm (1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度; (2)没设太阳光线NH与⊙O相切于点M请根据甲、丙两个同学得到的信息,求景灯灯罩的 半径 200cm 900cm 156cm 解:(1)由△ABC∽△DEF,得DE=DF,可得DE=1200cm,所以学校旗杆的高度是12 GN GH (2)由△ABC△GNH,得AB=AC,可得GN=208cm,NH=1562+2082=260cm, OM ON rr+8 设⊙O的半径为rcm,连接OM由△OMN∽△HGN,得 HGHN’156260 r=12, 即景灯灯罩的半径是12cm
【综合运用】 14．(14 分)甲、乙、丙三个同学同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．甲测 得一根直立于平地，长为 80 cm 的竹竿的影长为 60 cm.乙测得学校旗杆的影长为 900 cm.丙测 得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为 200 cm，影长为 156 cm. (1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度； (2)设太阳光线 NH 与⊙O 相切于点 M.请根据甲、丙两个同学得到的信息，求景灯灯罩的 半径． 解：(1)由△ ABC∽△DEF，得 AB DE＝ AC DF，可得 DE＝1 200 cm，所以学校旗杆的高度是 12 m (2)由△ ABC∽△GNH，得 GN AB＝ GH AC，可得 GN＝208 cm，NH＝ 1562＋2082＝260 cm， 设⊙O 的半径为 r cm，连接 OM.由△ OMN∽△HGN，得 OM HG＝ ON HN，即 r 156＝ r＋8 260 ，∴r＝12， 即景灯灯罩的半径是 12 cm