parent 第二十八章锐角三角函数 专题七解直角三角形的应用
第二十八章 锐角三角函数 专题七 解直角三角形的应用
教材母题(教材P第8题) parent 如图,两建筑物的水平距离BC为326m,从A点测得D点的俯角为35°12′,测得C 点的俯角β为43°24′,求这两个建筑物的高(m35°12′≈0.71,tam43°24′0.95,结 果保留小数点后一位) A 列a B 解:过点D作DE⊥AB于E,在R△AED中,C B ED tan /AdE=tan a,.. AE=EDtan a,在Rt△ABC中,AB BC=tan∠ACB=tanB,∴AB= BC. tan B=32.6×tan43°24′≈31.0m, ∴EB=AB-AE= BC. tan B- EDtan a=32.6×tan43°24′-326×tan35°12′≈7.0,∵ EB=CD,∴,CD≈70m 【规律与方法】弄清各名词及术语的意义,将实际问题中的数量关系转化为直角 三角形中元素之间的关系,当某些图形不是直角三角形时,可通过辅助线,把它分 割成直角三角形或已学过的特殊四边形,然后解这个直角三角形
教材母题 (教材 P97 第 8 题) 如图，两建筑物的水平距离 BC 为 32.6 m，从 A 点测得 D 点的俯角为 35°12′，测得 C 点的俯角 β 为 43°24′，求这两个建筑物的高(tan35°12′≈0.71，tan43°24′≈0.95，结 果保留小数点后一位) 解：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，在 Rt△AED 中， AE ED＝tan∠ADE＝tan α，∴AE＝ED·tan α，在 Rt△ABC 中， AB BC＝tan∠ACB＝tanβ，∴AB＝BC·tanβ＝32.6×tan43°24′≈31.0m， ∴EB＝AB－AE＝BC·tanβ－ED·tanα＝32.6×tan43°24′－32.6×tan35°12′ ≈7.0，∵ EB＝CD，∴CD≈7.0 m 【规律与方法】弄清各名词及术语的意义，将实际问题中的数量关系转化为直角 三角形中元素之间的关系，当某些图形不是直角三角形时，可通过辅助线，把它分 割成直角三角形或已学过的特殊四边形，然后解这个直角三角形．
变式1(2014西宁)如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图已 知自动扶梯AB的坡度为1:24,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN 上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角 为42°,则二楼的层高BC约为(精确到0.1米,sin42°≈067,1am42°≈0.90D A·10.8米B.89米C·80米D.58米 参考数据 sin5°≈0.25 cosl5≈097 n15≈0.27 图1 图2 变式2、(2014台州)如图,某翼装飞行员从离水平地面高AC=500m的A处出发,沿着 俯角为15°的方向,直线滑行1600m到达D点,然后打开降落伞以75°的俯角降落到地面 上的B点.求他飞行的水平距离BC(结果精确到1m) 解:过点D作DE⊥AC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,由题意可得:∠ADE DE =15°,∠BDF=15°,AD=1600,AC=500,∴cos∠ADE=cos15 AD0.97, DE AE =0.97×1600=1552, AD Sin15°≈0.26,AE=416,∴DF=500-416=84(m),∴tan ∠BDF=tan15°~BF DF027,∴BF=2268(m),…BC=CF+BF=1552+2268157(m) 所以他飞行的水平距离为1575m
变式 1.(2014·西宁)如图 1，某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，图 2 是侧面示意图．已 知自动扶梯 AB 的坡度为 1∶2.4，AB 的长度是 13 米，MN 是二楼楼顶，MN∥PQ，C 是 MN 上处在自动扶梯顶端 B 点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端 A 处测得 C 点的仰角 为 42°，则二楼的层高 BC 约为(精确到 0.1 米，sin42°≈0.67，tan42°≈0.90)( ) A．10.8 米 B．8.9 米 C．8.0 米 D．5.8 米 变式 2.(2014·台州)如图，某翼装飞行员从离水平地面高 AC＝500 m 的 A 处出发，沿着 俯角为 15°的方向，直线滑行 1600 m 到达 D 点，然后打开降落伞以 75°的俯角降落到地面 上的 B 点．求他飞行的水平距离 BC(结果精确到 1 m)． 解：过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，由题意可得：∠ADE ＝15°，∠BDF＝15°，AD＝1600，AC＝500，∴cos∠ADE＝cos15°＝ DE AD≈0.97，DE ＝0.97×1600＝1552， AE AD＝sin15°≈0.26，AE＝416，∴DF＝500－416＝84(m)，∴tan ∠BDF＝tan15°＝ BF DF≈0.27，∴BF＝22.68(m)，∴BC＝CF＋B F＝1552＋22.68≈1575(m)， 所以他飞行的水平距离为 1575 m D
变式3(2014·枣庄如图,一扇窗户垂直打开,即OM⊥OPAC是长度不变的滑动架 其中一端固定在窗户的点A处,另一端在OP上滑动,将窗户OM按图示方向向内旋转35° 到达ON位置,此时,点A,C的对应位置分别是点B,D测量出∠ODB为25°,点D到 点O的距离为30cm (1)求B点到OP的距离 (2)求滑动支架的长 (结果精确到1cm参考数据:si25°≈0.42,cos25°≈0.91,lam25°≈0.47,sm55°≈ 0.82,cs55°≈0.57,tamn55≈1.43) M P C P C 解:(1)在Rt△BOE中,OE=-BE BE BE BE tan55° ,在Rt△BDE中,DE tan25 则 tan55°tan25° 30,解得BE≈106cm故B点到OP的距离大约为10.6cm BE (2)在R△BDE中,BD 5 ≈252cm故滑动支架长252cm sIn
变式 3.(2014·枣庄)如图，一扇窗户垂直打开，即 OM⊥OP，AC 是长度不变的滑动支架， 其中一端固定在窗户的点 A 处，另一端在 OP 上滑动，将窗户 OM 按图示方向向内旋转 35° 到达 ON 位置，此时，点 A，C 的对应位置分别是点 B，D.测量出∠ODB 为 25°，点 D 到 点 O 的距离为 30 cm. (1)求 B 点到 OP 的距离； (2)求滑动支架的长． (结果精确到 1cm.参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈ 0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43) 解：(1)在 Rt△BOE 中，OE＝ BE tan55° ，在 Rt△BDE 中，DE＝ BE tan25° ，则 BE tan55° ＋ BE tan25° ＝30，解得 BE≈10.6 cm.故 B 点到 OP 的距离大约为 10.6 cm (2)在 Rt△BDE 中，BD＝ BE sin25° ≈25.2 cm.故滑动支架长 25.2 cm
变式4(2014坊)如图,某海域有两个海拔均为20米的海岛A和海岛B测飞机 在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的 俯角是45°,然后:沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处,在D处测得正 前方另一海岛顶端B的俯角是60°,求两海岛间的距离AB. 解:如图,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD,交CD的延长线于点F,则 四边形ABFE为矩形,所以AE=BF=1100-200=900,CD=19900.在Rt△AEC中,∠C AE 900 =45°,AE=900,∴CE= tan∠Ctan45 =900,在Rt△BFD中,∠BDF=60°,BF=900 DF=- BF tan /Bde tan609=30013,.AB=EF=CD+DF-CE=19900+3003-900-= 19000303,答:两海岛之间的距离AB是(19000303米
变式 4.(2014·潍坊)如图，某海域有两个海拔均为 200 米的海岛 A 和海岛 B，一勘测飞机 在距离海平面垂直高度为 1 100 米的空中飞行，飞行到点 C 处时测得正前方一海岛顶端 A 的 俯角是 45°，然后：沿平行于 AB 的方向水平飞行 1.99×104 米到达点 D 处，在 D 处测得正 前方另一海岛顶端 B 的俯角是 60°，求两海岛间的距离 AB. 解：如图，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，过点 B 作 BF⊥CD，交 CD 的延长线于点 F，则 四边形 ABFE 为矩形，所以 AE＝BF＝1100－200＝900，CD＝19900.∴在 Rt△AEC 中，∠C ＝45°，AE＝900，∴CE＝ AE tan∠C ＝ 900 tan45° ＝900，在 Rt△BFD 中，∠BDF＝60°，BF＝900， ∴DF＝ BF tan∠BDF＝ 900 tan60° ＝300 3， ∴AB＝EF＝CD＋DF－CE＝19900＋300 3－900＝ 19000＋300 3，答：两海岛之间的距离 AB 是(19000＋300 3)米
变式52014徐州)如图,轮船从点A处出发,先航行至位于点A的南偏西子写震 A相距100Ⅷm的点B处,再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处 (1)求点C与点A的距离(精确到1km); (2)确定点C相对于点A的方向 (参考数据:√2≈1414,√≈1.732) 北 东 解:(1)过点A作AD⊥BC于点D,由图得,∠ABC=75°-15°=60°,在Rt△ABD 中,∵∠ABC=60°,AB=100,…∴BD=50,AD=503,CD=BC一BD=200-50=150, 在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC=AD2+CD2=1003≈173(km) (2)在△ABC中,:AB2+AC2=1002+(1003)2=4000,0BC2=2002=4000:AB2 +AC2=BC2,∴∠BAC=90°,∴∠CAF=∠BAC一∠BAF=90°-15°=75°答:点C 位于点A的南偏东75°方向
变式 5.(2014·徐州)如图，轮船从点 A 处出发，先航行至位于点 A 的南偏西 15°且与点 A 相距 100 km 的点 B 处，再航行至位于点 B 的北偏东 75°且与点 B 相距 200 km 的点 C 处． (1)求点 C 与点 A 的距离(精确到 1 km)； (2)确定点 C 相对于点 A 的方向． (参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732) 解：(1)过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，由图得，∠ABC＝75°－15°＝60°，在 Rt△ABD 中，∵∠ABC＝60°，AB＝100，∴BD＝50，AD＝50 3，∴CD＝BC－BD＝200－50＝150， 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得：AC＝ AD2＋CD2＝100 3≈173(km) (2)在△ ABC 中，∵AB2＋AC2＝1002＋(100 3)2＝40000，BC2＝2002＝40000，∴AB2 ＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝90°－15°＝75°.答：点 C 位于点 A 的南偏东 75°方向
变式6(2014烟台)小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30°,AC长米,钓 竿AO的倾斜角是60°,其长为3米,若AO与钓鱼线OB的夹角为60°,求浮漂B与河堤 下端C之间的距离 水平线 解:延长OA交BC于点D,∵AO的倾斜角是60°,∴∠ODB=60°,∵∠ACD=30°, ∴∠CAD=180°-∠ODB-∠ACD=90°,在Rt△ACD中,AD= ACtan∠ACD 33y 23 1.5(米),∴CD=2AD=3米,又∵∠O=60°,∴△BOD是等边三角形,∴BD=OD=OA AD=3+1.5=4.5(米),∴BC=BD-CD=4.5-3=1.5(米).答:浮漂B与河堤下端C之间 的距离为1.5米
变式 6.(2014·烟台)小明坐于堤边垂钓，如图，河堤 AC 的坡角为 30°，AC 长 3 3 2 米，钓 竿 AO 的倾斜角是 60°，其长为 3 米，若 AO 与钓鱼线 OB 的夹角为 60°，求浮漂 B 与河堤 下端 C 之间的距离． 解：延长 OA 交 BC 于点 D，∵AO 的倾斜角是 60°，∴∠ODB＝60°，∵∠ACD＝30°， ∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ACD＝90°，在 Rt△ACD 中，AD＝AC·tan∠ACD＝ 3 3 2 · 3 3 ＝1.5(米)，∴CD＝2AD＝3 米，又∵∠O＝60°，∴△BOD 是等边三角形，∴BD＝OD＝OA ＋AD＝3＋1.5＝4.5(米)，∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5(米)．答：浮漂 B 与河堤下端 C 之间 的距离为 1.5 米．
变式7(2014仙桃)如图,在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB,其正前方矗子着一天型 广告牌,当阳光与水平线成45°角时,测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米’落 在广告牌上的影子CD的长为4米,求铁塔AB的高(AB,CD均与水平面垂直,结果保留根 号) A145 2146 E B B 解:过点C作CE⊥AB于点E,过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F,在Rt△DBF 中,∠BDF=30°,BF= DB sin30°~1 DE 5DB=3 DB cOS. 30 2…DF=6×=33, CE=DF,∴CE=DF=3√3,在Rt△ACE中,由题意可知∠ACE=45°,△E∠tan45°=1, CE ∴AE=CE=3√3,∴AB=AF一BF=AE+EF一BF=33+4-3=(33+1)米,所以铁塔AB 的高为(33+1)米
变式 7.(2014·仙桃)如图，在坡角为 30°的山坡上有一铁塔 AB，其正前方矗立着一大型 广告牌，当阳光与水平线成 45°角时，测得铁塔 AB 落在斜坡上的影子 BD 的长为 6 米，落 在广告牌上的影子 CD 的长为 4 米，求铁塔 AB 的高(AB，CD 均与水平面垂直，结果保留根 号)． , 解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，在 Rt△DBF 中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝ 1 2 DB＝3， DF DB＝cos30°＝ 3 2 ，∴DF＝6× 3 2 ＝3 3， ∵CE＝DF，∴CE＝DF＝3 3，在 Rt△ACE 中，由题意可知∠ACE＝45°，AE CE＝tan45°＝1， ∴AE＝CE＝3 3，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝3 3＋4－3＝(3 3＋1)米，所以铁塔 AB 的高为(3 3＋1)米．