parent 第二十八章锐角三角函数 专题六锐角三角函数与解直角三角形
第二十八章 锐角三角函数 专题六 锐角三角函数与解直角三角形
parent 教材母题(教材Ps第11题) 如图,折叠矩形ABCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处已知折痕AE=5V5cm 且an∠EFC (1)△AFB与△FEC有什么关系? (2)求矩形ABCD的周长 解:(1)折叠知△ADE≌△AFE,∴∠AFE=90°,∴∠BFA+∠EFC=90°,又∵∠EFC ∠FEC=90°,∴∠AFB=∠FEC,又∵∠B=∠C=90°,∴△AFB∽△FEC (2)∵在R△EFC中,如n∠ECC_3可设EC=3x,FC=4x,由勾股定理知EF= FC 4' BF 3 5x,DE=EF=5x,∴DC=8x,∴AB=8x,在Rt△ABF中,tan∠BAF=tan∠EFC= AB 4 ∴BF=6x,BC=10x,AD=10x,AE=y(10x)2+(5x)2=(5√5)2,解得x=1,∴AB= 8,AD=10,矩形ABCD的周长为2×(10+8)=36 【规律与方法】熟练掌握直角三角形中的直角关系,没有直角三角形时通过作辅助线构 造直角三角形,综合利用勾股定理、方程的思想、相似等知识是解决此类综合应用的关键
教材母题 (教材 P85 第 11 题) 如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知折痕 AE＝5 5cm， 且 tan∠EFC＝ 3 4 . (1)△AFB 与△FEC 有什么关系？ (2)求矩形 ABCD 的周长． (2)∵在 Rt△EFC 中，tan∠EFC＝ EC FC＝ 3 4 ，可设 EC＝3x，FC＝4x，由勾股定理知 EF＝ 5x，DE＝EF＝5x，∴DC＝8x，∴AB＝8x，在 Rt△ABF 中，tan∠BAF＝tan∠EFC＝ BF AB＝ 3 4 ， ∴BF＝6x，BC＝10x，AD＝10x，AE＝ （10x）2＋（5x）2＝(5 5)2，解得 x＝1，∴AB＝ 8，AD＝10，矩形 ABCD 的周长为 2×(10＋8)＝36. 【规律与方法】熟练掌握直角三角形中的直角关系，没有直角三角形时通过作辅助线构 造直角三角形，综合利用勾股定理、方程的思想、相似等知识是解决此类综合应用的关键． 解：(1)折叠知△ ADE≌△AFE，∴∠AFE＝90°，∴∠BFA＋∠EFC＝90°，又∵∠EFC ＋∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△AFB∽△FEC
parent 变式1(2014巴中在R△ABC中,∠C=90°sm5,则mB的值为(D) A B C D 变式2、(2014义乌)如图,点A(t,3)在第一象限,OA与ⅹ轴所夹的锐角为a,tama 则t的值是(C A·1B.1.5C.2D.3 B l 2 ,第2题图) A L3 第3题图) 变式3(2013深圳)如图,已知l1∥l2∥/l3·相邻两条平行直线间的距离相等’若等腰直角 △ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上,则sina的值是(D) A B D
变式 1.(2014·巴中)在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，sin A ＝ 5 13，则 tan B 的值为( ) A. 12 13 B. 5 12 C. 13 12 D. 125 变式 2.(2014·义乌)如图，点 A(t，3)在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为 α，tanα＝32， 则 t 的值是( ) A．1 B．1.5 C．2 D．3,第 2 题图) ,第 3 题图) 变式 3.(2013·深圳)如图，已知 l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角 △ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，则 sinα的值是( ) A.13 B. 6 17 C. 55 D. 10 10 D C D
变式4(2014玉林)如图,直线MN与⊙O相切于点M,ME=EF,且EF∥MAN,则 ∠E O 第4题图) C,第5题图) 变式5(2014-苏州)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠3BAC,则am ∠BPC= 变式6(2013荆门)如图,在R△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB 的垂线交AC于点E,BC=6,smnA=,则DE=4
变式 4.(2014·玉林)如图，直线 MN 与⊙O 相切于点 M，ME＝EF，且 EF∥MN，则 cos ∠E＝_ _． ,第 4 题图) ,第 5 题图) 变式 5.(2014·苏州)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠ 1 2 BAC，则 tan ∠BPC＝_ _． 变式 6.(2013·荆门)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点，过 D 点作 AB 的垂线交 AC 于点 E，BC＝6，sinA＝ 3 5 ，则 DE＝_ _. 1 2 4 3 15 4
变式7(2013锦州)在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交 于点E,垂足为D,连接BE已知AE=5,m∠AED=3,则BE+CE=6或16 点拨:①如图1,tan∠AED=DE=4,设AD 3x,DE=4x,由勾股定理知AE=5x=5,∴x=1,∴ AD=3, AB=AC=6, EC=6-5=1,.BE+CE=6 图1 ②如图2,同理可得DE=4,AD=3,AB=AC=6, AE=BE=5,∴BE+CE=6+5+5=16 B 图2 变式8如图,在R△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AC=33,解这个直角三角形 =30°因为nAAC所C-3,所以BC、Sc9-60° 解:因为∠C=90°,∠B=60°,所以∠A=90°-∠B= BC BC 13 ×3√3=3由 A 勾股定理得AB=AC2+BC2=y(33)2+32=6所以∠A=30°,BC =3,AB=6
变式 7.(2013·锦州)在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交 于点 E，垂足为 D，连接 BE.已知 AE＝5，tan∠AED＝ 3 4 ，则 BE＋CE＝_6 或 16_． 点拨：①如图 1，tan∠AED＝ AD DE＝ 3 4 ，设 AD＝ 3x，DE＝4x，由勾股定理知 AE＝5x＝5，∴x＝1，∴ AD＝3，AB＝AC＝6，EC＝6－5＝1，∴BE＋CE＝6 ②如图 2，同理可得 DE＝4，AD＝3，AB＝AC＝6， AE＝BE＝5，∴BE＋CE＝6＋5＋5＝16. 变式 8.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，∠B＝60° ，AC＝3 3，解这个直角三角形． 解：因为∠C＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝90°－∠B＝90°－60° ＝30°.因为 tanA＝ BC AC，所以BC AC＝ 3 3 ，所以 BC＝ 3 3 AC＝ 3 3 ×3 3＝3.由 勾股定理得 AB＝ AC2＋BC2＝ （3 3）2＋32＝6.所以∠A＝30°，BC ＝3，AB＝6
变式9如图,在△ABC中,∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D是 求AD的长 解:如图,过点C作AB边上的高CE,则∠CAE=180° CE ∠CAB=60°在R△CEA中,∠CEA=90°,sin∠CAE=AC E A AE cos∠CAE ,…CE= AC sind60°=√3,AE=ACc560°=1 AC ∴BE=AB+AE=5,在Rt△CEB中,∠CEB=90°,∴BC2= CE2+BE2=3+25=28,∴BC=27,在△ABC中,AD·BC =ABCE,∴AD,2=4,AD=22 变式10.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB 90°,∠E=30°,∠A=45°,AC=122,试求CD的长 解:∠ABC=∠BCF=∠A=45°,∠EDF=60°,BC=AC=12V2,作 E ○ BH⊥FC于点H,则BH=CH=2BC=12,R△BDH中,DH=BH=m∠EDF F 123=43,:CD=CH-DH=12-43
变式 9.如图，在 △ABC 中，∠CAB＝120°，AB＝4，AC＝2，AD⊥BC，D 是垂足， 求 AD 的长． , 解：如图，过点 C 作 AB 边上的高 CE，则∠CAE＝180°－ ∠CAB＝60°，在 Rt△CEA 中，∠CEA＝90°，∵sin∠CAE＝ CE AC， cos∠CAE＝ AE AC，∴CE＝AC·sin60°＝ 3，AE＝AC·cos60°＝1， ∴BE＝AB＋AE＝5，在 Rt△CEB 中，∠CEB＝90°，∴BC2＝ CE2＋BE2＝3＋25＝28，∴BC＝2 7，∵在△ ABC 中，AD·BC ＝AB·CE，∴AD·2 7＝4× 3，AD＝ 2 21 7 变式 10.一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝ 90° ，∠E＝30° ，∠A＝45° ，AC＝12 2，试求 CD 的长． 解：∠ABC＝∠BCF＝∠A＝45°，∠EDF＝60°，BC＝AC＝12 2，作 BH⊥FC 于点 H，则 BH＝CH＝ 2 2 BC＝12，Rt△BDH 中，DH＝BH÷tan∠EDF ＝12÷ 3＝4 3，∴CD＝CH－DH＝12－4 3
变式11(2014绥化)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在领), ∠BCD (1)求证:CB∥PD; (2)若BC=3,sm∠BPD=求⊙O的直径 A B OE B O E 解:(1)证明:∵BD=BD,∴∠BCD=∠BPD,又∵∠1=∠BCD,∴∠1=∠BPD,∴ CB∥PD (2)解:如图,连接AC,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°又∴CD⊥AB,∴BC= AB'·sinP=3 BC BC 3 BD,∴∠A=∠BPD,∴sinA=sinP在Rt△ABC中,sinA 5,AB=5,又 ∵BC=3,∴AB=5,即⊙O的直径为5
变式 11.(2014·绥化)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1 ＝∠BCD. (1)求证：CB∥PD； (2)若 BC＝3，sin∠BPD＝ 3 5 ，求⊙O 的直径． ,) (2)解：如图，连接 AC，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴BC ︵ ＝ BD ︵ ，∴∠A＝∠BPD，∴sinA＝sinP.在 Rt△ABC 中，sinA＝ BC AB，∵sinP＝ 3 5 ，∴BC AB＝ 3 5 ，又 ∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O 的直径为 5 解：(1)证明：∵BD ︵ ＝BD ︵ ，∴∠BCD＝∠BPD，又∵∠1＝∠BCD，∴∠1＝∠BPD，∴ CB∥PD
变式12黄岩岛是我国南海上的一个岛屿’其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的 个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=3V2千米,请据 此解答如下问题 (1)求该岛的周长和面积:(结果保留整数,参考数据:√2≈1414,√3≈1.732,√6≈245) (2)求∠ACD的余弦值 图甲 图乙 解:(1)∵AB=BC=15千米,∠B=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°,AC=15√2千米, 又∵∠D=90°,∴AD=AC2一CD2=√(152)2-(32)2=123(千米).∴周长= AB+BC+CD+DA=30+3V2+123=30+4242+20784≈55千米).面积=S△ABC+S △ADC=2×15×15+2×123×3√2=2+186-157(平方千米) (2)s∠ACD=CD=3V2 AC1525
变式 12.黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的 一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15 千米，CD＝3 2千米，请据 此解答如下问题： (1)求该岛的周长和面积；(结果保留整数，参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732， 6≈2.45) (2)求∠ACD 的余弦值． 解：(1)∵AB＝BC＝15 千米，∠B＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝15 2千米， 又∵∠D＝90°，∴AD＝ AC2－CD2＝ （15 2）2－（3 2）2＝12 3(千 米)．∴周长＝ AB＋BC＋CD＋DA＝30＋3 2＋12 3＝30＋4.242＋20.784≈55(千米)．面积＝S△ABC＋S △ADC＝ 1 2 ×15×15＋ 1 2 ×12 3×3 2＝ 225 2 ＋18 6≈157(平方千米) (2)cos∠ACD＝ CD AC ＝ 3 2 15 2 ＝ 1 5